第八章 点的合成运动(相对牵连绝对运动).ppt

1 第八章点的合成运动 2 8 1点的合成运动的概念 8 2点的速度合成定理 8 3牵连运动为平动时点的加速度合成定理 8 4牵连运动为转动时点的加速度合成定理习题课 第八章点的合成运动 3 8 1点的合成运动的概念 一 坐标系 1 静坐标系 把固结于地面上的坐标系称为静坐标系 简称静系 2 动坐标系 把固结于相对于地面运动物体上的坐标系 称为动坐标系 简称动系 例如在行驶的汽车 运动学 4 三 三种运动及三种速度与三种加速度 绝对运动 动点对静系的运动 相对运动 动点对动系的运动 例如 人在行驶的汽车里走动 牵连运动 动系相对于静系的运动例如 行驶的汽车相对于地面的运动 绝对运动中 动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中 动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中 牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度 牵连点 在任意瞬时 动坐标系中与动点相重合的点 也就是设想将该动点固结在动坐标系上 而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点 运动学 二 动点 所研究的点 运动着的点 5 下面举例说明以上各概念 运动学 6 运动学 7 运动学 绝对速度 相对速度 牵连速度 8 绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 运动学 9 动点 A 在圆盘上 动系 O A摆杆静系 机架绝对运动 曲线 圆周 相对运动 直线牵连运动 定轴转动 运动学 动点 A1 在O A1摆杆上 动系 圆盘静系 机架绝对运动 曲线 圆弧 相对运动 曲线牵连运动 定轴转动 10 若动点A在偏心轮上时动点 A 在AB杆上 A 在偏心轮上 动系 偏心轮AB杆静系 地面地面绝对运动 直线圆周 红色虚线 相对运动 圆周 曲线 曲线 未知 牵连运动 定轴转动平动 注 要指明动点应在哪个物体上 但不能选在动系上 运动学 11 点的速度合成定理 速度合成定理将建立动点的绝对速度 相对速度和牵连速度之间的关系 运动学 一 证明 12 运动学 13 说明 va 动点的绝对速度 vr 动点的相对速度 ve 动点的牵连速度 是动系上一点 牵连点 的速度I 动系作平动时 动系上各点速度都相等 II 动系作转动时 ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和 这就是点的速度合成定理 运动学 14 点的速度合成定理是瞬时矢量式 共包括大小 方向六个元素 已知任意四个元素 就能求出其他两个 二 应用举例 运动学 例1 桥式吊车已知 小车水平运行 速度为v平 物块A相对小车垂直上升的速度为v 求物块A的运行速度 15 运动学 作出速度平四边形如图示 则物块 的速度大小和方向为 解 选取动点 物块A动系 小车静系 地面相对运动 直线 相对速度vr v 方向 牵连运动 平动 牵连速度ve v平方向 绝对运动 曲线 绝对速度va的大小 方向待求 由速度合成定理 16 解 取OA杆上A点为动点 摆杆O1B为动系 基座为静系 绝对速度va r 方向 OA相对速度vr 方向 O1B牵连速度ve 方向 O1B 运动学 例2 曲柄摆杆机构已知 OA r OO1 l图示瞬时OA OO1求 摆杆O1B角速度 1 由速度合成定理va vr ve作出速度平行四边形如图示 17 由速度合成定理va vr ve 作出速度平行四边形如图示 解 动点取直杆上A点 动系固结于圆盘 静系固结于基座 绝对速度va 待求 方向 AB相对速度vr 未知 方向 CA牵连速度ve OA 2e 方向 OA 翻页请看动画 运动学 例3 圆盘凸轮机构已知 OC e 匀角速度 图示瞬时 OC CA且O A B三点共线 求 从动杆AB的速度 18 运动学 19 由上述例题可看出 求解合成运动的速度问题的一般步骤为 选取动点 动系和静系 三种运动的分析 三种速度的分析 根据速度合成定理作出速度平行四边形 根据速度平行四边形 求出未知量 恰当地选择动点 动系和静系是求解合成运动问题的关键 运动学 20 动点 动系和静系的选择原则 动点 动系和静系必须分别属于三个不同的物体 否则绝对 相对和牵连运动中就缺少一种运动 不能成为合成运动 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断 已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外 运动学 21 分析 相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化 因此两物体的接触点都不宜选为动点 否则相对运动的分析就会很困难 这种情况下 需选择满足上述两条原则的非接触点为动点 运动学 例 已知 凸轮半径r 图示时杆OA靠在凸轮上 求 杆OA的角速度 22 解 取凸轮上C点为动点 动系固结于OA杆上 静系固结于基座 运动学 23 8 3牵连运动为平动时点的加速度合成定理 由于牵连运动为平动 故由速度合成定理 对t求导 运动学 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O x y z 的曲线AB运动 而曲线AB同时又随同动系O x y z 相对静系Oxyz平动 24 其中为动系坐标的单位矢量 因为动系为平动 故它们的方向不变 是常矢量 所以 运动学 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时 动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和 25 解 取杆上的A点为动点 动系与凸轮固连 运动学 例1 已知 凸轮半径求 j 60o时 顶杆AB的加速度 请看动画 26 绝对速度va 方向 AB 绝对加速度aa 方向 AB 待求 相对速度vr 方向 CA 相对加速度art 方向 CA 方向沿CA指向C牵连速度ve v0 方向 牵连加速度ae a0 方向 运动学 由速度合成定理 做出速度平行四边形 如图示 27 运动学 因牵连运动为平动 故有 作加速度矢量图如图示 将上式投影到法线上 得 整理得 注 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影关系不同 28 8 4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理 那么当牵连运动为转动时 上述的加速度合成定理是否还适用呢 下面我们来分析一特例 运动学 设一圆盘以匀角速度 绕定轴 顺时针转动 盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr沿槽作圆周运动 那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢 29 由速度合成定理可得出 运动学 选点M为动点 动系固结与圆盘上 则M点的牵连运动为匀速转动 方向如图 30 运动学 分析上式 还多出一项2 vr 可见 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和 那么他们之间的关系是什么呢 2 vr又是怎样出现的呢 它是什么呢 下面我们就来讨论这些问题 推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理 31 运动学 可以看出 经过Dt时间间隔 牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了 设有已知杆OA在图示平面内以匀 绕轴O转动 套筒M 可视为点M 沿直杆作变速运动 取套筒M为动点 动系固结于杆OA上 静系固结于机架 32 运动学 牵连速度 由作速度矢量三角形 在矢量上截取等于长后 将分解为和 33 运动学 其中 表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量 与相对运动无关 表示Dt内动点的牵连速度 由于相对运动而引起的大小改变量 与相对速度有关 34 运动学 方向 Dt 0时 D 0 其方向沿着直杆指向A点 因此 第一项正是t瞬时动点的牵连加速度 35 运动学 所以 当牵连运动为转动时 加速度合成定理为 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度等于它的牵连加速度 相对加速度和科氏加速度三者的矢量和 一般式 一般情况下科氏加速度的计算可以用矢积表示 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小 方向都相同 可以合并为一项 用表示 称为科里奥利加速度 简称科氏加速度 36 解 动点 顶杆上A点 动系 凸轮 静系 地面 绝对运动 直线 绝对速度 va 待求 方向 AB 相对运动 曲线 相对速度 vr 方向 n 牵连运动 定轴转动 牵连速度 ve r 方向 OA 运动学 方向 按右手法则确定 例2 已知 凸轮机构以匀 绕O轴转动 图示瞬时OA r A点曲率半径 已知 求 该瞬时顶杆AB的速度和加速度 37 运动学 根据速度合成定理 做出速度平行四边形 38 运动学 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 作出加速度矢量图如图示 39 解 点M1的科氏加速度垂直板面向里 运动学 例3 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴z转动 点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动 在图示位置时相对于板的速度分别为和 计算点M1 M2的科氏加速度大小 并图示方向 点M2的科氏加速度 40 解 方向 与相同 运动学 例4 曲柄摆杆机构已知 O1A r 1 取O1A杆上A点为动点 动系固结O2B上 试计算动点A的科氏加速度 41 运动学 42 运动学 二 解题步骤1 选择动点 动系 静系 2 分析三种运动 绝对运动 相对运动和牵连运动 3 作速度分析 画出速度平行四边形 求出有关未知量 速度 角速度 4 作加速度分析 画出加速度矢量图 求出有关的加速度 角加速度未知量 43 运动学 44 运动学 特殊问题 特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化 此时 这两个物体的接触点都不宜选为动点 应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点 2 速度问题 一般采用几何法求解简便 即作出速度平行四边形 加速度问题 往往超过三个矢量 一般采用解析 投影 法求解 投影轴的选取依解题简便的要求而定 45 四 注意问题1 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度 2 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 正确分析和计算 3 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影式不同 4 圆周运动时 非圆周运动时 为曲率半径 运动学 r 46 解 动点 OA杆上A点 动系 固结在滑杆上 静系 固结在机架上 绝对运动 圆周运动 相对运动 直线运动 牵连运动 平动 例1 曲柄滑杆机构 请看动画 运动学 47 小车的速度 根据速度合成定理做出速度平行四边形 如图示 小车的加速度 运动学 48 例2 摇杆滑道机构 解 动点 销子D BC上 动系 固结于OA 静系 固结于机架 绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 沿OA线牵连运动 定轴转动 请看动画 运动学 49 根据牵连转动的加速度合成定理 运动学 50 请看动画 例3 曲柄滑块机构 解 动点 O1A上A点 动系 固结于BCD上 静系固结于机架上 绝对运动 圆周运动 相对运动 直线运动 牵连运动 平动 水平方向 运动学 已知 h 图示瞬时 求 该瞬时杆的w2 51 根据做出速度平行四边形 再选动点 BCD上F点动系 固结于O2E上 静系固结于机架上绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 根据做出速度平行四边形 运动学 52 解 取凸轮上C点为动点 动系固结于OA杆上 静系固结于地面上 绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 已知 凸轮半径为R 图示瞬时O C在一条铅直线上 已知 求 该瞬时OA杆的角速度和角加速度 分析 由于接触点在两个物体上的位置均是变化的 因此不宜选接触点为动点 例4 凸轮机构 方向 请看动画 运动学 53 做出速度平行四边形 知 根据 根据 做出加速度矢量图 运动学 54 请看动画 例5 刨床机构已知 主动轮O转速n 30r m