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2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分1（仅文科做），求证：2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1（仅文科做），求证：【解析】 不妨设，则，且当时，于是在上单调增即有同理可证，当时，于是在上单调增。在上有。即。注记：也可用三角函数线的方法求解2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有于是由，知不妨设为下面研究正五边形对角线的长如右图做的角平分线交于易知于是四边形为平行四边形由角平分线定理知解得3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）【解析】 不妨设过点的切线交轴于点，过点的切线交轴于点，直线与直线相交于点如图设，且有由于，于是的方程为；的方程为 联立的方程，解得对于，令，得；对于，令，得于是不妨设，则 不妨设，则有 6个 9个 又由当时，处的等号均可取到注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解由知当时；当时则在上单调减，在上单调增于是当时取得最小值4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）【解析】 不妨设，夹角为，则，令其对称轴为而在上单调增，故当时，解得当时，在上单调增，于是不合题意于是夹角的范围为5存不存在，使得为等差数列（25分）【解析】 不存在；否则有，则或者若，有而此时不成等差数列；若，有解得有而，矛盾！2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试数学试题请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。【试题解答】1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为，所以,所以。2.求过抛物线和的交点的直线方程。解析：解法一：由，得，所以过抛物线和的交点的直线方程。解法二：由得或，所以过抛物线和的交点的直线方程。3.在等差数列中，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何？解析：因为所以，所以，法一：由得，又，所以，所以。法二：由，所以当，。4.在中，求证：.解析：因为，当且仅当时，成立，又因为，所以。5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？解析：设存在四个正实数使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数的两两乘积为，把这些乘积乘起来，所以，又为正实数，所以，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。6.和是平面上两个不重合的固定圆，是平面上的一个动圆，与，都相切，则的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.解析：不妨设，和的半径分别为（），（1）当和相离时，即，（）若与，都外切，则，所以；若与，都内切，则，所以；所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线； （）若与内切，外切，则，所以；若与外切，内切，则，所以；所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；（2）当和外切时，即，（）若与，都外切，则，所以；若与，都内切，则，所以；所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线； （）若与内切，外切，则，（或，），所以（或）；若与外切，内切，则，（或，），所以（或）；所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）； （3）当和相交时，即，（）若与，都外切，则，所以；若与，都内切，则，（或，），所以；所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线（圆、的交点除外）； （）若与内切，外切，则，所以；若与外切，内切，则，所以；所以，由椭圆的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（圆、的交点除外）； （4）当和内切时，即，（）若与，都外切，则，所以；若与，都内切，则，（或，或，），所以(或或)；所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）； （）若与内切，外切，则，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（两圆、的交点除外）； （5）当和内含时，即，（）若与，都内切，则，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆； （）若与内切，外切，则，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆。7.求的最小值。 2012年北约自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数；2、求的实数根的个数；3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得在有唯一解的；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题 2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一 选择题（每题8分，共48分）1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）A2 B3 C5 D6 2在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A720 B20 C518400 D144003已知，则的值为 （ ） A-10 B-12 C-14 D-16E4如图， 在ABC中，D为BC中点，DM平分ADB交AB于点M，DN平分ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为 ( ) A.BM+CNMN B.MN+CN MN C.BM+CN =MN D.无法确定5设数列满足，前项和为，求6模长为的复数满足，求A-1/2 B1 C2 D无法确定二、解答题(每题18分,共72分)7最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数8已知，为2013个实数，满足，且，求证9对于任意的，求的值10已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明2013年北约自主招生数学试题解析2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一 选择题（每题8分，共48分）1以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 （ ）A2 B3 C5 D6 【解析】 显然为满足要求的多项式，其次数为5若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，即最小次数为5故选C2在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A720 B20 C518400 D14400【解析】 先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法故停放方法共种故选D3已知，则的值为 （ ） A-10 B-12 C-14 D-16【解析】 ，又由，有或当时，有，； 当时，故选DE4如图， 在ABC中，D为BC中点，DM平分ADB交AB于点M，DN平分ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为 ( ) A.BM+CNMN B.MN+CN MN C.BM+CN =MN D.无法确定【解析】 延长ND至E，使NDED，连结BE、ME，则BEDCND，MEDMND，MEMN，由BMBEEM，得BMCNMN5设数列满足，前项和为，求【解析】 ，；由 ，有时，于是，特征方程有重根2，可设，将，代入上式，得，于是，故选A6模长为的复数满足，求A-1/2 B1 C2 D无法确定【解析】 取，便能得到1下面给出证明，于是 1二、解答题(每题18分,共72分)7最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数【解析】 设满足条件的正整数为个考虑模3的同余类，共三类，记为， 则这个正整数需同时满足不能三类都有；同一类中不能有3个和超过3个否则都会出现三数之和为3的倍数故 当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个8已知，为2013个实数，满足，且，求证【解析】 设，若，则，于是，进而若，则， 这2013个数去掉绝对值号后只能取和两值，又，即这2013个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能9对于任意的，求的值【解析】 ， ， ， ， 各式相加，得10已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明【解析】 数阵中的中每一行的各数仍是递增的下面用反证法给出证明 若在第行存在，令，其中，则当时， 即在第列中至少有个数小于，也就是在数阵中的第列中至少排在第行，这与排在第行矛盾所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的2014北约理科数学试题1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.3、求.4、的值域为求的取值范围.5、已知且都为负实数，求的取值范围.6、在上为奇函数，求的值.7、求证：8、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.9、是等差数列，问：是否可以同时在中，并证明你的结论.10、求证：2014北约文科数学试题1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.3、求.4、的值域为求的取值范围.5、已知且都为负实数，求的取值范围.6、在上为奇函数，求的值.7、等比数列的公共项之和.8、梯形的对角线长分别为和，高是求梯形的面积.9、求证：10、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.2014北约理科数学试题（参考答案）1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.【解析】从而圆锥底面周长为2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.3、求.【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设代入求得从而4、的值域为求的取值范围.【解析】值域问题.或5、已知且都为负实数，求的取值范围.【解析】均值不等式，对勾函数性质.从而6、在上为奇函数，求的值.【解析】下面证明：7、求证：【解析】反证法.假设则从而矛盾.8、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.【解析】设则由，可得由可得化简得即又没有实根.9、是等差数列，问：是否可以同时在中，并证明你的结论.【解析】数列中的项.分析中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为，第二项为，最大的项为设公差为则中项的公差也为，所以中共有项，假设均为中的项，不妨设且这样的不存在，矛盾.所以不可以同时在中.10、求证：【解析】不等式；柯西不等式或平均不等式.法一：不等式.调和平均值，则，可得，上述两式相加得，即，即法二：由及要证的结论分析，由柯西不等式得，从而可设，且从而本题也即证从而，即，假设原式不成立，即则从而，矛盾.得证.2014北约文科数学试题（参考答案）1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.【解析】从而圆锥底面周长为2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.3、求.【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设代入求得从而4、的值域为求的取值范围.【解析】值域问题.或5、已知且都为负实数，求的取值范围.【解析】均值不等式，对勾函数性质.从而6、在上为奇函数，求的值.【解析】下面证明：7、等比数列的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为，易得最小的数为和的最小公倍数为则公共项之和为8、梯形的对角线长分别为和，高是求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为，易求得9、求证：【解析】反证法.假设则从而矛盾.10、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.【解析】设则由，可得由可得化简得即又没有实根.2011年北大保送生考试数学试题参考解答2012年北京大学保送生考试数学试题及参考解答1 已知数列为正项等比数列，且，求的最小值解：设数列的公比为，则，由知 ， 当且仅当即时，有最小值2已知为二次函数，且成正项等比数列，求证：证法一：设，数列的公比为，则， 得，得若，则；若，则与矛盾证法二：由成等比数列得， 三点满足， 三点共线，与三点在抛物线上