高三数学第一轮复习讲义20——数列求和与求通项.docx

2018届高三第一轮复习【20】数列求和与求通项一、知识梳理：1几种数列的思想方法：（1）数列通项公式的常见求法（2）数列前项和的常见求法2方法归纳：（1）求通项：1、迭代法：；2、构造法：；3、取倒数：；4、取对数：；5、公式法：；6、特征根法：，；7、待定系数法：；（2）求和：1、错位相减法：等比数列求和公式的由来（等差等比）2、倒序相加法：等差数列求和公式的由来（若，则）；3、裂项相消法：（为等差数列）；4、公式法：等差：，等比：；其它：；5、分组求和：奇偶分组；周期分组；其它分组；6、换元法：利用换元构造新的特殊数列，方便求和。7、数学归纳法：先猜测归纳，后证明；8、基本量法：已知等差或等比，求出一些基本量即可。二、基础检测：1. 已知数列中, , 则数列通项公式_.2. 已知数列中, , , 则数列通项公式_.3. 已知数列满足, , 则数列通项公式_.4. 求和: _.5. 数列满足, 其前3项构成等差数列, 且, 则其前2009项和_.6. 数列的n项和_.三、例题精讲：【例1累加法】已知，求通项公式；解答：依题意，所以全部相加，可得【例2累加法】已知数列满足：，求通项公式；解答：全部相加，可得；【例3累乘法】在数列中，,，求的表达式。【解答】：由已知有全部相乘，可得；【例4公式法】已知下列两数列的前项和的公式，求的通项公式。（1） （2）【解答】：（1）时时，对时也成立，所以（2）时时，对时不成立，所以；【例5公式法】已知是数列的前n项和，且，证明数列是等差数列。【解答】：由已知得：，把用进行代换得：，化简得：，则数列是等差数列；【例6构造法】已知数列的递推关系为，且求通项。【解答】：待定系数：，所以，所以成等比数列，；【例7待定系数法】已知数列满足，求得通项公式。【解答】：待定系数：，所以，成等比数列，；【例8构造法或待定系数法】已知数列满足，求得通项公式。【解法一】：待定系数：，所以，成等比数列，；【解法二】：构造法：；从而可得：是以为公比，为首相的等比数列，从而便可求得：。【例9去倒数】在数列中，求通项公式；【解答】：两边同时去倒数得：，从而可得：；【例10取对数】在数列中，求通项公式；【解答】：两边同时取以5为底的对数得：，从而可得：；【例11周期数列】在数列中，求通项公式【解答】：；【例12特征根法】数列满足且，求数列的通项公式。【解答】：由已知，得，其特征方程为，解之，得或；，。总结：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列;当特征方程有两个相异的根时，则是等比数列。【例12公式法】已知，求的和.【错误解答】：由由等比数列求和公式得： 1；【正确解答】：这题不是求前项和，是求和，故：；【例13分组求和法】求数列的前n项和：；【解答】：由分析有， （分组）当a1时，（分组求和）当时，；【例14错位相减法】求数列前n项的和.【解答】：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设（设制错位）得（错位相减） ；【例15倒序相加法】求证：【解答】：设. 把式右边倒转过来得（倒序） 又由可得 . +得 （倒序相加） ；【例16裂项相消法】在数列an中，又，求数列的前n项的和.【解答】：先求和，代入求得，列项求和 （裂项） 数列的前n项和 （裂项求和） ；四、难题突破：例1、如果 ，则下列各数中与最接近的数是（ ）（A）2.9 （B）3.0 （C）3.1 （D）3.2答案：B例2、数列的首项为1，且前项和满足=+（），若数列的前项和为，则；答案：；例3、（ ） A1 B2 C3 D4提示：方法一：原式，所以分子构成平方差公式；方法来源：（1）;（2），方法二：原式：展开来，发现规律；五、课堂练习：1、设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_2、已知数列中，求通项3、已知为数列的前项和，求数列的通项公式4、已知数列中，求数列的通项公式5、已知数列中，求通项公式。 6、设正项数列满足，（）求数列的通项公式7、数列通项公式为则数列前n项和= 。8、求数列，的前项和9、求10、求数列1，的各项的和11、求数列前n项的和12、求数列的前n项和六、回顾总结：1.主要方法:掌握递推数列求通项的常见方法；等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，复杂的数列转化为等差、等比数列；掌握数列求和的常用方法.2.易错、易漏点:注意下标的取值要求；特殊数列的求和可采用分布求和法转化为等差数列或等比数列的和，或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法是数列求和最重要的方法.七、课后练习：1在数列中，则=_2已知数列an的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列an的通项公式3已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式4 若在数列中，求通项5已知下列两数列的前项和的公式，求的通项公式。（1） （2）6 已知数列中，求数列的通项公式7已知函数，数列满足，,（1）求，的值；（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；8已知数列满足（1）求证：数列是公比为2的等比数列； （2）求9已知数列满足，求的通项公式10设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式11 已知数列的通项公式为，设为的前项和，则_12 数列an的前n项和_13求5，55，555，的前n项和14 数列的前项和为，若，则等于（ ） A1 B C D15已知数列中，（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列的前项和16 已知数列的前项和满足条件，其中（1）求证：数列成等比数列；（2）设数列满足若 ， 求数列的前项和17 数列：，求S201018 设数列满足，（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和【思考题】：1：设数列是等