高中数学的反思性学习.doc

高中数学的反思性学习上海市金山区教师进修学院 白伟雄（本文发表于由上海教育出版社出版的数学课堂教学实践：问题与案例） 高中数学相对于初中数学的变化特点是：数学语言更为抽象、思维方法向理性层次跃迁、知识内容的整体数量剧增。高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学，更为重视数学思想。如何学好高中数学一直是高中学生所关注的问题。笔者根据自己多年的学习和研究，对高中数学的反思性学习谈谈自己的一些观点，希望能为高中学生提供一些帮助。一、高中数学反思性学习的特性与实质 笔者认为，高中数学的反思性学习就是学生以自己的数学学习活动为思考对象，自觉主动地对自己的数学学习行为、方法以及由此产生的数学结果进行的审视和调控，是学生提高数学素养、促进数学学习能力发展并使自己的数学学习活动顺利进行的一条最佳途径。 高中数学反思性学习具有以下基本特性：1自主性 高中数学反思性学习是学生自主活动的过程，它是学生以追求提高自身数学素养为动力，进行自觉、主动、积极的回顾与审视。数学学习，因各人主客观条件和因素的不同，采取的学习方法和策略也不可能一样。所以，重要的是要在学习活动中形成符合自己个性或特点的学习方法，以求获得最佳的学习效果。只有通过自我认识、自我分析、自我审视、自我评价才能获得自我体验。及时反思，正确识别和评价自己所获得的数学知识、技能、学习能力与方法，以及兴趣爱好和意志性格等的情况，明确自己学习上的长处和短处，问题所在，然后采取适当的措施，扬长补短，充分发挥自己学习上的长处，弥补自己学习上的不足，克服存在的缺陷和缺点，自觉主动地争取教师的指导和帮助。2探究性 教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么却更是千百倍的重要。高中数学反思性学习不仅仅要学生回顾过去的数学学习活动，更是为了寻找数学学习过程中存在的“问题”并找到“解决方案”。学生仔细审视数学学习活动中涉及的数学思想、方法、数学情境等各个方面，根据个人的智慧，重构自己的理解，产生超越已有信息之外的信息，体现了一种努力发现“问题”并力求“解决问题”的精神。例如：(1)变更问题的条件或结构；(2)使问题特殊化；(3)使问题一般化；(4)找出适当的辅助问题；(5)分开条件的各部分，重新组合等。总之，反思性学习的灵魂是“提出问题探究问题解决问题”。3批判性所谓批判性，就是对别人和自己的思维过程进行批判，在思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质。它主要表现在：通过自我意识系统的监控，不仅反思自己的思维过程，而且还要根据活动的要求，及时地调节思维过程，修正思维角度，寻找解决问题的方案。这种自我意识的“调整”、“校正”又来自于学生对问题本质的认识。只有深刻、周密的反思，才能全面正确地做出判断。不管在数学学习中探究出的结果如何，高中数学反思性学习总是需要有一种自我否定的精神，或者是因为数学学习中出现了“问题”，使数学学习不能顺利进行，或者是可以简化解题结果，或者是有更好的解决方法等，才需要仔细审视自己的数学学习过程和结果。这在一定程度上是自我“揭短”，从新的层次、新的角度看到自己的不足，更体现了学生进行自我解剖、自我批判的勇气。我国著名心理学专家林崇德教授认为，一个学习好的学生，应该是善于反思学习的学生。4创造性高中数学反思性学习可以使学生通过对数学学习中的“问题”及“解决方案”对数学思维过程进行全面的审视、分析和探究，深化对数学概念、思想方法的理解，揭示一般规律，优化思维过程，找到合适的解决方法，并进而产生新的发现，这体现了一种创造性的思维，是学习者知识与能力的“活化”。同时，高中数学反思性学习是一个动态的发展活动。它不仅关注眼前的学习成绩，更关注未来的发展与创造。即同时关注数学学习的直接结果和间接结果。高中数学反思性学习也是一个循序渐进的过程，当学生具有一定的反思能力后，以后的反思就是前面反思的深化与发展。例如，某高校出版社出版的一本高中数学教辅书中有这样一道题目：例1若sin2x和sinx分别为sinq、cosq的等差中项和等比中项，求cos2x的值。分析：根据条件可以列出等式：，消去q，化成关于cos2x的方程。解：因为(sinq+cosq)2 = 1+2sinqcosq，又：，将(1)、(2)代入上式，得：4sin22x = 1+2sin2x，将sin22x 和sin2x都化成关于cos2x的式子，得：4cos22x cos2x 2 = 0，解得：cos2x = (本书的解答到此为止)。在学生对本题给予同样的解答后，我指导学生对题目的条件进行深入研究，对解答过程进行反思，解题是否完整？如何确定cos2x的取值范围，对解的结果进行取舍？通过讨论交流，学生得出：反思1：表面上本题的解答十分完美，但仔细研究条件：sin2x = sinqcosq，发现它可以转化为1cos2x =2sinqcosq，即：cos2x = 12sinqcosq = (sinq cosq)20，也就是说：解答结果cos2x = 中的cos2x = 是不符合题设条件的，应予舍去。反思2：cos2x的取值范围也可以这样来限制：注意到(1)式的特点，对其进行转化得：sin2x = (sinq+cosq) = sin(q+)所以 | sin2x |，cos22x = 1sin22x 1()2 =，所以 | cos2x | ，而cos2x = 不符合上述要求，应予舍去。反思3：能否看出隐含条件，需要有数学的分析、推理、综合的功力，它反映了数学学习水平的高低。解题切忌粗枝大叶，需要仔细分析，勤于联想；解题切忌浮于表面，不求甚解，要认真研究每一个条件；不可停留在只要得出结果的要求上，要比较、鉴别，弄到水落石出为止。对书本上给出的解答，也不要盲从、轻信，要学会用批判的眼光去对待，真正意义上的掌握数学问题的本质，领会数学的核心思想。又如，在一堂高一数学习题课上，我向学生呈现了这样一道例题：例2已知tan3A、tanA是方程x2+6x+7=0的两根，求的值。解：= = tan3A、tanA是方程x2+6x+7=0的两根，tan3A.tanA=7，= 。上述解法先把结果化简，再利用韦达定理，很快算出答案，方法简单，构思巧妙。因此在上课时要求学生先做，再让学生总结方法。有不少学生的确是按照上述方法计算，得出相应的答案。但也有一部分同学从已知出发，把A求出来，但求出的却是另一些答案。当时我非常惊讶。学生具体的解法是这样的：(下面的解法是汇总学生的部分解法后整理的结果)解： tan3A、tanA是方程x2+6x+7=0的两根，tanA+tan3A= 6，tanA.tan3A=7，tan4A=tan(A+3A)=1，4A=k+(kZ) 2A=k+(kZ)，1o k=4n(nZ)时，2A=2n+，4A=4n+，cos2A=cos=，cos4A=，= 221，2o k=4n+1(nZ)时，2A=2n+，cos2A=cos(2n+)= sin= ，cos4A=cos(4n+)= cos= ，=2+21，同理可得：3o k=4n+2(nZ)时，2A=2n+，=221；4o k=4n+3 (nZ)时，2A=2n+，=221。在得出这两种截然不同的答案后，同学们争论不休，各自为自己的答案说明理由，可以说是到了不可开交的地步。面对这突如其来的局面，我震惊了，本来想通过这道题目向学生说明数学知识的灵活应用以及高中数学与初中数学的联系。但没有想到会出现这样的情况。震惊之余，我灵机一动，要求同学小组讨论，认真反思解题思路和解题方法，查找为什么会出现这种问题的原因。于是同学们冷静下来，四人一组，互相讨论起来。同时我也一边思考，一边指导学生讨论。反思1：把二次方程的两个根求出来检验。题设只有一个已知条件即tan3A、tanA是方程x2+6x+7=0的两根，不难找出方程x2+6x+7=0的两根分别为3+和3。但如何检验呢？反思2：寻找tan3A、tanA两函数值之间本身有关系式。tan3A=tan(2A+A)=，那么只要看一看3+与3是否符合这一关系式就可以了。不论tanA= 3+，tan3A = 3或tanA= 3，tan3A = 3+，都不满足此关系，故得出结论：本题条件有误，是一道错题。由上述特性和举例也就可以看出高中数学反思性学习的实质：高中数学反思性学习是一种需要学生通过认真思索甚至是极大努力的过程，而且常常需要通过师生合作、生生合作来进行的；它不是简单的数学学习经验的总结，而是伴随对整个高中数学学习过程的审视、分析和解决问题的活动；它不仅仅是回忆已有的数学学习活动，而且要找到自己在数学学习过程中的“问题”以及“解决方案”；它不是单纯地寻找数学问题与答案，更为重要的是灵活运用数学知识与数学能力来进行新的数学学习活动，以利于学生不断提高数学素养。二、高中数学反思性学习的基本过程高中数学反思性学习的基本过程主要包括反思预习过程、反思学习过程，反思作业过程和反思测试结果等。1预习后的反思预习是上课前对即将要学的数学内容进行阅读，了解其梗概，做到心中有数，以便于掌握听课的主动权。由于预习是学生独立学习的尝试，对学习内容是否正确理解，能否把握其重点、关键，洞察到隐含的思想方法等，都能及时在听课中得到检验、加强或矫正，有利于提高他们的学习能力和养成自学的习惯，所以它是数学学习中的重要一环。预习后的反思，是指学生在预习高中数学过程中进行的自我预测和反馈，利用已有知识检测对新知识的了解程度、缺陷程度，以便于把握课堂学习的重点。除了应反思学习新内容所需的旧知识(或预备知识)外，还应该反思预习的基本内容要讲些什么，要解决什么问题，采取的是什么方法，重点关键在哪里等等。反思时，可以采用边阅读、边思考、边书写的方式，把内容的要点、层次、联系划出来打上记号，写下自己的看法或弄不懂的地方与问题，最后确定听课时要解决的主要问题或打算，以提高听课的效率。数学具有很强的逻辑性和连续性，新知识往往是建立在旧知识的基础上。因此，预习时就要找出学习新知识所需的旧知识，并通过反思，一旦发现旧知识掌握得不好，甚至不理解时，就要及时采取措施补上，克服因没有掌握好或遗忘带来的学习障碍，为顺利学习新内容创造条件。否则会由于掌握旧知识存在的缺陷，妨碍有意义学习的进行，从而造成学习的困难。2听课后的反思听课后的反思是指学生在学习高中数学过程中进行的自我监控和即时反馈，利用数学知识的方法、解题思路和策略等进行自我调整，以解决数学学习中产生的各种疑惑，以达到深入理解、融会贯通、精炼概括、牢固掌握的目的。反思应与听课紧密衔接，及时解决存在的知识缺陷与疑问，对学习的内容务求弄懂，切实理解掌握。听课后的反思还要在理解教材的基础上，沟通知识间的内在联系，找出其重点、关键，然后提炼概括，组成一个知识系统，从而形成或发展扩大数学认知结构。例如，在学习“直线方程的几种形式”这一小节时，就要以“直线的方程”概念作为基础，抓住“点方向式”、“点法向式”这一重点与关键，予以串连。因为其他几种形式的直线方程，都是由它导出的。对直线方程的各种形式，要掌握它们之间的互化，当然对特殊的直线方程y=b和x=a，也要特别给予注意，理解其实质。听课后的反思是对知识进行深化、精炼和概括的过程，不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上，而要去努力思考新知识是怎样产生的，是如何展开或得到证明的，其实质是什么，怎样应用它等。可见，在学习后的反思中，不断对知识本身，或从数学思想方法的角度进行提炼和概括，是十分有利于能力的发展与提高的。3解题后的反思解题后的反思是指学生在数学学习完成(阶段性)之后对自己的数学学习行为、解题思路、解题方法和结果等的反思。波利亚指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事情来做。这样他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面”。通过反思所完成的解答，通过反思重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路，学生以此可以巩固自己所学的知识、方法和发展自己的解题能力。 解题后，应反思自己的解题思路，总结解题规律，并发现自己在解题中显露出的知识能力的缺陷，并在题旁写出要点； 解题后，应注意探求多种解题方法，并对各种解法作出比较，讨论他们的优劣之处，培养自己的发散思维； 解题后，应进一步做力所能及的推广，培养自己大胆猜想、验证的探索能力，激发自己的创造性： 解题后，应对习题进行归纳、总结、类化工作。一是把类似的习题归成一类；二是注意某些题目的应用，便于构成知识系列，同时培养自己的归纳、整理、应用知识的能力： 解题后，应对原题的条件、结论进行再思考，看看条件是否可以变化？相应的解题方法有无变化？也就是一题多变，逆命题是否成立？等等，以培养自己的严谨的思维。课堂上所获得的知识是有限的，许多问题的解决要通过学生对信息的联想、创造，通过反思，深刻理解数学知识和数学思想方法，以实现再学习的目的。4测试后的反思测试后的反思是指学生在数学测试后对自己所学的数学知识、方法以及产生的结果的反思，它是以前两种反思为基础，形成新的反思起点，以指导后续的数学学习活动。学生在反思中应该注意以下四个方面的问题：(1)学生应依据教师提出的教学目标，结合自己实际达成的目标进行反思，这是测试后反思的前提条件。(2)学会正视自己。通过反思，特别要正视自己在学习上存在的问题，全面分析自己的现状与自定目标之间的差距。这是一种科学的学习态度，是进行测试后反思的思想基础。(3)首先是反思失分多寡之原因。分析自己在试卷中有哪些是不应有的失分，如笔误、计算错误、看错题目、当时的遗忘等。出现这种现象的本质原因是自己考试时注意力不够集中、解题时不能完全投入。其次是能对每一类题作反思分析：高中数学考卷的题型一般分为填空题，选择题，解答题。对于填空选择题，如有失误往往是源于对基础概念的理解上的偏差。学生要做的是在反思时，细读概念、定理以及相关的变式与图形，理解老师总结出的常见结论。解答题中应用题也是一种主要题型，其错误常常是对数学问题中现实背景下的各种量的表示与量之间的关系理解不到位，或者忽视现实背景中的特殊要求而导致。反思此类问题的对策是注意对每个量的研究和表达。综合题、探究题是让学生感到最困难的题型。反思的重点就是设法掌握解决此类问题的步骤：扫清障碍，先做好简单的问题并得出一些有用的结论；定性分析与定量分析相结合，即先考虑是否要分为几种情况讨论，再对每种情况分别量化研究；其三是反思各类答题的经验和技巧。(4)通过反思，用对自己的正确评价去敦促自己，改进自己的学习。这就是把自我反思作为自我评价的效能。学生应按照“评价一反思一再评价一提高”的模式去实现自我评价。自我评价通过自我反思发挥评价的作用，把评价与反思、评价与激励联系起来的自我评价，是提高数学学习能力的重要措施。ABCDEFxax图1数学学习既是知识与技能的学习，也是发现和创造的训练。数学测试是一个阶段学习的小结，更是一种反思和更新目标的机会。例如，2006年上海某高校自主招生考试中有这样一道填空题：例3如图1，在矩形ABCD中，长AD=a，宽AB=b，点E、F分别在边AD、BC上，且AFEC，AF与EC间的距离为h，求AE的长。本题作为填空题，看似很简单，但做了以后，才发现，其中的思维容量很大。仔细研究后发现，用本题作为反思的素材，可以使学生明确数学解题的要求之一简洁性。解法一：设AE=x，则BF=DE=ax，由题意得：b(ax)+h=ab， 即：h=bx， 两边平方得：b2h2+a2h22ah2x+h2x2=b2x2 ， 整理得：(b2h2)x2+2ah2x(a2+b2)h2=0 ， (1)当b=h时，x=，(当b=h时，显然有ah=b，于是ax=0，x=满足题意)。(2)当bh时，= 4a2h2+4(a2+b2)(b2h2)h2 = 4a2h2+4a2b2h24a2h4+4b4h24b2h4 =4b2h2(a2+b2h2)，因为 0x0，所以 x= =，()当bh时，负值舍去，x=，检验：x= =0，且ax= = =0，故 0 x a，所以x=满足题意。()当b=a，故舍去；(b)若取x=，则有x=0，且x= = = = a，故0 x a，所以x=满足题意。综上所述，当b=h时，x=，当bh时，x=。ABCDEFhGxax图2反思1：分析上述解法，可以感觉到，解法过于烦琐，能否在列方程过程中寻找新的途径？解法二：过点E作EGAF，垂足为G，易证RtABF RtEGA，如图2则有 ，即：，即：h=bx ， 回到解法一中的式，下同解法一，仍然要分类讨论。ABCDEFhGxaxaa图3解法三：设AEG = a，则BAF=a，如图3，在RtAEG中，cosa=，在RtABF中，tana=，利用sec2a=tan2a+1，消去a，整理得：(b2h2)x2+2ah2x(a2+b2)h2=0，回到解法一中的式，下同解法一，仍然要分类讨论。解法四：以B为坐标原点，如图4建立直角坐标系，则A(0, b)，F(ax, 0)，直线AF的方程为：=1，即：bX+(ax)Y(ax)b=0，ABCDEFhGxaxXY图4因为点E(x, b)到AF的距离为h，则=h，整理得：(b2h2)x2+2ah2x(a2+b2)h2=0，回到解法一中的式，下同解法一，仍然要分类讨论。ABCDEFhGxaxg图5解法五：如图5，连接AC，试图在ACF中利用余弦定理来列出关于x的方程。在ACF中，AC 2 = AF 2 + FC 2 2AF . FC . cosAFC = AF 2 + FC 2 +2AF . FC . cos g，而cos g=cos(EAG)=，即 a2+b2=(ax)2+b2+x2+2. x .，axx2=.，整理得：(b2h2)x2+2ah2x(a2+b2)h2=0，回到解法一中的式，下同解法一，仍然要分类讨论。反思2：上述五种解法，最终都归结到解法一，为什么总是跳不出解法一的思路呢？是否能够列出关于x的一次方程而回避分类讨论呢？bABCDEFhGxaH图6解法六：过点E作EGAF，垂足为G，则EG=h，又过点C作AF的垂线交AF的延长线于点H，则CH=h，再设AEG = a，HAC=b，如图6，在RtAGE中，cosa=，在RtAHC中，AC=，AH=，HC=h，sinb=，cosb=，在RtABC中，sin(a+b)=，cos(a+b)=，a = (a+b) b，cosa = cos(a+b) b = cos (a+b)cosb+sin (a+b)sinb =，而cosa = ，所以=，x=，在此解题过程中，利用三角公式，列出了关于x的一次方程，不再需要象解法一中的分类讨论，而当b=h时，从结果中可以直接得到x=。数学解题是理性的，而要达到从经验性走向理智性，一个必要的也是关键的步骤就是“解题后的反思”，即对自己的解题实践行为做反思性研究。解题后的反思以追求解题合理性、简洁性为动力反思的直接目的是改进解题过程，使之更合理、更简洁，通过反思发现自己在解题思路上需要改进的方面，例如对“数”、“形”的认识，解题的思路、策略和过程再认识，这必然有助于自身数学思维品质的进一步提高。反思还可以在学习者之间的合作基础上进行。解决问题是认识数学学习的一种非常有效的方法，采用合作的形式进行反思，更能增加合作者共同对数学本质的理解。教师在教学中如果能够利用有关例题，引导学生进行反思，同时可以对学生学习方法进行指导。例4、如图7，已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。MNQPABCDzwa1a2b1b2c1c2d1d2xy图7证法一：分别设线段AQ、AM、BM、BN、CN、CP、DP、DQ为a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2，设MN、NP、PQ、QM为w、x、y、z，则x2+y2+z2+w2 = a12+a22+b12+b22+c12+c22+d12+d22 +=2，若w、x、y、z都小于，则x2+y2+z2+w2 2，与上式矛盾，所以在w、x、y、z中，至少有一条线段不小于，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。证法二：四边形MNPQ中，至少有一个内角不大于90o，不妨假设QPN90o，连接QN，则QN1，在PNQ中，x2+y2=NQ2+2xycosQPNNQ21，从上式得，在x2和y2中至少有一个不小于，即在x和y中至少有一个不小于，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。证法三：因为a1+d2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1， 所以(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2)=4这四组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a21，那么a21 a1，因为z2= a12+a22a12+(1 a1)2=2a122a1+1=2(a1)2+所以z，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。在教学中可以引导学生对解题方法进行反思：上述三种证法都涉及了那些数学思想方法和数学知识？，那一种证明方法比较简洁？那一种更加具有一般性？而且这种方法可以解决原问题的推广问题，如对正三角形、正五边形、正六边形，甚至推广到正n边形。反思1：三种证法都应用了反证法的思想，其中证法一涉及到不等式的构造，证法二应用了正方形的有关性质和余弦定理，证法三涉及到二次函数的构造和最值应用。反思2：就本题而言，证法二比较简洁。反思3：证法一、二不具有一般性，对正三角形、正六边形、正n边形类似的问题不易解决。而证法三具有一般性，可以用于证明正三角形、正六边形、正n边形类似的问题。AA1BB1CC1DD1EE1FF1a2a1b2b1c2c1d2d1e2e1f2f1图8推广一：如图8，已知六边形A1B1C1D1E1F1内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小于。证明：分别设线段AF1、AA1、BA1、BB1、FE1、FF1为a1、a2、b1、b2、f1、f2，如图所示。因为a1+f2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1，d2+e1=1，e2+f1=1，所以(a1+a2)+(b1+b2)+(f1+f2)=6，这六组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a21，那么a21 a1，因为A1F12=AA12+AF122AA1. AF1cos120o=a12+a22+a1a2a12+(1 a1)2+a1(1 a1)=a12a1+1=(a1)2+，所以A1F1，即六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小于。AAA1A2A3DAn1Anaa1aa2aa3anAAAa图9推广二：如图9，已知n边形AAAA内接于边长为1的正n边形A1A2An，求证：n边形AAAA中，至少有一边的长不小于cos(其中n3)。证明：分别设线段A1 A、A1A、A2A、A2A、AnA、AnA为a1、a、a2、a、an、a，因为a1+a= a2+