线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第五章习题答案.pdf

线性代数课线性代数课第五章第五章后题答案后题答案 思考题思考题 5 1 1 1123123 100 000 aaaa0aaa 2 不一定 例如 对于 123 101 012 aaa 它们中的任两个都线性无关 但 是 123 a a a是线性相关的 3 不一定 也可能是 2 a能由 13 a a线性表示 还可能是 3 a能由 12 a a线性表示 4 不一定 例如 对于 1212 1100 0012 aabb 12 a a和 12 b b这两个 向量组都线性相关 但 1122 ab ab却是线性无关的 5 向量组 121 nn a aa a线性无关 根据定理 5 4 用反证法可以证明这一结论 习题习题 5 1 1 提示 用行列式做 1 线性无关 2 线性相关 2 0k 且1k 3 证证 1212 1 nn e eeEe ee线性无关 设 12 T n b bb b则 1 122 nn bbb beee 4 证证法法 1 因为A可逆 所以方程组 Axb有解 根据定理 5 1 向量b能由A的列 向量组 12 n a aa线性表示 所以向量组 12 n a aa b线性相关 证法证法 2 通过秩或根据mn 时m个n元向量一定线性相关也可马上证明 5 证 证 1 因为A的列向量组线性相关 所以齐次线性方程组 Ax0有非零解 设 u0是 它的非零解 则 Au0 由 BPA 得 Bu0可见 Bx0有非零解 所以B的列向量组线性相关 2 若P可逆 则 1 AP B 由 1 的结论可知 B的列向量组线性相关时 A的 列向量组也线性相关 所以A和B的列向量组具有相同的线性相关性 注 该题也可根据性质 5 6 和性质 5 3 来证明 6 证 证 由A可逆知 A的列向量组线性无关 根据定理 5 6 增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关 注 该题也可通过矩阵的秩来证明 7 证 证 1 由向量组 123 a a a线性无关 可知 23 a a也线性无关 又因为向量组 234 a a a 线性相关 所以 4 a能由 23 a a线性表示 2 反证法 设 1 a能由 34 a a线性表示 又因为 4 a能由 23 a a线性表示 所以 1 a能由 23 a a 线性表示 这与 123 a a a线性无关矛盾 因而 1 a不能由 34 a a线性表示 8 证 证 反证法 设 123 a a a线性相关 则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示 不妨设 1 a能由 23 a a线性表示 因为向量b能由 123 a a a线性表示 所以b能由 23 a a线性 表示 这与b不能由 123 a a a中任何两个向量线性表示矛盾 所以向量组 123 a a a线性无关 9 证 证 设 21 123 k k llll A A A 0 1 由 k A 0可知 当mk 时 m A 0 用 1k A乘以 1 式 得 1 1 k l A 0 因为 1 k A 0所以 1 0 l 这时 1 式成为 21 23 k k lll A A A 0 2 用 2k A乘以 2 式 得 1 2 k l A 0 因为 1 k A 0所以 2 0 l 这时 2 式成为 21 3 k k ll A A 0 3 按照同样的做法 可证 3 0 k ll 所以 21 k A A A 线性无关 提高题提高题 5 1 1 证 证 令 2121 11112222 1 1 TT ss s k kkk kk bbb 21 1 T s sss k kk 因为ij 时 ij kk 所以 1212 1 0 sjis ij s kk b bbb bb线性无关 根据定理 5 5 可知 12 s a aa线性无关 2 证 由 11 A 212 2 A 323 3 A 得 1 AE 0 21 2 AE 32 3 AE 设 112233 kkk 0 1 用 AE乘以 1 式 得 2132 23kk 0 2 再用 AE乘以 2 式 得 31 6k 0 因为 1 0所以 3 0k 由 2 式可得 2 0k 再由 1 式可得 1 0k 所以向量组 123 线性无关 思考题思考题 5 2 1 1 不正确 当 rr A时 A中有一个 r 阶非奇异子阵就行 不需要所有 r 阶子 阵都是非奇异的 2 正确 3 正确 因为A的行秩与列秩相等 当A为方阵时 A的秩与A的行数和列数的 大小关系是一样的 所以A的行向量组和列向量组有相同的线性相关性 4 不正确 例如 对于 11 1 1 00 rr ABABB但A不是 可逆矩阵 5 正确 由 ABO 得 0 rrnrrrn ABABAB其中n为A 的列数 由A和B都是 n 阶非零矩阵 可得 1 1rr AB 再根据 rrn AB 可得 rn rn AB 所以A和B都是降秩矩阵 2 当A为方阵时 A为降秩矩阵 A是奇异矩阵 A不可逆 Ax0有非零解 A xb无解或有无穷多个解 A的行向量组 列向量组 线性相关 习题习题 5 2 1 注 求秩时行变换和列变换都可用 1 4r A 2 3r B 2 解 解 314 41 22 3 111111111111 011011011 23401220122 351702240112 rrr rr bbb aaa A 3224 42 11111111 01120112 01220010 0110002 rrrr rr aa bb 所以 1 2 a b 或 1 2 a b 3 证 证 必要性 因为A和B等价 所以用初等变换能将A化为B 又因为初等变换不 改变矩阵的秩 所以 rr AB 充分性 设 rrr AB则A和B有相同的等价标准形 r EO F OO 即用初等 变换可将A和B化成 r EO F OO 因为初等变换是可逆的 所以用初等变换也可将 r EO F OO 化成B 因而用初等变换能将A化为B A和B等价 4 证 证 因为 1r A 所以存在可逆矩阵P和Q 使得 100 000 000 PAQ 1111 1001 0000 1 0 0 0000 APQPQ 令 11 1 0 1 0 0 0 T aPbQ 则 T Aab 5 证 证 因为 mrrrm EABA 所以 rm A 又因为 rn A 所以 m n 同理可证 rm B 6 证 证 由 CAB为可逆矩阵 得 rm C 由 mrrrm CABA 得 rm A 因为 rn A m n 所以 m n rn A 同理可证 rm B 因而A的列向量组线性相关 B的列向量组线性无关 7 证 证 由 ABO 得 0 rrkrrrk ABABAB 8 证 证 由 2 6 AAEO 得 3 2 AE AEO根据第7题可得 3 2 rrn AEAE 又因为 3 2 3 2 5 rrrrn AEAEAEAEE所以 3 2 rrn AEAE 9 证证 1 当 rn A时 1 0 0 n rn AAAA 2 当 1rn A时 0 AAO 由 AAA EO 得 rrn AA 1 rnr AA 由 AO又得 1 r A所以 1 r A 3 当 2rn A时 0 r AOA 10 证 证 AB为m阶方阵 因为 rrnm ABA 所以AB为降秩矩阵 0 AB 提高题提高题 5 2 1 证 证 因为 rr A 所以存在可逆矩阵P和Q 使得 r EO PAQ OO 1111 rr r EEO APQPE O Q OOO 令 11 r r E BPCE O Q O 则B和C的秩都为r 分别为mr 矩阵和 rn 矩阵 且 ABC 2 证 证 设 rr A 则存在可逆矩阵P和Q 使得 r EO PAQ OO 11111 rr EOEO APQP Q QQ OOOO 令 111 r EO BP QCQQ OO 则 2 CC 且 ABC 3 证法证法 1 因为 rk A所以 rrrkr ABABB 又因为 rr ABB 所以 rr ABB 证法证法 2 T A A为k阶方阵 由 T rrk A AA知 T A A为可逆矩阵 于是 T rrr BA ABAB即 rr ABB 又因为 rr ABB所以 rr ABB 注 当A的秩等于其列数时 称A为列满秩矩阵 该题是性质 4 3 左乘可逆矩阵情况 的推广 4 解 解 设A为n阶矩阵 1 1 n abb bab anb ab bba A 当ab 且 1 anb 时 rn A 当0ab 时 0 r A 当0ab 时 1 r A 当 1 0anb 时 1 rn A 思考题思考题 5 3 1 不一定 例如 向量组 I 12 11 00 aa 能由向量组 II 12 10 01 bb 线 性表示 但向量组 II 不能由向量组 I 线性表示 2 能 3 1 等价矩阵的列向量组不一定等价 例如 矩阵 10 00 与 00 01 等价 但是它 们的列向量组不等价 2 等价的列向量组所构成的矩阵不一定等价 例如 向量组 101 012 与向量组 11 01 等价 但他们构成的矩阵不等价 4 不一定 例如 向量组 12 00 与向量组 00 11 的秩相等 但它们不等价 5 选D 6 选D 注 等价的向量组所含向量的个数可以不同 可以一个相关而另一个无关 7 选D 因为 12 r r 12 s rs 若sr 则 12 r rr 8 选D 习题习题 5 3 1 1 线性相关 2 线性相关 2 1 秩为 3 124 a a a是一个极大无关组 312524 2 aaa aaa 2 秩为 3 124 a a a是一个极大无关组 312 2 aaa 3 秩为 4 1234 TTTT aaaa是极大无关组 3 证 证 设 123123 Aa a aBb b b则 BAP 其中 102 110 011 P 由1 P知 P可逆 所以 rrr BAPA 所以B的列向量组和A的列向量组的线性相关性相同 结论成立 4 解 解 设 123123 Aa a aBb b b则 BAP 其中 11 22 011 k k P 要使 123 b b b线性相关 需0 P 由0 P 得0k 或2k 所以当0k 或2k 时 向量组 123 b b b线性相关 5 解解 设 1212 mm Aa aaBb bb 则 BAP 其中 10001 11000 01100 00010 00011 P 1 1 1 m P 当m为奇数时 2P P可逆 r rmBA 12 m b bb线性无关 当m为奇数时 0P r r rm BAPP 12 m b bb线性相关 6 证 证 由向量组 12 m b bb线性无关 可得 12 m rm b bb 由向量组 12 m b bb能由向量组 12 n a aa线性表示 又可得 1212 mn rrn b bba aa 所以 m n 7 证证 必要性 若 12 n a aa为 n R的极大无关组 则对于 n R中的任意向量a 12 n a aa a都线性相关 因而a能由 12 n a aa线性表示 充分性 若 n R中的任意向量a都能由 12 n a aa线性表示 则 12 n n e eeR能由 12 n a aa线性表示 于是 1212 nn rrn e eea aa 由 12 n e ee线性无关 得 12 n rn e ee 因而 12 n rn a aa 12 n a aa 线性无关 因为 rn n R所以 12 n a aa为 n R的极大无关组 8 证 证 12 123123 032204103124 103124032204 210111210111 321213321213 rr a a a b b b 3123 41 2 3 103124103124 032204016157 016157032204 028179028179 rrrr rr 32 42 3 2 103124103124 016157016157 002051525004135 004135000000 rr rr 因为 123123123 3rr a a a b b ba a a 所以向量组 II 能由向量组 I 线性表示 又因为 13 123 204111111111 124124033011 111204022000 213213011000 rr b b b 123123123123 2 rrr b b ba a a b b bb b b 所以向量组 I 不能由向量组 II 线性表示 9 解 解 123123 111122111122 011111011 111 21236401120kkkk a a a b b b 111122 011111 001011kk 当1k 时 123123123 3rr a a a b b ba a a 向量组 II 能由向量组 I 线性表 示 当1k 时 123123123 rr a a