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第四章机器人运动学基础 1 机械手运动的表示方法 2 齐次坐标及对象的描述 3 齐次变换及运算 4 机器人连杆参数及其齐次变换矩阵 5 机器人运动学方程 1 机械手运动的表示方法 从简单例子引入 一个简单的平面三自由度机械手 基座 关节 驱动电机 一 机械手的结构 驱动电机 驱动电机 连杆 末端操作器 设位置的向量表达为 姿态与各关节角度的关系表达式 位置与关节角度的关系表达式 二 机械手的机构简图与运动学 1机构简图与各参数关系表达 各为关节之间的相对角度 位置与杆件的长度以及关节角度有较复杂的关系姿态只与关节的角度有简单的关系 其中 为关节变量 向量 为什么要关心这些参数 要控制机器人 必须通过控制机器人的关节转动多少角度 多少速度等参数才能达到指定要求 而人与动物四肢的运动不需要知道自己的关节应该精确到什么值 这造成了机器要实现人的动作要经历更为繁琐的过程 为一维向量 什么是运动学 运动学 从几何的角度 指不涉及物体本身的物理性质和加在物体上的力 描述对象 研究物体 质点 位置随时间的变化规律的科学 刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程 姿态 角速度等更复杂些的运动特征 2运动学 kinematics 运动学的特征一般来说指位置随时间的变化 所以是位移或角度值关于时间的一阶导数 即如果进一步考量速度随时间的变化 相当于是位移或角度关于时间的二阶导数 即 往往涉及加速度及力 这类问题常常归入动力学问题 如果研究速度的变化或者加速度问题不涉及力 质量等 则仍然认为是在运动学范畴 正运动学 已知机器人关节变量求末端操作器的位置与姿态 速度问题类似 逆运动学 已知末端操作器的位置与姿态求关节变量 速度问题类似 正运动学与逆运动学合称为运动学 机器人运动学的基本问题 虽然运动学应该包括甚至主要指速度问题 然而机器人手作匀速运动 关节往往不是匀速 而呈现出很强的变速 从而使机器人运动学的基本内容主要是关于时间的0阶导数 运动学基础 问题 1阶导数问题 速度雅可比 则介乎运动学与动力学之间 本课程的运动学求解主要涉及0阶时间导数的基本知识 一般机器人机构 串联 正运动学求解方便 往往可直接得出 而逆运动学则复杂得多 机器人运动学的特性 逆运动学表达 例如 三自由度机械手各关节变量求解需要经历相当复杂的推导才得到如下公式 2 齐次坐标及对象的描述 一 基本元素的位置与方向描述 从二维到三维的表达 1 点的位置描述 2 坐标轴的方向描述 点p位于直角坐标系 A 中 采用单位向量来代表坐标轴方向 空间某向量v 起始点为原点 与各坐标轴的夹角分别为 则该向量的方向可描述为 例 之前的三自由度末端操作器关节点与原点之间的矢量在三维空间中的方向表达 与向量表达对比 说明 同一方向 姿态 的向量中各分量是倍数关系 反过来各分量成倍数关系的向量处于同方向 如果仅仅表达向量的方向 一般以其相应的单位向量表达 即左边的形式 3 向量的方向描述 二 动坐标系位姿的描述 其它动坐标系相对于固定坐标系XYZ的位置与姿态描述 具体是对动坐标系的原点位置和各坐标轴方向进行描述 对刚体的位姿进行描述 设有一个动坐标系X Y Z 固连于刚体 然后对该动坐标系的位置和姿态进行描述 1刚体的位姿描述 1 原点在固定坐标系原点的动坐标系表达 2 动坐标系位置表达 动坐标系X Y Z 与固定坐标系原点不重合 用原点的位置表达动坐标系的位置 3 动坐标系在一般情况下的位置与姿态表达 齐次表达 方向向量在下面加一个0 位置向量在下面加一个1 为动坐标系的X Y Z 三坐标轴的单位向量 Normal orientation approach的缩写 这些向量都是单位向量 且两两相互垂直 所以它的9个元素满足6个约束条件 显然是正交矩阵 因此满足 书中例2 2 代表方向的矢量 代表位置的矢量 以后将采用齐次坐标形式表示 得到的齐次坐标矩阵 可以用6个约束初步检验计算结果是否合理 例 3自由度机械手末端执行器的齐次坐标矩阵表达 得到的齐次坐标矩阵 2手爪坐标系 为了描述手爪的位置和姿态 规定一坐标系与手爪固接 与手爪固接的坐标系叫手爪坐标系 其中 z轴设在手爪接近物体的方向 称接近矢量a approach y轴设在手爪的连线方向 称方位 姿态 矢量o orientation x轴设在手前进方向的法向方向由右手法则确定 n normal 手爪的位置由位置矢量p 手爪规定 它代表手爪坐标系的原点 因此 手爪的位姿由四个矢量 n o a p 来描述 可以记为 如图表示手部抓握物体Q 物体为边长2个单位的正方体 写出表达该手部位姿的矩阵式 设手部坐标系O X Y Z 的坐标原点O 与物体Q的重心相重合 解由题可知 手部的位置向量可表达为 书中例2 3讲解 手部坐标系X 轴的方向可用单位矢量n表达 同理手部坐标系Y 轴 Z 轴的方向可用单位矢量o a表达 故手部位姿表达为 3 齐次变换及其运算 在正运动学问题中 手爪 坐标系 相对于固定坐标系不能直接得到 而各关节的相对位姿通常是已知的 第一个关节相对于固定坐标系便可以通过关节变量等获知 手爪的位姿需要通过各关节坐标系转换得到 因此有必要对坐标之间的变换进行研究 空间中任意点P在不同坐标系中的描述是不同的 从一个坐标系的描述到一个坐标系的描述之间的变换采用齐次变换求解 一 平移变换 A点在固定坐标系下坐标 x y z 平移变换描述为 A点所在坐标系相对于固定坐标系平移距离d D在固定坐标系中的表达 采用齐次变换矩阵表达 称为齐次坐标变换的平移算子 相对固定坐标系的变换 则算子左乘相对于动坐标系的变换 则算子右乘 对点 用向量表达 三个自由度 如此 对刚体所在坐标系 刚体有六个自由度 用齐次坐标位姿矩阵表达 一样描述 但后者存在相对固定坐标系还是相对动坐标系的区别 书中例2 4有两种情况的齐次变换 动坐标系 A 相对于固定坐标系的X0 Y0 Z0轴作 1 2 2 平移后到 A 动坐标系 A 相对于自身坐标系 即动坐标系 的X Y Z轴作 1 2 2 平移后到 A 已知动坐标系 解 两种情况的平移齐次变换均为 第一种情况是相对固定坐标系 第二种情况是相对动坐标系 两种情况结果不同 从矩阵的角度固然知道左乘与右乘不同 但怎样直观理解这种差别呢 由于动坐标系的初始位置方向于固定坐标系并非一致 自然相对不同的对象变换 会得到不同的结果 对于坐标系存在左乘与右乘的区别 为什么对于点来说就没有了呢 对于点来说 本身不存在一个可以完全约束好的动坐标系 因此说相对点的坐标系移动多少是不正确的 只能相对于点所在的已固定好的坐标系 所以对于点来说 平移始终指相对于固定坐标系进行 相对于动坐标系为什么会是右乘 二 旋转变换 1绕Z轴旋转 采用齐次变换矩阵表达 绕Z轴的旋转算子 2绕X轴旋转 3绕Y轴旋转 4绕任意过原点的矢量k旋转 矢量k在固定坐标系的坐标为 与平移变换一样 旋转变换不仅适用于点 也适用于刚体坐标系 后者一样存在相对固定坐标系还是相对动坐标系的区别 分别对应左乘与右乘 5若干例题 1 书例2 5 2 习题2 2有一旋转变换 先绕固定坐标系Z0轴转45o 再绕其X0轴转30o 最后绕Y0轴转60o 试求该齐次变换矩阵 解 根据题中给出的变换情况 逐步列出每次变换的相应矩阵 第一次绕Z0轴旋转45 第二次绕X0轴旋转30 第三次绕Y0轴旋转60 由于这些旋转变换都是相对固定坐标系进行的 故最终旋转变换为 这一结果必须满足6个约束条件 3 书中例2 6 如图 单臂操作手 手腕也具有一个旋转自由度 已知手部起始位姿矩阵为 有两种运动 一种手臂绕Z0轴旋转 90o 手部到达G2 另一种手臂绕手腕Z1轴旋转 90o 则手部到达G3 写出手部坐标系 G2 与 G3 的齐次表达 第一种情况是相对固定坐标系 第二种情况是相对动坐标系 三 复合变换 复合变换可以把平移与旋转变换合起来表达 4 机器人连杆参数及其齐次变换矩阵 一 简单平面机器人的关节连杆坐标系之间的变换 用相对连杆的动坐标系来表达 在一般空间关系下 不同的连杆之间这种动坐标系表达含有多少参数呢 即用多少参数来表达从前一根连杆到后一根连杆的动坐标系变换表达呢 二 连杆参数及连杆坐标系的建立 机器人实际上是一系列由关节 转动与移动 连接着的连杆组成 机械手的位姿由连杆之间的相互关系决定 因此研究机械手的位姿 必须首先分析这些连杆之间的相互关系 正运动学 逆运动学均要求如此 连杆的功能是保持其两端的关节轴线具有固定的几何关系 杆件i两端有关节i和i 1 在驱动装置带动下 连杆将绕关节或沿关节轴线 相对于前一临近连杆转动或移动 连杆本身的参数连杆长度ai 两关节轴线zi 第i 1关节 和zi 1 第i关节 的沿公垂线的距离 连杆扭角两个轴线的夹角 2 连杆之间的参数关节转角关节i的两公垂线夹角 就是实际关节的转动角度 公垂线偏置沿关节i的轴线 两个公垂线之间的距离 即关节i 1 i的公垂线与关节i i 1的公垂线之间的距离 该距离可正可负 由以上可知 机器人中每个连杆由四个参数来描述 对于旋转关节 关节角是关节变量 其余固定不变 对于移动关节 关节间偏置为关节变量 其余固定不变 以上描述机构运动的方法由Denavit和Hartenberg于1955年提出 也称为D H方法 3 连杆坐标系的建立 该坐标系建立有以下几点特征 1 第i个坐标系 Zi轴 是建立在第i 1关节上因为在这些动坐标系的初始是基坐标系 2 Xi轴是关节i与关节i 1的公垂线 一般就是实体的关节i杆中心线 三 连杆坐标系之间的变换矩阵 从关节i 坐标系i 1 至关节i 1 坐标系i 之间存在哪些变换 1 绕Zi 1轴转 2 沿Zi 1轴移动 3 沿Xi轴移动 4 绕Xi轴扭转 因为后一次变换都是相对动坐标系进行 故逐个右乘 补充习题 试求解如下平面3自由度机械手至O2处 第3个关节 的累积连杆变换矩阵 已知参数 须表达成齐次变换矩阵的形式 5 机器人运动学 一 运动学方程 为每个连杆建立动坐标系 用齐次变换来描述这些坐标系间的相对关系 称 连杆变换矩阵 也称 相对位姿 从第i 1个动坐标系 第i根连杆 至第i个动坐标系 i 1根连杆 它们之间是第i 1个关节 的连杆变换矩阵设为 有的书籍为清晰表达从哪个坐标系到哪个坐标系 写成 从固定坐标系经R次变换的第R个动坐标系在固定坐标系的最终表达为 或 第0个动坐标系即基坐标系 是固定坐标系的齐次表达 为单位阵 二 正向运动学 根据机构各关节参数 求解手部位姿 实例1 平面3自由度机械手 从基坐标系到第1个动坐标系 第1个动坐标系至第2个动坐标系 如果末端操作器在动坐标系原先有一个关于位姿的表达 则末端操作器最终在基坐标系中的表达为 实例2 斯坦福机器人的运动学方程 因比较复杂视情讲解 求连杆变换矩阵的若干技巧 搞清楚在哪里建连杆坐标系 其中Z轴必须建立当前 转动 关节的转动轴上 或移动关节的移动导轨上 而特别需要注意的是X轴 须建立在当前轴与前一轴的公垂线上 但在这两轴相交时 X轴则一般与前一个坐标系取向相同 Y轴不必预先确定 只需在X轴与Z轴确定后 根据右手法则确定即可 而且在D H表示法下 Y轴甚至可以不用管 关于杆长a 在机器人结构下 它的值经常为0 这是因为关节轴之间经常是相交的 而a表示的是前后两关节轴的公垂线长度 关于偏置距离d 是两个坐标系原点在前一坐标系的Z轴上的投影距离 结构紧凑的关节 该值也常为0 当前关节转动多少角度或移动多少对当前关节坐标轴的建立没有影响 而对下一关节的X轴 前提是前后两Z轴不相交 指向或者前后两轴的偏置距离d有影响 各个的大多固定值参数可以预先通过测量或者图纸或者厂家提供获得 但是可以活动部分的有关参数是待求解的 以便控制关节达到指定值 对转动关节是 对移动关节是 三 逆运动学 已知手部要到达的目标位姿的情况下如何求出关节变量 这就是逆运动学问题 就是最初的固定坐标系 一般为简便设为单位阵I 直接对 如书2 31式 根据矩阵的每个元素的数值进行求解 理论上成立 实际只有在简单情形下可行 每个方程变量太多 而且相互关联 复杂情况下直接求解几乎不可能 1 问题的描述 2 常用方法 分离变量法 方法的基本思想 将一个未知数由矩阵方程的右边移向左边 使其与其它未知数分开 原则上是将最容易分离的未知数进行分离 解出后作为已知数 然后再将其它最容易分离的未知数进行分离 依此类推逐一求解 其中是各元素已知的手爪位姿矩阵 即需要最终控制到位的矩阵 显然只含 而可推导得到带有其它各参数的表达式 类似书2 32式右边 最重要的是这个矩阵的元素中总有不含未知变量的常数 这样有利于未知数的求解 根据右边不含未知数的元素与左边含有一个未知数的对应项 列出方程式 引入中间参数求解 也可移项平方后 将cos统一用sin表达 解一元二次方程 得解 存在多解 有的解可以根据问题的实际可能性去除 1 求解 理论上因可求出 可以类似前面的办法递推得到 然而如果原的矩阵两边可加以利用的话 可简化有计算 2 求解 例如 书2 35 仅根据一个方程可能存在多解 两个方程可使解唯一 方法类似前者 如果之前的方程不能再利用 则需要左乘有关逆阵 分离未知数 3 其它求解 其中 各关节参数的求解过程一般遵循 上臂 前臂 手腕 手爪 3 逆运动学求解的若干问题 1 解的存在性对于给定的位姿 至少存在一组关节变量来产生希望的机器人位姿 如果给定机械手位置在工作空间外 则解不存在 2 解的唯一性对于给定的位姿 仅有一组关节变量来产生希望的机器人位姿 然而无论是理论还是实际的情况 常存在多组关节变量的解 机器人运动学逆解的数目决定于关节数目 连杆参数 固定值 和关节变量的活动范围 非冗余自由度机器人理论只存在有限的多解 冗余自由度机器人理论上存在无穷解 可通过优化算法得最优解 但实际经常是为避开障碍物