2006—2013年吉林大学数学分析、高等代数考研试题及答案【整理版】.docx

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷1、 （共 30 分）判断题1、 若函数在上可积，则 在上也可积；2、 若级数收敛，则级数也收敛；3、 任何单调数列必有极限；4、 数列的上、下极限都存在；5、 区间 上的连续函数必能达到最小值；6、 在整个实轴上是一致连续的；7、 若函数沿着任何过原点的直线连续，则在连续；8、 若函数在点取极小值，则=0；9、 若=0，则再点取最大值；10、 向量场是无源场。2、 （共 20 分）填空题1、 设，则=( );2、 设，则=();3、 设，则=( );4、 设s表示单位球面，则第一型曲边梯形=();5、 数列的下极限为();3、 （共 20 分）计算下列极限1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；4、 （共 20 分）判断下列级数的敛散性1、 ；2、 ，其中，；5、 （10 分）设函数在两次连续可微，满足且。证明：存在使得。6、 （10 分）计算第二型曲线积分其中为单位圆周，方向为顺时针方向。7、 （10 分）证明，对任意 ，都有8、 （10 分）设均为常数，且对任意都有证明：九、（10 分）证明，不存在上的正的可微函数，满足。十、（10 分）试构造区间上的函数序列，具有如下性质： (1)对每个，是上的正的连续函数； (2)对每个固定的，； (3).高等代数与空间解析几何卷1、 （共 32 分）填空1、 平面上的四个点在同一个圆上的充要条件为 _ 。（要求用含有 的等式表示）；2、 设方阵只与自己相似，则必为 _ ；3、 设为可逆矩阵，则直线与直线的位置关系为 。（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；4、 设为四阶正方矩阵，其中均为四维列向量：，且线性无关。求线性方程组的通解 。2、 （16 分）求二次曲面的主方向；3、 （17 分）设为维欧式空间，与为中向量，线性无关，且对任意的均有。证明，必有上的正交变换使得4、 （17 分）设 为数域上的维向量空间，均为上的线性变换，且满足。证明：。5、 （17 分）设为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵，使得为正定矩阵。6、 （17 分）设为数域上的维向量空间，为上的线性变换，且。证明：存在的一个适当基底及型矩阵，使得在该基底下恰好对应矩阵。7、 （17 分）设为实数域上的全体阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，为上的线性变换，对任意的，。 1、求的特征值； 2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明恰为的所有特征子空间的直接和。8、 （17 分）设为阶实方阵，若对任意的均有，则称为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵比为可逆矩阵。吉林大学2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷1、 （共 30 分）判断题1、函数在任何有限区间上都是可积的；2、若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；3、任何单调递增且有下界的数列必有极限；4、有界数列的上、下极限都存在；5、连续函数一定是有界函数；6、在整个实轴上是一致连续的；7、若函数 在处的两个偏导数，则在连续；8、在内有无穷多个极大极小值点；9、若则 在点必取极大值或极小值；10、向量场是无源场。二、（共 20 分）填空题1、设，则( );2、设，则=( );3、设，则=( );4、设s表示单位球面，则第一型曲边梯形= ( );5、数列的上、下极限的和为( );) 三、（共 20 分）计算下列极限 1、；6、 （10 分）计算第二型曲面积分其中为球面的内侧。高等代数与空间解析几何卷1、 求点到平面的距离。2、 求曲面在点处的切平面。3、 写出内积、外积和混合积的定义。4、 设为在有理数域上大于1的多项式，给出的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。5、 再复数域上，当取何值时，多项式有重因式。6、 ，求正交矩阵及对角矩阵，使得8、 是实数域上三元列向量空间，为阶正定矩阵。定义，则当满足什么条件是，为欧式空间。9、 当为何值时，5个平面经过一条直线。10、 求上的线性变换，使，二、1、 设为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数，使得都是整数，证明：是整数多项式。2、 是在曲线的充要条件是，其中是向量的长度，是向量的方向余弦。3、 是数域上的向量空间，是上的线性变换，记：当且仅当是特征子空间。4、 假定是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使得。5、 设是数域上的阶矩阵构成的向量空间，是的极小多项式，令，证明：(1)是的子空间，而且(2)不可约，则的每个非零元素都是可逆矩阵。吉林大学2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、二、3、4、 ，为椭圆，周长为a。三、1、 设于上二次连续、可微，存在不低于整数的常数，使得。记，证明：存在，使.2、 皆为区间上的连续函数，在上二次连续， ，其中为常数。证明 (1)时，于一至连续。 (2)满足3、 在上具有连续的一阶导数。 证明；4、证明：在上不一致连续，且5、 在上具有连续的一阶导数，且，证明：高等代数与空间解析几何卷7、 求点到平面的距离。8、 求曲面在点处的切平面。9、 写出内积、外积和混合积的定义。10、 设为在有理数域上大于1的多项式，给出的两个非零值，使得相应的两个多项式分别可约，不可约。11、 再复数域上，当取何值时，多项式有重因式。12、 ，求正交矩阵及对角矩阵，使得11、 是实数域上三元列向量空间，为阶正定矩阵。定义，则当满足什么条件是，为欧式空间。12、 当为何值时，5个平面经过一条直线。13、 求上的线性变换，使，二、6、 设为有理数域上的两个非零多项式，且有无穷多个整数，使得都是整数，证明：是整数多项式。7、 是在曲线的充要条件是，其中是向量的长度，是向量的方向余弦。8、 是数域上的向量空间，是上的线性变换，记：当且仅当是特征子空间。9、 假定是正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵，使得。10、 设是数域上的阶矩阵构成的向量空间，是的极小多项式，令，证明：(1)是的子空间，而且(2)不可约，则的每个非零元素都是可逆矩阵。吉林大学 2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：数学分析1、 计算（每小题7分，共42分）（1） 设可导，求；（2） 求；（3） ，求；（4） 设，求；（5） 求，其中，（6） 求，其中为曲面位于的部分。2、 证明（每小题10分，共20分）（1） 设,数列收敛。（2） 设，数列发散。3、 （20分）求二元函数于闭区域 上的最大值和最小值。4、 （15分）指出以下三个定义区间上的函数中哪一个是不一致连续的，并证明你的结论。（1） （2） （3）5、 （10分）设于上具有连续的二阶导数，为常数，求证：存在唯一的，使得。6、 （10分）设有连续导数，计算曲线积分其中为从点到点的位于直线段下方的光滑曲线段，与围成的面积为。7、 （每小题10分，共20分）（1） 将函数展成幂函数，并指出其收敛区间；（2） 将函数展成级数。8、 （13分）设，求证： （1）； （2）收敛，空间解析几何1、 计算下列各题（本题满分75分，每小题15分） 1、求过点,平行于平面，且与直线相交的直线方程。2、 求直线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程。3、 设4元线型方程组，且的秩，已知是其3个解向量，其中求的通解。4、 已知矩阵相似，求。5、 已知向量组(1) 试证是的基；(2)将用这个基线性表示。2、 证明下列各题(本题满分60分，每小题10分)1、 设阶矩阵满足，试证.2、 设线性无关，令，试证也线性无关。3、 设均为阶对称矩阵；证明是阶对称矩阵。4、 设阶矩阵满足，试证可逆。5、 设矩阵，若的秩，试证为正定矩阵。6、 已知阶方阵满足，试证。3、 (本题满分15分)设3阶方阵有3个不同的特征值，且，试证若，求。 吉林大学2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：数学分析1、 （每小题6分，共30分）判断题1. 若某数列的任意子数列都发散，则此数列必无解；2. 若对任意正整数，都有实数使得当时，便有，则。3. 若收敛，则于上有界.4. 设为一元函数，若对任何实数都有则于处连续.5. 若收敛，则.2、 (每小题6分，共30分)计算题1. 求极限.2. 设，求.3. 求4. 求5. 求由方程所确定的隐函数的导数并计算。3、 （每小题10分，共30分）判断下列级数、广义积分的收敛性，并给出简要证明.1.2.3. 求函数项级数的收敛域并判断其一致收敛性。4、 （每小题10分，共20分）证明题。1. 用定义证明.2. 证明在整个实轴上是一致连续的.5、 （每小题10分，共20分）计算下列积分：（1） 计算曲线积分，其中为椭圆（2） 计算,其中是第一象限中由曲面所围成的区域。6、 （10分）设于上连续，在内可导且满足证明至少存在一点使得.7、 （10分）设于上连续，在上有界，证明：试题名称：空间解析几何与高等代数说明：1.坐标系均为直角坐标系，切为右手系；2.矩阵与向量空间都是在某个适当的数域上。1. (20分)直线 和 是否共面？说明理由。 2.(20分)设向量空间不共面，证明空间的任一向量都可表示为其中表示混合积。 3.(20分)从原点向椭圆面的切平面做垂线，求垂足的轨迹方程。4. (20分)设，证明是有理数域上的既约多项式。5. (20分)已知都是阶矩阵，可逆，并且证明：可逆，并求其逆。 6.(20分)设都是阶矩阵，并且每个元列或是方程组的解，或是方程组的解，证明。7.(15分)设是阶正定矩阵，是一组使得非零元列向量，并且当时，恒有证明8.(15分)设是维欧式空间，是的所有线性变换过程的向量空间，是的对称变换，是的所有特征子空间的维数，令证明：（a） 是的子空间;（b）吉林大学2011 年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：数学分析1 计算（每小题6分，共42分）1.2.3.4. 计算，其中为圆，按逆时针方向。5. 设，其中连续，求；6. 求于处的所有一阶偏导数；7. 交换下列累次积分次序；2、 （20分）设函数在上连续，证明：（1） 若对上任何有理数，都有，则在上；（2） 若对上任何有理数都有则是上的递增函数。3、 （15分）设为连续可微的函数，它的两个偏导数之和恒不为零，又设是由所确定的隐函数，证明4、 （15分）设函数在上连续，在内可导，且满足，证明存在，使得5、 （15分）计算曲线积分其中是球面与平面的交线。6、 （10分）试用乘数法求函数在闭域上的最大值和最小值。七、（20分）设在上一阶可导，在内二阶可导，且，证明：（1） 存在，使。（2） 存在，使八、（13分）证明函数在上连续，且具有连续的导函数。吉林大学2011 年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：空间解析几何和高等代数1、 （每小题10分，共30分）1. 证明斐波那契数列的第项等于阶行列式2. 为任一非零矩阵，证明：与同解。3. 由椭圆面的中心引三条垂直的射线，分别交曲面与.设，证明2、 （每小题10分，共30分）1. 设都是数域上的有限向量空间，是的子空间，证明存在线性映射使得当且仅当.2. 设是数域上的有限向量空间，是的线性变换，是中满足的次数最小的多项式，证明整除的极小多项式.3. 设是极阶实对称矩阵，且有个互不相同的特征根，证明:线性无关。三、（15分）设阶矩阵与对角矩阵相似，证明对任意都有4、 （15分）设是元非齐次线性方程组的一个解向量，是相应的其次线性方程组的一个基础解系，证明：是的一组线性无关解。5、 （20分）假设矩阵满足1. 试验证为可逆矩阵。2. 令，求的表达式。6、 （15分）为两条异面直线，求证上任意一点到上任意一点的连线的中点的轨迹为一个平面，并给出其用向量表示的一般方程。7、 （10分）化简方程：8、 （15分）设为一个三角形的三个内角，证明：二次曲面是一个椭圆柱面.吉林大学2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：数学分析1、 计算题（每小题各5分，共25分）1.2.3.4.5.2、 （25分）判断及证明（每小题5分）1. 用极限的精确定义证明2. 试证明不存在；3. 证明级数收敛.4. 试证明函数在上是一至连续的。5. 设是在在有定义的函数，处处存在并且连续，且满足。试证明：存在，使得3 （25分）1. 设都是正数，且，证明：（此题不清晰可能有误）2. 设是闭区间上的光滑函数，且对中任意两点，都唯一存在一点使得证明：上要么是凸函数要么是凹函数。4 （25分）设函数满足方程证明函数也满足方程。5 （25分）1. 计算其中为椭圆，沿逆时针方向2. 设在上连续可微，且满足，则有6 （25分）1. 设函数在上有定义，在处有二阶导数且满足求2. 试用乘数法求函数在闭圆上的最大值和最小值。3. 设在上连续可微，证明吉林大学2012 年攻读硕士学位研究生入学考试试题空间解析几何和高等代数卷1、 （25分）设是互相不同的整数，证明：不能分解为两个次数大于零的整系数多项式的乘积。2、 （25分）假设是的一组基底。1. 试给出所有和向量垂直的向量集合2. 试计算向量和向量之间的夹角.3、 （25分）农场要买进一批收割机，有一种型号可供选择，A型：单价3万元每天割草6亩地，B型：单价2万元，每天可割草2亩地，C型：单价1万元，每天割草亩地，农场有收割机操作手100人，要求：人手一台，且每天刚好割200亩地，问A，B，C各买多少能达到要求且费用最低。（此题不清晰，可能有误，请自行解决）4、 （25分）1. 设平面是椭球面的切平面，证明：2. 求直线绕轴转所得旋转曲面的方程。五（25分）1.证明：个不同共线的充分必要条件是矩阵的秩等于2.五2.设与相似，求秩6、 （25分）假设为阶方阵，为其一特征值，记为阶单位方阵，假设，记。1. 试验证是的一个特征值。2. 试讨论当时，是否一定有，若认为结论正确，给出证明，若认为结论错误，请举出反例。吉林大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：数学分析1 计算与判断（判断需给出理由。每小题7分，共56分）1.2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. 若函数在区间上连续且可导，则在上必