数值计算精度与步长关系.doc

数值计算实验报告实验名称：数值计算精度与步长关系 实验目的：数值计算中误差是不可避免的，要求通过本实验初步认识数值分析中两个重要概念：截断误差和舍入误差，并认真体会误差对计算结果的影响。实验内容：设一元函数f :RR，则f在x0的导数定义为：根据不同的步长可设计两种算法,计算f在x0处的导数。计算一阶导数的算法有两种： （1） （2）请给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工作：1、对同样的h，比较(1)式和(2)式的计算结果；2、针对计算高阶导数的算法，比较h取不同值时(1)式和(2)式的计算结果。实验步骤：1.建立函数文件，将文件名保存为dsh1.m，输入语句：function y=dsh1(fu,x,h) y=(feval(fu,x+h)-feval(fu,x)/h;再定义一个函数文件，并将文件名保存为dsh2.m ，输入语句：function y1=dsh2(fu,x,h) y1=(feval(fu,x+h)-feval(fu,x-h)/(2*h); 在命令窗口中输入下列语句：计算余弦函数的导数值：y=dsh1(cos,1,0.1)y1=dsh2(cos,1,0.1)计算对数函数的导数值： y=dsh1(log,2,0.1) y1=dsh2(log,2,0.1)2对于余弦函数，画出步长h=0.1时，用式（1）与式（2）计算的结果与真实值的图像。程序为：x=-2*pi:0.1:2*pi;y=dsh1(cos,-2*pi:0.1:2*pi,0.2);y1=dsh2(cos,-2*pi:0.1:2*pi,0.2);y2=-sin(x);subplot(211)plot(x,y,*,x,y2,r)subplot(212)plot(x,y1,*,x,y2,r)3.对于二阶导数，根据（1）式和(2)式可以推出公式： （3） (4).函数文件，将文件名保存为dsh3.m，输入命令语句：function y4=dsh3(fu,x,h) y=(feval(fu,x+2*h)-2*feval(fu,x+h)+feval(fu,x)/(h2);再定义一个函数文件，并将文件名保存为dsh4.m ，输入命令语句：function y4=dsh4(fu,x,h) y1=(feval(fu,x+2*h)-2*feval(fu,x)+feval(fu,x-2*h)/(4*h2); 在命令窗口中输入下列语句：计算余弦函数的二阶导数值：y3=dsh3(cos,1,0.1)y4=dsh4(cos,1,0.1)计算对数函数的二阶导数值：y3=dsh3(log,2,0.1)y4=dsh4(log,2,0.1)对于余弦函数，画出步长h=0.1时，用式（3）与式（4）计算的结果与真实值的图像。x=-2*pi:0.1:2*pi;y3=dsh3(cos,-2*pi:0.1:2*pi,0.2);y4=dsh4(cos,-2*pi:0.1:2*pi,0.2);y=-cos (x);subplot(211)plot(x,y3,*,x,y,r)subplot(212)plot(x,y4,*,x,y,r)取不同的步长，利用（3）式和（4）式计算： y3=dsh3(cos,1,0.01) y3=dsh3(cos,1,0.001)y3=dsh3(cos,1,0.0001) y3=dsh3(cos,1,0.00001) y3=dsh3(cos,1,0.0000001) y3=dsh3(cos,1,0.00000000000001) y4=dsh4(cos,1,0.01) y4=dsh4(cos,1,0.001) y4=dsh4(cos,1,0.0001) y4=dsh4(cos,1,0.00001) y4=dsh4(cos,1,0.0000001) y4=dsh4(cos,1,0.00000000000001)实验结果分析：1.分别用(1)式和(2)式计算余弦函数在x=1处，步长为h=0.1的导数值：y=-0.8671, y1 =-0.8401cos(x)的导数是-sin(x)，在命令窗口输入-sin (1),得到计算结果为- sin(1)= -0.8415.,所以，用式（2）计算的结果更精确。分别用(1)式和(2)式计算对数函数在x=2处，步长为h=0.1的导数值：y=0.4879, y1= 0.5004,，在x=2处的值为0.5，所以，用(2)式计算的结果更准确。2.余弦函数导数图形：图中红线为真实图形，*号是按公式(1)和（2）计算的结果画出的散点图，由图形可以看出下面的图形中散点图与曲线更接近，所以，用（2）式计算的结果更精确。3. 分别用(3)式和(4)式计算余弦函数在x=1处，步长为h=0.1的二阶导数值：y3= -0.4532, y4= -0.5385cos(x)的二阶导数是-cos(x)，在命令窗口输入-cos(1),得到计算结果为-cos(1)= -0.5403.,所以，用式（4）计算的结果更精确。分别用(3)式和(4)式计算对数函数在x=2处，步长为h=0.1的导数值：y3=-0.2270, y4= -0.2513,，在x=2处的值为-0.25，所以，用(4)式计算的结果更准确。余弦函数二阶导数图形：图中红线为真实图形，*号是按公式(3)和（4）计算的结果画出的散点图，由图形可以看出下面的图形中散点图与曲线更接近，所以，用（4）式计算的结果更精确。4.利用（3）式和（4）式取不同的步长，得到结果为：h=0.01,y3 =-0.5319 ， y4= -0.5403h=0.001, y3=-0.5395 ， y4= -0.5403h=0.0001, y3=-0.5402 ， y4= -0.5403h=0.00001, y3=-0.5403 ， y4= -0.5403h=0.0000001, y3= -0.5107 ，y4= -0.5385h= 0.00000000000001, y3=0 ，y4= -2.7756e+011由上面的结果分析可知，（4）式的结果比（3）式得结果更精确。取不同的步长，误差不同，当步长较大时，误差较大，随着步长的减小，误差减小，但当步长很小时，误差又变得很大，误差分析:不论采用怎样的算法，计算结果通常都会有误差。比如算法(1)，由Taylor公式，知： 所以有 利用上式来计算f (x0)，其截断误差为： 所以误差是存在的，并且当步长h越来越小时，(1)的近似程度也越来越好。类似地可以分析(2)的截断误差为：上述截断误