关于细菌繁殖的数学建模

关于大草履虫的种群数量增长研究在放有10ml培养液的培养瓶中放入10只大草履虫，然后每隔一天统计一次大草履虫的数量。其种群增长表格和曲线如下：培养时间（h）0123456789101112131415161718大草履虫（个）1018294771119175257351441513560595629641651656660662模型的建立根据假设可知，增长率，繁殖代后细菌的数量为，繁殖代后细菌的数量为，则有 （1）模型的求解代入以上数据根据等差数列公式即可解得： （2）当时，代入（2）即可得， 细菌的数量：繁殖代后细菌数量为个。由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s”型曲线。5.2.1. 模型的建立由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s”型曲线。令，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus差分方程如下 （3）以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：图1 指数增长模拟图由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“J”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地用Malthus模型对本题进行分析存在一定的局限性。对此，进行如下分析与修正：早期细菌增长规律：R=1，种群数量保持稳定；0R1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式：图2 比率与的函数关系在图2中给出了比率与的函数关系。图5-2-1中的点A所表示生物意义可以这样理解：当种群数量非常小的时候，种群之间的相互竞争非常小甚至没有，此时净增长率不需要任何的修改。因此，模型，当种群数量非常小的时，关系仍然成立。重新改写成该方程得到 (4)然而，随着种群数量的增加，种群之间的竞争越来越强，这使得精确的净增长率被这种竞争而修正，并且一定存在一点使得竞争强到种群的数量不再增长，此时即有充分接近1。设此时的种群数量达到种群的环境容纳量，即为图2中的点。由图2知，当种群数量从点到点时，比值也有一定的增加。为了简单起见，我们直接假设比值与具有如图2中的直线关系，该直线的方程式为 （5）5.2.2 模型的求解本题以酵母菌为例，由题目中酵母菌数量变化表，对数据进行分析，先取前17组数据，分别求出与，处理后可得到如下表格：表2 酵母菌增长情况以小时计的时间t观察到的酵母菌生物量生物量的变化0123456789101112131415161710182947711191752573514415135605956296416516566600.5560.6210.6170.6620.5970.6800.6810.7320.7960.8600.9160.9410.9460.9810.9850.9920.994根据最小二乘法的拟合原理，取a、b为使得函数值最小时的值。其中令是时的数值。用matlab 进行线性拟合图3 拟合直线图由此可得的关于的解析式为： （6)根据以上解析式（6），我们可以看出，随着种群数量越来越大，越来越大，则种群的增长率r及R越来越小，符合基本的生物学规律，而拟合的方差很小，具有很强的规律性。随着繁殖代数的增长,即时间的变长，最终指数项将趋近于0，故种群的数量最终呈