复杂网络同步和多智能体系统一致性研究.pdf

东南大学 硕士学位论文 复杂网络同步和多智能体系统一致性研究 姓名 沈俊 申请学位级别 硕士 专业 数学 应用数学 指导教师 曹进徳 卢剑权 20110111 摘要 网络耦合系统的群体行为是目前国际和国内学术界关注的一个重要方向 其在信息科学 控制工程 社会科学等诸多领域有广泛的应用 本文将主要研究复杂网络同步和多智能体系 统一致性 具体地分别为带有时滞的分数阶多智能体系统的一致性问题 时标上多智能体系 统的一致性问题以及基于不连续控制的耦合神经网络有限时间同步问题 本文的主要工作如下 一 研究了带有输入延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 首先应用拉普拉斯 L 印l a c e 变换的方法 在频域上讨论了分数阶系统的稳定性 基于广义奈奎斯特 N y q u i 8 t 稳定性 准则 给出了一个保证有向网络拓扑下带有相同输入延迟的分数阶多智能体系统达到一致性 的充要条件 另外 当网络拓扑结构是无向图时 显式给出了带有不同输入延迟的分数阶多 智能体系统达到一致性的充分条件 二 讨论了有向图上带有不同的输入延迟和通讯延迟的分数阶多智能体系统的一致性问 题 基于频域方法和广义奈奎斯特 N y q u i s t 稳定性准则 给出了保证同时带有不同的输入 延迟和通讯延迟的分数阶多智能体系统一致性的充分条件 当分数阶数n o 1 时 发现一 致性条件只依赖于输入延迟而不依赖于通讯延迟 在没有输入延迟的情况下 不论通讯延迟 多大分数阶多智能体系统都能达到一致 并且 对于无向图的情形 显式地给出了保证阶数 为Q 0 2 的分数阶多智能体系统达到一致性所要求的通讯延迟的上界 三 研究了有向网络拓扑下 时标上的多智能体系统一致性问题 基于时标理论 利用 L y a p u n o v 方法在统一的框架下讨论了连续和离散的一致性协议 发现如果时标的粒度函数 g r a i n i n e s s 胁c t i o n 有界且网络的耦合强度充分小 可以达到指数一致性 本文的结果同时 包含了连续和离散的情况 并且许多已有的关于连续和离散的一致性条件可以看成本文的特 殊情况 四 讨论了基于不连续控制器的耦合神经网络的有限时间同步问题 基于L y 印吼o v 函 数方法和不连续的有限时间稳定性理论 得到了有限时间同步的充分条件 另外 提出了切 换控制和自适应参数调节策略来减少同步时间 关键词 多智能体系统 复杂网络 神经网络 一致性 分数阶系统 输入和通讯延迟 时标 有限时间同步 不连续控制 A b s t r a c t I nr e c e n ty e a r s t r 哪e n d o u sa t t e n t i o nh a sb e e nd e v o t e dt ot h es t u d yo fc o U e c t i v eb e h a v i o r i nn e 拥的r k e dc o u p l e ds y s t e m 8d u et oi t s 印p l i c a t i o I l si ni n f o r m a t i o ns c i e n c e c o n t r 0 1e n g i n e e r i n g s o c i a ls c i e n c ea n ds oo n A m o n gd i 脑e n tk i n d so fc o l l e c t i v eb e h a v i o r s s y n c h r o l l i z a t i o n o fc o m p l e Xn e t w o r k sa n dc o 瑚e n s u so f m l t i a g e n ts y s t e m sa u r et w Do ft h em o s ti I I l p o r t a n t p h e n o m e n a I nt h i st h e s i s w ei r e s t i g a t et h ec o 瑚e I l s u sp r o b l e mo fd e l a y e df a u c t i o n a l o r d e r H m l t i a g e n ts y s t e m 8 嬲w e Ua sc o n s e n s u 8o fm u l t i a g e n t8 y s t e m so nt i m es c a l e s W ba l s o s t u d yf i n i t e t i m es y n c h r o n i z a t i o no fa na u r r a yo fc o u p l e dn e u r 以n e t o r b i ad i s c o n t i 肌o u s c o n t r o l l e r s T h em a i nr e s u l t so ft l l i st h e s i sa r el i s t e da sf o U o w 8 F i r s t l y t h ec o 璐e n s u sp r o b l e mo ff r a c t i o n o r d e rs y s t e I 瑚w i t hi n p u td e l a y 8i si I l v e s t i g a t e d U s i n gL 印l a u C et r a n s f o r mm e t h o d t h es t a b i l i t yo ft h ef r a u c t i o n a L l o r d e rs y s t e l si s 丘r s t l y d i s c u s s e di nt h ef r e q u e n c yd o m a i n B a s e do nt h eg e n e r a l i z e dN y q u i s ts t a b i l i t yc r i t e r i o n a n e c e s s 盯ya n ds u m c i e n tc o I l d i t i o I li sf u r t l l e rd e r i v e dt oe n s u r et h ec o 璐e n s u so ff r a c t i o n a l o r d e r s y s t e m s 而t hi d e n t i c a li n p u td e l a y so v e rd i r e c t e di n t e r a u e t i o nt o p o l o g y F u r t h e r m o r e w h e n t h ei n t e r a u c t i o nt o p o l o g i su n d i r e c t e d c o I l s e n s u sc o n d i t i o no ff r a c t i o n a l o r d e r8 y s t e m sw i t h h e t e r o g e n I e o u si n p u td e l a y si se x p l i c i t l y 舀V e n S e c o n d l y t h ec o 璐e 璐u sp r o b l e mo ff r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m sw i t hn n u n i f o r mi n p u td e l a y sa n dc o m m n i c a t i o nd e l a y so v e rd i r e c t e ds t a t i cn e t w o r l si sd i s c u s s e d B a s e do nf r e q u e n c y d o m a i n 印p r o a c ha n dg e n e r a l i z e dN y q u i s ts t a b i l i t yc r i t e r i o n s u 伍c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d t oe 瑚u r et h ec o n s e 瑚u so ft h ef r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m 8w i t hs i m u l t a n e o u s l yn o n u n i f o r mi n p u ta n dc o m m m l i c a t i o nd e l a y s w h e nt h ef r a c t i o n o r d e ra o 1 w ef i n do u tt h a tt l l e c o I l s e I l s u sc o n d i t i o ni sd e p e n d e n to ni n p u td e l a y sb u ti n d e p e n d e n to nc o m I I 吡I l i c a t i o nd e l a y s S u r p r i s i n g l y w h e nt h e r ei s n oi n p u td e l a y e o n s e n s u sc a nb er e a l i z e dw h a t e v e rc o m m u n i c a t i o nd e l a y sa r e H 删r ac o u n t e re X a m p l es h o w st h a te o m m u n i c a t i o nd e l a y sw i l lh a v ea g r e a ti n f l u e n c eo nt h ec o n s e n s u sc o n d i t i o nw h e nt h ef r a c t i o n a l o r d e r 口 1 2 M o r e o V e r t h eb o u I l do fc o m m u n i c a t i o nd e l a y sa r ee x p l i c i t l y 百v e nt og u a r a n t e et h ec o 瑚e I l s u so ft h ed 争 l a y e df r a c t i o n a l o r d e rs y s t e m sw i t hf r a c t i o n a l o r d e r 及 o 2 u n d e ra nu I l d i r e c t e di n t e r a u c t i o n g r a p h 1 1 T 址r d l y W es t u d yc o 璐e 瑚u sp r o b l e m so fm u l t i a g e n ts y s t e I 瑚a v e rad i r e c t e dn e t W o r k t o p o l o 盯o nt i m es c a l e s B o t hl e a d e r l e 器a n dl e a d e r f o l l a w i n gc 0 I l s e 璐u sp r o t o c o l sa r ec o n 8 i d e r e di n t h i s8 e c t i o n B a s e do nt h et h e o r yo ft i m es c a l e s 厂ed i s c u 船c o n t i n u o u s t i I n ea n d d i s c r e t 争t i m ec o n s e n s u sp r o t o c o l su n d e rau n i 丘e d 自a l 刨m r kb ye m p l 咖I 培aL a p u n o v 1 i k e t e c h n i q u e W bf i n do u tt h a tc o n s e n s u sc a I lb er e a L l i z e d 唧o n e n t i a l l yi ft h eg r a i l l i n e s sf u n c t i o n o ft h et i m e8 c a l ei sb o u n d e da n dt h ec o u p H n gs t r e n g t ho ft h eI l e t w o r ki ss u 伍c i e n t l ys ma U D 江o r e o r e r o u rd e r i v e dr e s u l t sc o n t a i nb o t hc o I l t i n u o u s t i m ea n dd i s c r e t e 卜t i m ec a 8 e ss i m ul t a 广 n e o u s l y a n dm a n ye i s t i n gr e s u l t sc o n c e r l l i n gc o n t i 肌o u s t i m ea n dd i s c r e t 争t i m ec o n s e n s u s c o n d i t i o I l s 跗es h a w nt ob es p e c i a lc a s e so ft b j sp 印e r F i n a l l y 6 n i t 争t i m es y n c h r o n i z a t i o ni na na 盯a yo fc o u p l e dn e u r a ln e t w o r k sV i ad i s c o I l t i I 卜 u o u sc o n t r o U e r si 8i n v 璐t i g m e d B a s e do nL y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n dt h ed i s c o n t i I l u o u s v e r s i o no ff i n i t e t i m es t a b i l i t yt h e o r y s o m es u m c i e n tc r i t e r i af o rf i n i t 争t i m es y n c h r o I l i z a t i o na r e o b t a i n e d F l u r t h e r m o r e w ep r o p 0 8 es w i t c h e dc o n t r o la n da d a p t i v et u n i n gp a r a m e t e r8 t r a t e 百e s i no r d e rt or e d u c et h et i m eo f 诎l i e i n gs y n c h r o I l i z a t i o n K e y w o r d s M m t i a g e n ts y s t e m s C o m p l e Xn e t w o r l s N e u r a ln e t w o r l s C o n s e n s u s F r a u c t i o n a lo r d e rs y 8 t e m s I n p u ta n dc o 姗u I l i c a t i o nd e l a y s T i m es c a l e 8 F i n i t e t i m es y n c h r o n i z 舡 t i o n D i s c o n t i n u o u sc o n t r 0 1 符号和注记 R 一实数域 矩阵A 的转置 厶一礼 佗单位矩阵 1 n 一各分量全为1 的n 维列向量 0 n 一各分量全为0 的竹维列向量 A m a x A 一矩阵A 的最大特征值 A 幽 A 一矩阵A 的最小特征值 I I u I 一向量u 的范数 I l 钍I 让T 让 I 川l 一矩阵A 的范数 l 川I 入一 A T A P 0 尸 0 一P 为对称 半 正定矩阵 P y X y 一X y 为对称 半 正定矩阵 也 警一函数让 亡 对t 的导数 注 矩阵的维数 在没有特别说明的情况下 满足代数运算 第一章绪论 1 1 网络群体动力学行为的研究背景和意义 网络在现实世界中无处不在 众所周知 神经网络 因特网 万维网 交通网 食物链网 科学引用网 电力网 基因调控网 社会关系网等都是现实网络 1 9 9 8 年 W a t t s 和S t r o g a t W S 在N a t u r e 杂志上发表文章 1 引入小世界网络 s m a l l W o r l d 1 9 9 9 年 B a r a b 鼬和 A l b e r t B A 在S c i e n c e 杂志上提出了无标度网络 s c a l e 矗e e 2 以这两篇文章的发表为标 志 复杂网络的研究进入了一个新时代 除了W S 网 B A 网之外 还有一些其它的网络模型 被提出 如 改进的N e w m a n w a t t s N w 小世界模型等 3 大量现实复杂网络的建立给 社会生活带来极大的便利 提高了人类生产效率和生活质量 但是同时也给人类社会生活带 来了一定的负面冲击 如传染病和计算机病毒的快速传播以及电力网络的大面积崩溃等 从 2 0 世纪末开始 复杂网络研究已形成多学科相互交叉 渗透和融合的发展趋势 正吸引着数 理科学 信息科学 生物学 管理学 社会学以及经济学等不同领域的学者的广泛关注 对 网络化耦合系统的群体行为的研究成为近年来研究的热点 是目前国际前沿课题之一 在工 业应用中 因此我们期望能够应用许多价格低廉的小型设备之间的相互协调合作来替代原来 造价昂贵 设计复杂的大型集成电路设备 在实际生活中 由于资源的有限 冲突是不可避 免 我们期望能通过合理的资源配置和输导来达到协调的目的 多智能体网络的分布式协调 d i s t r i b u t e dc o o r d i n a t i o n 与合作控制 c o o p e r a t i v ec o n t r 0 1 问题近年来引起了越来越多的学 者的关注 这主要归因于多智能体系统的广泛应用 如 无人驾驶飞行器的合作控制 U A V 编 队控制 f o r m a t i o nc o n t r 0 1 4 9 集群 s w a r m i n g 8 分布式传感器网络 d i s t r i b u t e ds e n s o r n e t r o r k s 5 6 以及通讯网络当中的拥塞控制 c o n g e s t i o nc o n t r 0 1 7 无论是复杂网络中的同步 s y n c h r o n i z a t i o n 还是工程应用领域中的一致性 c o 瑚e n s u s 问题 本质就是使系统中互相连接的个体相互影响 最终趋于共同的状态 近年来 由于多 智能体系统的广泛应用以及合作控制问题的深入研究 一致性问题的研究发展迅速 近年来 对网络化环境下各种模型的一致性问题研究都取得了进展 引起国际学术界和工程界的广泛 关注 c s e k 1 0 于1 9 9 5 年提出并研究了R e y n o l d s 1 1 模型的 个简化模型 目前通常称 为V i c 8 e k 模型 并给出了仿真的结果但并未进行严格的理论分析 随后J a d b a b a i e 等 1 2 给 出了严格的理论证明了一定条件下 所有的智能体最终方向达到 致 这些结果都是从代数 图论的角度来研究系统的一致性问题 系统达到一致性主要依赖于图的连通性 后来 越来 1 东南大学硕士学位论文 越多的学者从不同角度研究了一致性问题 S a b e r 和M u r 巧 1 3 基于代数图理论讨论了有向 网络下的一致性问题 提出了具有固定拓扑和时变拓扑下多种线性的一致性协议 讨论几种 简单协议的收敛性问题 并给出了网络能容许的最大输入延时 很多控制学者结合观测器和 滤波器的特性对一致性问题进行分析 如 w 西R e n 等 1 4 在K a l m a n 滤波的结构上给出了 连续和离散模型的一致性策略 Y i g u a n gH o n g 等 1 5 在多智能体系统中引入了分布式观测器 进行研究 早期工作主要研究一维系统的一致性问题 后来w dR e n 等 1 6 1 8 L o n gw a n g 1 9 x i a o f 妇w a n g 2 0 结合控制理论 讨论了二维和高维系统的一致性问题 另外 许多学 者将网络拓扑和不同的控制策略结合 如 引入参考状态考虑L e a d e r f o l l o w e r 的一致性问题 或者牵制控制部分结点 2 l 等讨论了同步和一致性问题 虽然网络化系统的群体行为的研究 已经在国内外引起了许多学者的关注 然而还有很多相关问题未得到解决 值得人们进一步 研究 1 2 分数阶系统的研究背景和现状 2 分数阶微分方程的理论可以追溯到1 6 9 5 年 L e i b n i z 在写给L H o s p i t a l 的信中 讨论了 1 2 阶导数的意义 2 9 紧接着在1 7 世纪末 瞰e m a I l I l L i o u v i l l e 和G r d n 册 l d L e t n i k o v 从不同 角度分别给出了两种不同的分数阶导数的定义 分别为R i e m a I m L i o u v i l l e 导数和G r 讧r l w a l d L e t n i k o v 导数 在接下来的三个世纪中 分数阶导数的理论主要停留在纯数学理论的发展 上 1 9 6 9 年 M C 印u t o 引入了一种新的分数阶导数的定义 2 8 这种导数的定义和前两种定 义相比没有初始值的问题 I n i t i a l i z a t i o np r o b l e m 并且涉及的初值都是整数阶导数 因而有 明确的物理解释 3 3 于是 C a p u t o 分数阶导数被广泛应用在物理 化学 生物以及控制工程 中 例如 A 0 u s t a l o u p 提出了一种名叫C R O N E C o m m a I l d eR D b u s t e d 0 r d r eN o nE n t i e r 的分数阶控制器 2 5 2 6 这种控制器与经典的P I D 控制器相比有明显的优越性 另外 一种 介于电阻和电容之间的电路元件f r a c t a n c e 27 的成功实现使得分数阶系统和分数阶控制器 能够通过电路模拟出来 与此同时 国内外一些著名学者从理论上研究了分数阶系统的稳定 性 主要方法包括L a r n b e r t 函数方法 3 4 3 5 复频域方法 3 6 等等 然而 由于缺乏合适的数学方法 分数阶系统的控制理论发展得还不是很完善 大多数 分数阶系统的讨论都是利用L 印l a u c e 变换的方法在频域里进行的 很少有在时域中处理分数 阶系统的方法 而非线性系统用频域方法往往很难讨论 这样就给分数阶系统的讨论带来诸 多限制 因此 在研究分数阶系统时同样引入时域方法具有非常重要的意义 例如在研究整 东 南大学硕士学位论文 3 数阶微分系统稳定性时常用的L y a p u n o v 方法是否能够移植到分数阶微分系统中来 这是一 个值得探讨的问题 对于很多实际系统 用分数阶动力学方程来刻画比用经典的整数阶微分方程刻画更恰当 如 飞行器在空气中微粒的影响不可忽略的环境中 如沙尘暴 雨 雪等 的运行 以及陆地 上的交通工具在有大量草 沙或泥泞的道路上的行驶 这些物理过程用分数阶的动力学方程 来刻画更为恰当 另外 有一些现象自然的可以用具有分数阶动力学的智能体的协调行为来 解释 例如化学中的趋药性行为 微生物的觅食以及细菌在润滑油中通过自身分泌物达到集 群的行为 2 3 2 4 许多学者指出由于分数阶导数包含了从初始时刻开始到当前时刻的所有信 息 整数阶导数只包含了当前时刻附近的信息 因而可以更加真实的刻画实际物理系统 1 0 分数阶系统和经典的整数阶系统相比 最大的优点在于可以描述各种物质及其演化过程的记 忆和继承的性质 而在整数阶系统中这些性质都被忽略了 并且 分数阶系统包含了经典的 整数阶的情形 而整数阶的情形可以作为分数阶情形的特殊情况 然而 分数阶系统的同步 和一致性问题还研究的非常少 基于以上原因 近两年来 国内外诸多学者正在把注意力转向网络化的分数阶系统的同 步和一致性的研究 r o n g c a nC a o 等 3 0 最早给出了分数阶线性系统的一致性协议并分析了 保证系统达到一致性的分数阶数的范围 同时给出了一种变阶数的算法来提高一致性协议的 收敛速度 而后在 3 1 中 又把上述结果拓展到了网络结构切换和带有阻尼项的情况 但是 其中给出的保证网络结构切换时分数阶系统一致性的条件不易验证 Y a l l g1 a n g 等 3 2 研究 了分数阶网络的牵制控制问题 并且发现可以通过减小分数阶数而不需要牵制任何结点就可 以使网络达到稳定 这说明分数阶系统很有可能比整数阶系统具有更好的同步性能 目前 讨 论网络化分数阶系统的同步和一致性的文献还非常少 有很多问题都有待于进一步研究 如 输入和通讯延迟对分数阶系统同步和一致性的影响 在分数阶网络同样引入网络拓扑切换和 随机机制 考虑分数阶网络的聚类同步和部分同步问题 探索能否L y a p u n o v 方法来讨论分 数阶系统的一致性问题 这些都是极具挑战性的问题 1 3 本文的主要工作和创新点 本文研究了几类多智能体系统的一致性和耦合神经网络的同步问题 主要包括 1 研究 了带有输入延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 2 探讨了同时带有输入和通讯延迟 的分数阶多智能体系统的一致性问题 3 研究了时标上多智能体系统的一致性问题 4 讨 东南大学硕士学位论文 4 论了基于不连续控制器的耦合神经网络的有限时间同步问题 具体内容如下 第一章对网络群体动力学行为及分数阶系统作了简单介绍 并总结了分数阶多智能体系 统一致性的研究意义与研究现状 第二章主要研究带有输入延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 其模型如下s z Q 亡 仳t 一兀 i 1 1 其中死代表输入延迟 控制输入u t t 由下式给出 u i t o 巧 巧 亡一瓦 一觑 亡一兀 i 1 2 j N t 各参数具体定义详见第二章 本章首先给出了各节点的输入延迟相同的情况下分数阶多智能 体系统达到一致的充要条件 然后进一步讨论了各节点输入延迟不同的情况下一致性的充分 条件 最后给出数值仿真说明所得理论的有效性 第三章主要研究同时带有输入和通讯延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 该模型 的动力学方程如下 z 亡 t 亡一也 1 3 其中也表示输入延迟 控制输入乱t 亡 由下式给出 钍l o 巧 亡一 一既 亡 t 1 4 j N 其中 表示通讯延迟 其余各参数具体定义详见第三章 本章首先研究了带有不同的输入和 通讯延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 当分数阶数Q o 1 1 时 给出了保证同时带 有不同的输入和通讯延迟的分数阶多智能体系统一致性的充分条件 同时发现了一致性条件 只依赖于输入延迟而不依赖于通讯延迟 此外 对于无向图的情形 在没有输入延迟的情况 下 显式地给出了保证阶数为Q o 2 的分数阶多智能体系统的一致性的通讯延迟的上界 第四章主要研究时标上多智能体系统的一致性问题 首先考虑了无领导 1 e a d e r l e s s 情况 下多智能体系统的一致性 该模型的动力学方程如下 z 拿 亡 E o 玎 亡 一兢 t 1 5 l 此外 还考虑了只有一个节点知道参考状态z d 亡 的情况下多智能体系统的一致性问题 其模 型为 东南大学硕士学位论文 5 z p E 1 n 巧 亡 咱 亡 一后 删咱 龇若 1 1 6 一 Iz 争 亡 E 1 巧 t 一兢 其他 各参数具体定义详见第四章 最后通过仿真给出一个反例 说明在粒度函数无界的情况下 时 标上多智能体系统达不到一致性 第五章主要研究了一类耦合神经网络的有限时间同步问题 孤立神经网络模型由以下方 程给出 圣 一B z T 夕 t J 1 7 另外 一组线性耦合的神经网络如下描述 晓 t 一B 玑 亡 T 夕 玑 J c o 巧 协一犰 u o 1 8 通过设计如下不连续控制器使得系统 1 8 在有限时间内和系统 1 7 达到同步 u t 亡 一比 耽一z 一卢s i g n 犰一z z 1 2 1 9 各参数具体定义详见第五章 本章中 首先基于L y a p u I l o v 函数方法和不连续的有限时间稳 定性理论 得到了有限时间同步的充分条件 另外 提出了切换控制和自适应参数调节等策 略来减少同步时间 最后通过在网络的耦合连接中引入一些合适的非线性函数 把牵制控制 策略应用到耦合神经网络有限时间同步中 第六章对全文工作进行了总结 并对今后的研究方向做了一些展望 本文的主要创新点如下 1 有关多智能体系统一致性的文献中 讨论整数阶 一阶 二阶甚至高阶 多智能体系 统的文献非常之多 而许多实际系统用分数阶动力学方程来描述更合适 不幸的是 研究分 数阶多智能体系统一致性的文献还非常少 在本文中 基于频域方法第一次研究了带有输入 和通讯延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 拓展了文献 1 3 3 0 3 7 中的一些结果 据 我们所知 到目前为止 还没有关于带有时滞的分数阶多智能体系统一致性的结果 2 在已有的研究复杂网络同步和多智能体系统一致性的文献中 网络模型形式上都比 较单一 要么连续型 要么离散型 而现实世界中的网络并非如此 可能某一时段网络是连 续演化的 而另一时段则是非连续变化的 现有模型上的这种缺陷直接导致了其无法模拟真 东南大学硕士学位论文 6 实网络 时标理论正是解决这一问题的有效工具 然而还鲜有文献研究时标意义下多智能体 系统的一致性 为了更好的模拟真实网络 本文在时标框架下讨论多智能体系统的一致性 显 然这种连续型和离散型混杂的网络更符合实际 已有文献 1 3 3 8 中的一些结果可以作为本 文结果的特殊情况 3 目前关于耦合神经网络同步的文献中 关于网络同步的研究结果大多是基于无限时 间的渐进过程 也就是说 只有当时间趋于无穷的时候 耦合神经网络才逐渐趋于同步的状 态 即理论上网络同步不可能在有限时间内实现 然而在实际的物理或工程系统中 要求网 络有限时间就能达到同步状态 因而 有限时间同步有着非常重要的实际意义 本文基于不 连续控制器讨论了耦合神经网络的有限时间同步问题 另外提出了切换控制和自适应控制策 略以减少同步时间 第二章带有输人延迟的分数阶多智能体系统的一致性 2 1背景介绍 多智能体系统的一致性问题在计算机科学领域有很长的历史 近年来引起了越来越多各 个学科学者的广泛关注 这主要归因于多智能体系统在许多领域的潜在应用 如 无人驾驶飞 行器的合作控制 u A V 3 9 机器人的编队控制 f o r m a t i o nc o n t r 0 1 4 4 0 分布式传感器网络 d i s t r i b u t e ds e n s o rn e t w o r k s 的设计 5 6 等等 在已有的文献中 研究一阶 二阶 4 1 1 7 1 6 甚至高阶多智能体系统一致性 4 2 4 3 的文章非常之多 然而很少有文献讨论分数阶多智能体 系统的一致性 据我们所知 分数阶多智能体系统的一致性最早由C a o 等提出并研究 3 0 3 l 分数阶微积分的历史可以追溯到1 7 世纪 与传统微积分的整数阶导数和积分不同的是 分数阶微积分中的导数和积分的阶数都是实数 分数阶微积分在材料科学和工程领域都有重 要应用 如 热力工程 控制 反常扩散 粘弹性材料等等 4 4 4 5 分数阶导数的定义有许 多种 4 6 4 7 各种不同的分数阶导数适用于不同的物理现象 比较常用的是C 印u t o 分数 阶导数和R i e m a n n L i o u v i l l e 分数阶导数 3 3 C a p u t o 分数阶导数的定义没有初始值的问题 I n i t i a l i z a t i o np r o b l e m 并且涉及的初值都是整数阶导数 因而有明确的物理解释 且相应的 L a p l a u c e 变换比R i e m a n n L i o u v i l l e 分数阶导数简单 因此 在本文中 我们始终采用C 印u t o 分数阶导数 由于放大器的有限切换速度 生物网络的有限信号传输时间 记忆效果等原因 时滞在 实际系统中不可避免 而时滞的存在经常会导致系统的不稳定 因而时滞系统的稳定性和镇 定问题在实际和理论上都有很大的研究价值 对于多智能体系统 通常考虑的两种时滞 分 别是输入延迟和通讯延迟 输入延迟是指控制输入传输到每个节点时产生的延迟 同时影响 每个节点及其邻居节点 4 8 4 9 通讯延迟是指节点之间发生信息交互时产生的延迟 只影响 信号被传输的节点 3 7 在本章中 我们考虑输入延迟对分数阶多智能体系统一致性的影响 应用拉普拉斯变换的方法 首先在频域上讨论分数阶系统的稳定性 然后 再应用广义奈奎 斯特 N y q u i s t 稳定性准则 显式给出保证带有输入延迟的分数阶多智能体系统达到一致性 的延迟范围 7 东南大学硕士学位论文 2 2 预备知识 2 2 1 图论相关知识 G V 4 是一个带权的n 阶有向图 其中顶点集合y 钉1 边的集合 y y 连接矩阵4 其中 o G 的边用e 巧 心 表示 如果 y 那么 o 否则 巧 o 假设n 知知 o 忌 l 2 n 仇的邻居节点表示为舭 y 仇 有向路径是有向图中形如 u 1 u 2 忱 忱 的边的序列 其中仇 1 夕 如果 有向图中至少存在一个节点到所有其他节点都有有向路径 则称此有向图包含一个有向生成 树 图G 相应的L a p l a u c e 矩阵为L 其中z J t 其中幻 一口巧 i 歹 容易 验证L 至少有一个零特征值 记为入1 其相应的右特征向量为l n 当G 是无向图时 也就 是4 G 称为连通的当且仅当任何两个节点之间都存在一条路径 引理2 2 1 1 7 对于有向图G 其相应的L 印l a u c e 矩阵L 有单重零特征值 其相应的右特征 向量为1 其他所有特征值均有正实部当且仅当G 包含有向生成树 2 2 2C 印u t o 分数阶导数 C 印u t o 分数阶导数定义如下f 3 3 珊邢 南小叫 1 鲁 n 竹渺 其中 厂 是依赖于时间的函数 a 表示分数阶导数的阶数 且满足n 一1 a 礼 因为下文 中只用到c 印u t o 导数 因而把拿D 尹 亡 简记为 t 下面介绍C 印u t o 导数的L 印l a u e e 变换 C 表示函数的L 印l a u c e 变换 由L a p l a c e 变换的 定义F s c 亡 旷e 哪 亡 班 容易得到 3 0 c t 陋 c t 二 三二 兰 一s 一 三主 Is o F s 一s 1 o 一s 2 o Q 1 2 2 3主要结果 2 3 1带有相同输人延迟的分数阶多智能体系统的一致性 本节将对于给定的有向图 给出保证带有相同输入延迟的分数阶多智能体系统达到一致 性的延迟的精确范围 导出的条件与有向图对应L 印l a u c e 矩阵的特征值和分数阶系统的阶数 8 东南大学硕士学位论文 紧密相关 为了考虑这一问题 下面首先介绍一般的带有相同输入延迟的分数阶多智能体系 统 本节中考虑的带有相同输入延迟的分数阶多智能体系统模型如下 z 口 亡 牡t 亡一7 2 1 其中兢 亡 和札t t 分别表示第t 个节点的状态和控制输入 z t 表示甄 亡 的Q 阶导数 其 中a R 下表示系统输入延迟 控制输入钍t 亡 由下式给出 让 t t 一甄 亡 2 2 J t 其中 巧表示矩阵4 的 i 歹 位置的元素 t 表示第i 个节点的邻居集合 在一致性协议 2 2 下 系统 2 1 可以写成 2 3 9 如果l i m I k t 一巧 圳 o 耽 歹 则称系统 2 1 在一致性协议 2 2 下达到渐近一 致性 在本文中 始终假设o Q 2 因为即使在不带延迟的情况下 系统 2 3 在a 2 时也不稳定 见 3 0 下面利用广义奈奎斯特 N y q u i s t 稳定性准则 导出保证系统 2 1 达到一致性的充要条 件 其中延迟丁的界显式给出 定理2 3 1 假设有向图G 包含有向生成树 那么系统 2 1 在一致性协议 2 2 下渐近达到 一致当且仅当 下 唧竺铲 2 4 下 l I A i l l Q 其中九是L 印l a c e 矩阵L 的特征值 a r g 表示复数的辐角主值 证明 当Q o l 时 对系统 2 3 进行L a p l a c e 变换 得到 s x s 一s 一1 戤 o o 巧e 一 玛 s 一五 s J M 进一步写成如下的矩阵形式 s x s 一s Q 一1 z o 一e 一1 5 三x s r 一 Z r 一 巧一 o 觥 n Z 东南大学硕士学位论文 解出x s 可得 相应的特征方程为 x s s n J e 一下5 L 一1s 一1 z o d e t s Q e r 8 L o 2 5 注意到d e t 铲 e 吖8 翟l s n e 吖3 九 显然 当i l 时 铲 e 吖8 九 o 可以推出 s 0 下面我们只讨论l 1 的情形 根据广义奈奎斯特稳定性准则 方程s e 8 九 0 除s o 以外的所有根都在左半复平面当且仅当G t 九e 一灿7 0 u Q 的奈奎斯特轨线 不包围也不经过点 一l 歹o 讪 一o o o 由于奈奎斯特轨线的对称性质 只需要讨论 u 0 的情形 输入延迟7 的范围可以按照如下方式计算 通过一些简单计算 可以得 到 G 舢 唑筹窘 岩删 周 等等 c o s u 7 7 r Q 2 一a r g 九 一歹s i n u 丁 7 r a 2 一a r g 九 G t p 的奈奎斯特轨线如图2 1 所示 容易看出G i u 的奈奎斯特轨线不包围 一1 歹o 当且 仅当G t 当u 从O 变化到 o 时第一次与实轴相交的交点在点 一1 歹o 的右边 这等价于 u 7 7 r Q 2 一a r g 九 7 r 和I 九I u Q 1 由此推出7 1 丌一丌口 2 龃g 九 I 九1 1 肛 因此 在条件 2 4 下 系统 2 1 在一致陛协议 2 2 下渐近稳定 另一方面 系统 2 3 的任何平衡点z 是L 相应于零特征值的右特征向量 由引理 2 2 1 矩阵L 相应于零特征值的特征子空间是一维的 因此存在p R 使得矿 卢1 也就 是z 卢 因此系统 2 3 渐近达到一致性 当Q 1 2 时 对系统 2 3 进行L a p l a u c e 变换 得到 8 口x s 一矿一1 玩 o 一s 一2 娩 o e 一 玛 s 一x s J 肌 解出X s 可得 x s s e r 8 L 一1s 口一1 z o s e r 8 L 一1s 一2 圣 o 注意到特征方程与上一部分相同 因此稳定性条件和上一部分一样 以下关于平衡点矿的讨 论略有差别 因为p 与时间t 相关 但是系统 2 3 在条件 2 4 还是能达到渐近一致性 证 毕 口 1 0 东南大学硕士学位论文 图2 1 九 1 歹 口 o 8 7 o 5 时 G t o u 的N y q u i 8 t 轨线 注2 3 1 系统 2 3 达到一致性的稳定状态可以由文 3 0 中类似的方法给出 在此省略 我 们发现相同的输入延迟并不影响分数阶多智能体系统达到一致性时的稳定状态 2 3 2带有不同输人延迟的分数阶多智能体系统的一致性 在本节中 我们考虑带有不同输入延迟的分数阶多智能体系统的一致性问题 其模型描 述如下 z n 亡 乱i 一矗 2 6 其中每个节点带有不同输入延迟气 在一致性协议 2 2 下 系统 2 6 可以如下表示 z 娥t 巧 亡一死 一甄 t 一瓦 J 帆 首先 我们给出一些引理 引理2 3 2 见引理3 5 0 给定Q Q T o 以及T d i a g 屯 如 C 那么 A Q T p Q C o ou 岛 其中p 表示矩阵的谱半径 C o 表示集合的凸包 2 7 引理2 3 3 见引理3f 4 3 给定正定对角阵D R n 黼以及矩阵M C 似n 则有A D M 入 D 1 2 M D l 2 其中A 表示矩阵的谱 1 1 东南大学硕士学位论文 定理2 3 4 假设无向图G 连通 则系统 2 6 在一致性协议 2 2 下达到渐近一致性 如果 菘务 州 丽 忱刨 证明 由定理2 3 1 证明中类似的推导 不难得到系统 2 7 的特征方程 d e t s J d i a g e 一以8 己 o 2 8 定义 s d e t s 口 d i a g e 咱5 L 显然 s o 是 s 的一个零点 系统 2 7 渐近稳 定 如果 s 除s o 以外的所有零点都在左半复平面 下面我们将证明夕 s d e t d i a g e 1 8 L s 的所有零点都在左半复平面 根据广义奈奎斯特稳定性准则 9 s 的所有 零点都在左半复平面 如果d i a g e 叫n u L D u a 即入 d i a 酣e j n u 0 叫 L 的特征根轨线 既不包围也不经过点 一l 歹o 乩 一o o 由于奈奎斯特轨线的对称性质 只需讨论 u o 的情形 记G t e J 删 O u a 首先 计算使得 G i 的奈奎斯特轨线在叫 从0 变化到 o 第一次与实轴相交时恰好交点为 一1 J 0 的 的值 根据定理2 3 1 证明中 类似的分析 我们得到u 死 7 r n 2 丌以及 u 口 l 由此推出 7 r 一7 r Q 2 n o 令 7 r 一7 r Q 2 凡 a 根据引理2 3 2 和引理2 3 3 可得 A d i a g e 一 矗u 歹L u n L A d i a g 忌i e J n 歹c d n d i a g 七f 1 2 L d i a g 七f 1 2 J D d i a g 尼f 1 2 L d i a g 忌f 1 2 C o ou G 乞 L u J D d i a g 肾1 L C o ou G l u 注意到矩阵的谱半径小