指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)--补课.doc

1 第六讲 指数函数和对数函数 指数函数和对数函数都是基本初等函数 是高中必须掌握的 在高考中 主要是考查基 础知识 要求掌握扩充后指数的运算 对数的运算 指数函数和对数函数的图像和性质 一 指数的性质 一 整数指数幂 1 整数指数幂概念 an n aaaa 个 Nn 0 10aa 1 0 n n aanN a 2 整数指数幂的运算性质 1 2 mnm n aaam nZ n mmn aam nZ 3 n nn ababnZ 其中 mnmnm n aaaaa 1 n n n nn n aa a bab bb 3 的次方根的概念an 一般地 如果一个数的次方等于 那么这个数叫做的次方根 na Nnn 1an 即 若 则叫做的次方根 axn xan Nnn 1 例如 27 的 3 次方根 的 3 次方根 327 3 27 327 3 32 的 5 次方根 的 5 次方根 232 5 32 232 5 说明 若是奇数 则的次方根记作 若则 若则 nan n a0 a0 n aoa 0 n a 若是偶数 且则的正的次方根记作 的负的次方根 记作 例如 n0 aan n aan n a 8 的平方根 16 的 4 次方根 228 216 4 若是偶数 且则没意义 即负数没有偶次方根 n0a n a Nnn n 100 00 n 式子叫根式 叫根指数 叫被开方数 n ana n n aa 4 的次方根的性质an 一般地 若是奇数 则 naa nn 若是偶数 则 n 0 0 aa aa aa nn 5 例题分析 例 计算 407407 解 407407 52 25 25 22 二 分数指数幂 1 分数指数幂 10 5102 5 0aaaa 12 3124 3 0aaaa 即当根式的被开方数能被根指数整除时 根式可以写成分数指数幂的形式 2 幂的运算性质对分数指数幂也适用 n mmn aa 例如 若 则 0a 3 22 3 2 33 aaa 4 55 4 5 44 aaa 2 32 3 aa 4 54 5 aa 规定 1 正数的正分数指数幂的意义是 0 1 m nm n aaam nNn 2 正数的负分数指数幂的意义是 11 0 1 m n m nm n aam nNn a a 2 分数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即 10 rsr s a aaar sQ 20 s rrs aaar sQ 30 0 r rr aba babrQ 说明 1 有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用 2 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没意义 3 例题分析 例 1 用分数指数幂的形式表示下列各式 ao 2 aa 332 aa a a 解 2 aa 115 2 2 222 aaaa 332 aa 211 3 33 aaa a a 11 133 22 224 a aaa 例 2 计算下列各式的值 式中字母都是正数 1 2 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 解 1 2 211511 336622 263a ba ba b 8 31 84 m n 88 31 84 mn 2 23 3 m m n n 2111 1 5 32 62 3 6 263ab 0 44aba 例 3 计算下列各式 1 2 34 51255 2 32 0 a a aa 解 1 2 34 51255 231 324 555 2131 3424 5555 2 32 a aa 52 65 6 21 32 a aa a a 3 55 124 55 5124 55 5 例 3 已知 求下列各式的值 1 2 1 3xx 11 22 xx 33 22 xx 解 1 11 2 22 xx 1111 22 2222 2 xx xx 11 2xx 325 11 22 5xx 又由得 1 3xx 0 x 11 22 0 xx 所以 11 22 5xx 2 法一 33 22 xx 11 33 22 xx 111111 22 222222 xxxx xx 11 1 22 1 xxxx 5 3 1 2 5 法二 33 2 22 xx 3333 22 2222 2xxxx 33 2xx 而 33 xx 122 1 xxxx 11 2 3 xxxx 2 3 33 18 33 2 22 20 xx 又由得 1 30 xx 0 x 33 22 0 xx 所以 33 22 202 5xx 二 指数函数 1 指数函数定义 一般地 函数 且 叫做指数函数 其中是自变量 叫底数 函数定义域是 x ya 0a 1a xaR 2 指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质 x ya 1a 01a 1a 01a 图 象 1 定义域 R 性 质 2 值域 0 4 3 过定点 即时 0 1 0 x 1y 4 在上是增函数R 4 在上是减函数R 例 1 求下列函数的定义域 值域 1 2 3 4 1 21 8 x y 1 1 2 x y 3 x y 1 0 1 1 x x a yaa a 解 1 原函数的定义域是 210 x 1 2 x 1 2 x xR x 令 则 1 21 t x 0 ttR 得 8 0 t ytR t 0 1yy 所以 原函数的值域是 0 1 y yy 2 原函数的定义域是 1 1 0 2 x 0 x 0 令 则 1 1 2 x t 0 x 01t 在是增函数 yt 0 101y 所以 原函数的值域是 0 1 3 原函数的定义域是 R 令 则 tx 0t 在是增函数 3ty 0 01y 所以 原函数的值域是 0 1 4 原函数的定义域是 R 由得 1 0 1 1 x x a yaa a 1 1 x y a y 0 x a 1 0 1 y y 11y 所以 原函数的值域是 1 1 说明 求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域 例 2 当时 证明函数 是奇函数 1a 1 1 x x a y a 证明 由得 10 x a 0 x 故函数定义域关于原点对称 0 x x 1 1 x x a fx a 1 1 xx xx aa aa 1 1 x x a a f x fxf x 5 所以 函数 是奇函数 1 1 x x a y a 三 对数的性质 1 对数定义 一般地 如果 的次幂等于 N 就是 那么数 b 叫做 a 为底 a10 aa且bNab N 的对数 记作 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 即 bN a log b aN logaNb aNb 指数式Nab 底数幂指数 对数式bN a log对数的底数真数对数 说明 1 在指数式中幂 N 0 在对数式中 真数 N 0 负数与零没有对数 2 对任意 且 都有 同样 0 a1a 0 1a log 10 a log1 aa 3 如果把中的写成 则有 对数恒等式 b aN blogaN logaN aN 2 对数式与指数式的互换 例如 2 416 4 log 162 2 10100 10 log 1002 1 2 42 4 1 log 2 2 2 100 01 10 log 0 012 例 1 将下列指数式写成对数式 1 2 3 4 4 525 6 1 2 64 327 a 1 5 37 3 m 解 1 2 3 4 5 log 6254 2 1 log6 64 3 log 27a 1 3 log 5 37m 3 介绍两种常见的对数 常用对数 以 10 作底简写成 10 logNlgN 自然对数 以作底为无理数 2 71828 简写成 eelogeNln N 例 2 1 计算 9 log 27 34 5 log625 解 设 则 x 9 log 27927 x 23 33 x 3 2 x 令 x 34 5 log625 34 5625 x 4 4 3 55 x 5x 2 求 x 的值 3 3 log 4 x 2 2 21 log3211 x xx 解 3 4 4 1 3 27 x 222 32121200 2xxxxxxx 但必须 舍去 从而 2 2 2 210 211 3210 x x xx 0 x 2x 3 求底数 3 log 3 5 x 7 log 2 8 x 6 解 353 535 3 3 x 5 3 3x 7 78 8 87 22x 2x 4 对数的运算性质 如果 a 0 a 1 M 0 N 0 那么 1 log loglog aaa MNMN 2 loglog log aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 例 3 计算 1 lg1421g 2 3 18lg7lg 3 7 9lg 243lg 2 1lg 10lg38lg27lg 解 1 解法一 18lg7lg 3 7 lg214lg 2 lg 2 7 2 lg7lg3 lg7lg 32 lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20 解法二 18lg7lg 3 7 lg214lg 2 7 lg14lg lg7lg18 3 18 3 7 714 lg 2 lg10 2 2 5 3lg2 3lg5 3lg 3lg 9lg 243lg 2 5 3 2 1lg 10lg38lg27lg 11 33 22 2 3 lg32lg2 1 lg 3 lg23lg103 2 3 2lg32lg2 12 lg 10 5 换底公式 a 0 a 1 log log log m a m N N a 0 1mm 证明 设 则 logaNx x aN 两边取以为底的对数得 mloglog x mm aN loglog mm xaN 从而得 a N x m m log log a N N m m a log log log 说明 两个较为常用的推论 1 2 且均不为 1 loglog1 ab ba loglog m n a a n bb m a0b 7 证明 1 1 lg lg lg lg loglog b a a b ab ba 2 lglg loglog lglg m n n a ma bnbn bb amam 例 4 计算 1 2 0 2 1 log3 5 4 492 log 3 log 2log32 解 1 原式 0 2 5 1log3 log 3 555 15 1 5 5 3 2 原式 2 3 4 5 4 1 2log 4 5 2log 2 1 3log 2 1 232 例 5 已知 求 用 a b 表示 18 log 9a 185 b 36 log45 解 18 log 9a a 2log1 2 18 log 1818 18 log 21 a 又 185 b 18 log 5b a ba 22log1 5log9log 36log 45log 45log 18 1818 18 18 36 例 6 设 求证 1643 t zyx yxz2 111 证明 1643 t zyx 6lg lg 4lg lg 3lg lgt z t y t x yttttxz2 1 lg2 4lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg11 四 对数函数 1 对数函数的定义 函数 叫做对数函数 xy a log 10 aa且 2 对数函数的性质 1 定义域 值域 对数函数的定义域为 值域为 xy a log 10 aa且 0 2 图象 由于对数函数是指数函数的反函数 所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形 即可获得 xy 同样 也分与两种情况归纳 以 图 1 与 图 2 为例 1 a10 axy 2 log xy 2 1 log 1 1 2xy 2 logyx yx 图 1 1 1 1 2 x y 1 2 logyx yx 图 2 8 3 对数函数性质列表 1a 01a 图 象 1 定义域 0 2 值域 R 3 过点 即当时 1 0 1 x0 y 性 质 4 在 0 上是增函数 4 在上是减函数 0 例 1 求下列函数的定义域 1 2 3 2 log xy a 4 logxy a 9 log 2 xy a 分析 此题主要利用对数函数的定义域求解 xy a log 0 解 1 由 0 得 2 x0 x 函数的定义域是 2 log xy a 0 x x 2 由得 04 x4 x 函数的定义域是 4 logxy a 4x x 3 由 9 得 3 0 2 x3 x 函数的定义域是 9 log 2 xy a 33xx 例 2 比较下列比较下列各组数中两个值的大小 1 2 0 9 1 1 1 1 log0 9 0 7 log0 8 5 log 3 6 log 3 7 log 3 解 1 0 90 1 11 11 1 11 1 log0 9log 10 0 70 70 7 0log1log0 8log0 71 0 9 1 1 0 7 log0 8 1 1 log0 9 2 333 0log 5log 6log 7 5 log 3 6 log 3 7 log 3 例 3 求下列函数的值域 1 2 2 log 3 yx 2 2 log 3 yx 解 1 令 则 3tx 2 logyt 即函数值域为 0t yR R 2 令 则 2 3tx 03t 即函数值域为 2 log 3y 2 log 3 例 4 判断函数的奇偶性 2 2 log 1 f xxx 1 0 1 0 1x 1x logayx logayx 9 解 恒成立 故的定义域为 2 1xx f x 2 2 log 1 fxxx 2 2 1 log 1xx 2 2 222 1 log 1 xx xx 2 2 log1 xxf x 所以 为奇函数 f x 例 5 求函数的单调区间 2 1 3 2log 32 yxx 解 令在上递增 在上递减 22 31 32 24 uxxx 3 2 3 2 又 或 2 320 xx 2x 1x 故在上递增 在上递减 又 为减函数 2 32uxx 2 1 1 3 2logyu 所以 函数在上递增 在上递减 2 1 3 2log 32 yxx 2 1 10 课堂练习题课堂练习题 1 1 填空 填空 3 4 31mm xx A 35 yy A 5 6 23 abab A 43 2 2 2 AA 2 1 若 则 2 若 则 23m aa a Am 26n aaa An 3 若 用表示 3ma 3nb a b3m n 23 3 mn 2 3 4 2 m a 4 3 x 5 6 3 2 ab 3 2 a 7 8 3 5 b 22 xy 9 10 3 4 2 x 2 3 3 ab 2 判断下列式子是否正确 若不对 请纠正 1 2 22 mm aa 22 mm aa 3 4 mnm n aaa mnmn aaa A 课后巩固提高课后巩固提高 1 下列计算正确的是 A B C D 336 xxx 43 xxx 5 510 xx 235 x yxy 2 81 27 可以记为 A B C D 3 9 6 3 7 3 12 3 3 可以等于 5 a A B C D 23 aa 4 aa 23 aa 32 aa 4 计算的结果是 232 bb A B C D 8 b 11 b 8 b 11 b 5 在等式中 括号内的代数式应当是 2310 aaa 11 A B C D 4 a 5 a 6 a 7 a 6 若是正整数 当时 等于 n1a 221 nn a A 1 B 1 C 0 D 1 或 1 7 计算的结果为 2113 nn xxx A B C D 33 n x 36 n x n x12 66 n x 8 63 a 2 4 3 a 2 3 2 ab 9 已知 则 已知 则 x 2 m a 3 n a m n a 3 42 xx 10 计算 1 2 3 4 2 x 3 2 yx 4 3 2 aa 11 下列各式中 正确的是 A B 448 mmm 5525 2mmm C D 339 mmm 66 yy 12 2y 12 下列各式中错误的是 A B 6 2 3 yxyx 2 2a 48 16a C D 36 3 2 27 1 3 1 nmnm 3 3 abba3 6 13 已知 n 是大于 1 的自然数 则等于 11nn cc A A B C D 1 2 n cnc2 2n c n c2 14 下列运算中与结果相同的是 44 aa A B C D 28 a aA 4 2 a 4 4 a 44 22 aaA 15 用简便方法计算 1 2 5 1 3 2 2000 1999 1999 1 1111 11 79 1 1 916 16 已知 求 m 的值 3 927 mm 16 3 12 17 若 解关于的方程 22 9 216 2 n x42nx 18 若 求的值 52 m 62 nnm 2 2 2 指指数数扩扩充充及及其其运运算算性性质质 1 将 b 写成分数指数幂的形式 1 2 3 3 4b 2 5b 2 4 mn b 2 将分数指数幂写成根式的形式 1 2 3 4 1 2 8 1 3 27 3 2 4 2 3 125 3 将根式写成分数指数幂的形式 1 2 3 4 32 x 3 1 x 3 4 ab 322 mn 4 计算 13 1 2 3 4 1 2 100 2 3 64 3 2 9 1 4 81 5 已知 求 103 104 10 10 2 10 5 10 6 已知 求 11 22 3aa 1 aa 22 aa 3 指指数数函函数数 1 已知 则指数函数 1 2 的图像为 01 mn x my x ny 2 如图是指数函数的图像则的关系是 xxxx dycybyay dcba A B dcba 1cdab 1 C D dcba 1cdba 1 3 已知 0 ba 则2 2 3 aba 的大小关系是 A 2 23 aba B 2 32 baa C 2 23 baa D 2 32 aab 4 若 aaa QPSa2 0 2 2 01 则下列选项成立 的是 第第 2 题题 14 A QPS B SQP C SPQ D PQS 5 设 1 5 0 90 48 123 1 4 8 2 yyy 则 A 312 yyy B 213 yyy C 132 yyy D 123 yyy 6 若 xx 310932 那么1 2 x的值为 A 1 B 2 C 5 D 1 或 5 7 已知则 的大小关系为 8 08 09 0 8 0 9 0 8 0 cba a b c 8 解方程 2 32 330 xx 4 1 对数及其运算对数及其运算 1 把下列指数式写成对数式 1 2 3 28 1 1 2 2 3 4 3 1 27 3 1 5 73 3 m 2 把下列对数式写成指数式 1 2 3 log 92 5 log 1253 3 4 2 1 log2 4 3 1 log4 81 3 求下列各式中 x 的值 1 2 64 2 log 3 x log 86 x 3 4 lg100 x 2 lnex 4 求下列各式的值 1 2 5 log 125 2 1 log 16 3 4 lg1000lg0 001 15 5 6 15 log 15 0 4 log1 7 8 2 log 4 2 lg105 10 5 基础练习 1 2 lg2lg5 33 log 18log 2 6 加强巩固 1 2 3 151515152 12loglog 20log 4og lg2lg5lg8 lg50lg40 3 4 7 1 142lglg7lg18 3 g lg4lg5 1 2lg0 5lg8 5 6 2 lg 2lg2 lg5lg5 log 2lg3 5 1010log 1 7 已知 请分别用表示式子 2 logax 2 logby 2 logcz a b c 2 2 log x y 2 2 log 9 xy 2 2 log 3 x y z 16 4 2 换底公式换底公式 1 求下列各式的值 1 2 3 1 3 log 27 9 log 271 16 log64 4 5 6 lg243 lg9 89 log 9 log 32 932 log 16 log81 2 加强巩固 4 log 13 29 1 log2log 274 4839 2 log 3log 3 log 2log 2 3 综合应用 1 设 试用 表示 lg2a lg3b ab 6 lg 2 3 log 4 5 log 12 17 2 已知求 3436 xy 21 xy 5 对数函数对数函数 1 求下列函数的定义域 1 2 2 log 1 yx 2 1 log 1 y x 3 4 3 log1yx 2 logyx 2 求下列函数的反函数 1 2 2 logyx 1 2 logyx 3 4 3xy 2yx 5 6 2 log 1 yx 2 5 x y 3 比较各题中各数的大小 1 2 2 log 3 2 log 5 0 2 log2 0 2 log0 1 3 4 2 log 3 3 log 2log 2 a log 3 0 1 a aa 18 4 已知函数 则 2 22 1 log 1 x x f x x x 2 ff 5 已知函数 且 则 1 2 22 1 log 1 1 x x f x xx 3f a 6 fa 第三章第三章 指数函数和对数函数单元测试卷指数函数和对数函数单元测试卷 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 每小题 6 分 共 60 分 1 已知 x y 为正实数 则 A B lglglglg 222 xyxy lg lglg 222 x yxy C D lglglglg 222 xyxy Alg lglg 222 xyxy 2 若函数 y f x 是函数 y ax a 0 a 1 的反函数且 f 2 1 则 f x A B C D 1 2x 2 2x 1 2 log x 2 log x 3 已知 则函数 y f x 1 在区间 2 8 上的最大