清华大学线性代数考试真题1.pdf

几何与代数讨论课 五 线性变换 Exercise 1判断下面所定义的映射哪些是线性变换 哪些不是 1 在 F3上 x1 x2 x3 T x1 x2 x3 x2 x3 x1 T 2 在 F3上 x1 x2 x3 T x2 1 x2 x3 0 T 3 在 Fn x 上 f x x f x 4 在 Mn F 上 X BXC 其中 B C Mn F 是两个确定的矩 阵 5 把复数域 C 看作 C 上的线性空间 C 是 的共 轭复数 Exercise 2举例说明 1 L V 0 不一定推出 0 或 0 2 6 Exercise 3在 R x 上 定义两个线性变换 f x f0 x f x xf x 证明 1 是单位变换 2 2 2 2 问 是不是 R x 上的幂零变换 是不是 Rn x 上的幂零变换 Exercise 4在 F3中 设线性变换 关于基 1 1 1 1 T 2 1 0 1 T 3 0 1 1 T的矩阵是 A 101 110 121 1 求 关于基 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T的矩阵 2 设向量 1 6 2 3 1 2 3 求 关于 基 1 2 3的坐标 Exercise 5设 是 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换 1 2 n 是 V 的一个基 则 Im L 1 2 n 问 1 1 2 n 是不是 Im 的基 2 1 2 n 是 Im 的基的充分必要条件是什么 Exercise 6设线性空间 V X x11x12 x21x22 fl fl fl fl xij R 定义 X 11 11 X 12 11 1 1 试证明 是 V 的线性变换 2 求 Im 和 ker 的基和维数 Exercise 7在 R3上 下列子空间是否是所给线性变换 的不变子空 间 1 W1 a1 a2 0 T fl fl a1 a2 R a1 a2 a3 T a2 a1 a3 T 2 W2 0 a2 0 T fl fl a2 R a1 a2 a3 T a2 0 0 T Exercise 8设 是 n 维线性空间 V 的线性变换 且 n 16 0 n 0 试证 1 在某个基下的矩阵是 01 0 1 0 2 若 V0是 的一个不变子空间 且 a1 1 a2 2 ak k V0 1 k n ak6 0 则 1 2 k V0 3 0 L 1 L 1 2 L 1 2 n 1 V 是 V 的全部 的 不变子空间 2 几何与代数讨论课 五 线性变换 Exercise 1判断下面所定义的映射哪些是线性变换 哪些不是 1 在 F3上 x1 x2 x3 T x1 x2 x3 x2 x3 x1 T 2 在 F3上 x1 x2 x3 T x2 1 x2 x3 0 T 3 在 Fn x 上 f x x f x 4 在 Mn F 上 X BXC 其中 B C Mn F 是两个确定的矩 阵 5 把复数域 C 看作 C 上的线性空间 C 是 的共 轭复数 解解解 1 是 符合线性变换的定义 2 否 因为 x2 y26 x y 2 反例 1 0 0 T 1 0 0 T 不满足线性性 2 0 0 T 4 0 0 T而 1 0 0 T 1 0 0 T 2 0 0 T 3 否 因为 x f x Fn x 不满足封闭性 4 是 符合线性变换的定义 5 否 反例 i i 1 而 i i 1 不满足数乘封闭性 Exercise 2举例说明 1 L V 0 不一定推出 0 或 0 2 6 解解解 1 令 V R2 设 x1 x2 T x1 0 T x1 x2 T 0 x2 T 则 6 0 6 0 但 0 2 令 V R2 设 x1 x2 T x1 0 T x1 x2 T x1 x1 x2 T 则 6 Exercise 3在 R x 上 定义两个线性变换 f x f0 x f x xf x 证明 1 是单位变换 2 2 2 2 问 是不是 R x 上的幂零变换 是不是 Rn x 上的幂零变换 证证证明明明 1 f R x f x xf x f x xf0 x f x f0 x xf0 x f x f x f x 证毕 1 2 2 f x xf0 x x f0 x xf00 x xf0 x x2f00 x 2 2 f x f x f0 x xf00 x x2f00 x 2 2 f x x2f00 x xf0 x 2 f x 证毕 不是 R x 上的幂零变换 因为 对于任意 n N 总存在一个 m n 和 f Rm x 使得 n f x 不是 0 是 Rn x 上的幂零变换 因为 存在 m n 使得对于 f Rn x 有 m f x 0 Exercise 4在 F3中 设线性变换 关于基 1 1 1 1 T 2 1 0 1 T 3 0 1 1 T的矩阵是 A 101 110 121 1 求 关于基 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T的矩阵 2 设向量 1 6 2 3 1 2 3 求 关于 基 1 2 3的坐标 解解解 1 由假设 有 1 2 3 1 2 3 110 101 1 11 于是 1 2 3 1 2 3 110 101 1 11 1 1 2 3 11 1 01 1 101 设 关于基 1 2 3的矩阵为 B 有 B 11 1 01 1 101 1 101 110 121 11 1 01 1 101 11 2 220 302 2 设 关于基 1 2 3的坐标为 y1 y2 y3 有 y1 y2 y3 101 110 121 1 6 1 0 7 10 设 关于基 1 2 3的坐标为 z1 z2 z3 1 2 3 11 1 01 1 101 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 z1 z2 z3 101 110 121 3 2 2 1 5 1 Exercise 5设 是 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换 1 2 n 是 V 的一个基 则 Im L 1 2 n 问 1 1 2 n 是不是 Im 的基 2 1 2 n 是 Im 的基的充分必要条件是什么 解解解 1 不是 因为可能 1 2 n 并不彼此线性无关 2 1 2 n 是 Im 的基的充分必要条件是 可逆 证 明如下 可逆 的矩阵表示A可逆 A的列线性无关 同构 1 2 n 线性无关 1 2 n 为Im 的基 Exercise 6设线性空间 V X x11x12 x21x22 fl fl fl fl xij R 定义 X 11 11 X 12 11 1 试证明 是 V 的线性变换 2 求 Im 和 ker 的基和维数 证证证明明明 1 易见 V 是到自身的线性映射 且由矩阵乘法和数乘的性质 可知对 于 V R 有 成立 2 可知 X x11 x21 x12 x222x11 2x21 x12 x22 x11 x21 x12 x222x11 2x21 x12 x22 故可见 Im 中的元素有 ab ab 的形式 所以 可知 Im 的维数 为 2 基为 10 10 和 01 01 下面来求 ker 的维数和基 先令 x11 x21 x12 x22 0 2x11 2x21 x12 x22 0 可以得到 x11 x21 0 x12 x22 0 故 ker 中的元素有 ab a b 的形式 所以 可知 Im 的维数 为 2 基为 10 10 和 01 0 1 3 Exercise 7在 R3上 下列子空间是否是所给线性变换 的不变子空 间 1 W1 a1 a2 0 T fl fl a1 a2 R a1 a2 a3 T a2 a1 a3 T 2 W2 0 a2 0 T fl fl a2 R a1 a2 a3 T a2 0 0 T 解解解 1 对于任意 a1 a2 0 T W1有 a1 a2 0 T a2 a1 0 T W1成 立 故 W1为 的不变子空间 2 当 a26 0 时 0 a2 0 T W2但 0 a2 0 T a2 0 0 T W2 故 W2不是 的不变子空间 Exercise 8设 是 n 维线性空间 V 的线性变换 且 n 16 0 n 0 试证 1 在某个基下的矩阵是 01 0 1 0 2 若 V0是 的一个不变子空间 且 a1 1 a2 2 ak k V0 1 k n ak6 0 则 1 2 k V0 3 0 L 1 L 1 2 L 1 2 n 1 V 是 V 的全部 的 不变子空间 证证证明明明 1 先证存在向量 V 使得 n 1 线