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Dirichlet 函数和 Riemann 函数的可积性 一元 Dirichlet 函数 D x 1 x Q 0 x R Q x 0 1 对于 0 1 中的任一分割 0 x0 x1 0 在 0 1 上的有理数 x p q 中 满足 1 q 2 的只有有限个 记为 x1 x2 xm 取 min 2m 1 2 min 1 i j m xi xj 令 Ii xi 2 xi 2 2 i m 1 I1 0 x1 2 Im xm 2 1 记 1 i m 为 A 类 其特点是每个小区间上的振幅 i 1 记 1 j m 1 Tj 0 1 1 i m Ii 1 j m 1 为 B 类 易知 j 2 此时 1 i m Ii与 1 j m 1 Tj形成 0 1 的一个分割 不妨记为 0 r0 r1 r2m 1 1 于是 2m 1 k 1 k rk m i 1 i Ii m 1 j 1 j Tj 0 故 D 在 I 上不可积 2 2 w1 0 dx w1 0 D x y dy 存在 对于任一固定的 y 若 y 为无理数 则 D x y 0 若 y 为有理数 不妨设为 p m 则只有 x 1 m 2 m m 1 m 这有限个值时 D x y 1 其余均为 0 即 w1 0 D x y dx 0 对任意 y 0 1 成立 于是 w1 0 dy w1 0 D x y dx 0 3 同理 w1 0 dy w1 0 D x y dx 0 2 二元 Riemann 函数 对 x y 0 1 2 定义 R x 1 m 1 q x n m y p q 0 其他点 1 R x y 在 0 1 2上可积 由一元 Riemann 函数的讨论可知 对 0 要使 R x y 即 1 m 1 q 满足条件 的点只能有有限个 除去这有限个点 R x y 令 0 有 0 k i 1 R xi yi Ii lim 0 k i 1 R Ii 0 2 2 R x p q 对 x 0 1 上不可积 按定义 R x p q 1 m 1 q x为有理数时 0 x为无理数时 该函数在 0 1 的任何子区间的振幅大于 1 q 所以在 0 1 不可积 2 3 同理可证 R n m y 对 y 0 1 不可积 2 总结 可以看出 一元 Dirichlet 函数不可积 与之类似的是广义二元 Dirichlet 函数 同样不可 积 但是对于累次积分是可积的 且积分值为 0 一元 Riemann 函数可积 积分值为 0 广义
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