广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题15：探索型问题.doc

广东省各市广东省各市 2015 年中考数学试题分类解析汇编 年中考数学试题分类解析汇编 20 专题 专题 专题专题 1515 探索型问题 探索型问题 1 2015 年广东梅州年广东梅州 3 分 分 对于二次函数 2 2yxx 有下列四个结论 它的对称轴是直线1x 设 22 111222 2 2yxxyxx 则当 21 xx时 有 21 yy 它的图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 当0 0y 其中 正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 考点考点 二次函数的图象和性质 分析分析 2 2 211yxxx 二次函数图象的对称轴是直线1x 故结论 正确 当1x 时 y随x的增大而减小 此时 当 21 xx时 有 21 yy 故结论 错误 2 20yxx 的解为 12 0 2xx 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 故结论 正确 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 且有最大值 1 当 0 0y 故结论 正确 综上所述 正确结论有 三个 故选 C 2 2015 年广东深圳年广东深圳 3 分 分 二次函数 2 0 yaxbxc a 的图像如下图所示 下列说 法 0a 0b 0c 2 40bac 正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 B 考点考点 二次函数的图像和性质 分析分析 二次函数 2 0 yaxbxc a 图像的开口向下 0 2 b a 即 0b 故说法 正确 二次函数 2 0 yaxbxc a 图像与y轴的交点在x轴上方 0c 故说 法 错误 二次函数 2 0 yaxbxc a 图像与x轴有两个交点 2 40bac 故 说法 正确 综上所述 正确的个数是 2 个 故选 B 3 2015 年广东深圳年广东深圳 3 分 分 如图 已知正方形 ABCD 的边长为 12 BE EC 将正方形边 CD 沿 DE 折叠到 DF 延长 EF 交 AB 于 G 连接 DG 现在有如下 4 个结论 ADGFDG 2GBAG GDEBEF 72 5 BEF S 在以上 4 个结论 中 正确的有 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 考点考点 折叠问题 正方形的性质 全等 相似三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 由折叠和正方形的性质可知 0 90DFDCDADFCC 0 90DFGA 又 DGDG ADGFDG HL 故结论 正确 正方形 ABCD 的边长为 12 BE EC 6BEECEF 设AGFGx 则6 12EGxBGx 在Rt BEG 中 由勾股定理 得 222 EGBEBG 即 22 2 662xx 解得 4x 4 8AGGFBG 2GBAG 故结论 正确 6BEEF BEF 是等腰三角形 易知GDE 不是等腰三角形 GDE 和BEF 不相似 故结论 错误 11 6 824 22 BEG SBE BG 672 24 105 BEFBEG EF SS EG 故结论 正确 综上所述 4 个结论中 正确的有 三个 故选 C 4 2015 年广东年广东 3 分 分 如图 已知正 ABC 的边长为 2 E F G 分别是 AB BC CA 上的点 且 AE BF CG 设 EFG 的面积为 y AE 的长为 x 则 y 关于 x 的函数图象大致 是 A B C D 答案答案 D 考点考点 由实际问题列函数关系式 几何问题 二次函数的性质和图象 分析分析 根据题意 有 AE BF CG 且正三角形 ABC 的边长为 2 AEG BEF CFG 三个三角形全等 2 BECFAGx 在 AEG 中 2 AExAGx 13 2 24 VAEG SAE AG sinAxx 2 333 3 33323 442 VVABCAEG ySSxxxx 其图象为开口向上的二次函数 故选 D 5 2015 年广东汕尾年广东汕尾 4 分 分 对于二次函数 2 2yxx 有下列四个结论 它的对称轴是直线1x 设 22 111222 2 2yxxyxx 则当 21 xx时 有 21 yy 它的图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 当0 0y 其中 正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 考点考点 二次函数的图象和性质 分析分析 2 2 211yxxx 二次函数图象的对称轴是直线1x 故结论 正确 当1x 时 y随x的增大而减小 此时 当 21 xx时 有 21 yy 故结论 错误 2 20yxx 的解为 12 0 2xx 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 故结论 正确 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 且有最大值 1 当 0 0y 故结论 正确 综上所述 正确结论有 三个 故选 C 1 2015 年广东梅州年广东梅州 3 分 分 已知 ABC 中 点 E 是 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 若 以 A E F 为顶点的三角形与 ABC 相似 则需要增加的一个条件是 写出 一个即可 答案答案 F 是 AC 的中点 答案不唯一 考点考点 开放型 三角形中位线定理 相似三角形的判定 分析分析 ABC 中 点 E 是 AB 边的中点 点 F 在 AC 边上 若以 A E F 为顶点的三角 形与 ABC 相似 则根据三角形中位线定理和相似三角形的判定需要增加的一个条件可以 是 F 是 AC 的中点或 EF BC 或 AEF B 或 AEF C 或 AFE B 或 AFE C 等 答案不唯一 2 2015 年广东梅州年广东梅州 3 分 分 若 1 21212121 ab nnnn 对任意自然数n都成 立 则 a b 计算 1111 1 33 55 719 21 m 答案答案 1 2 1 2 10 21 考点考点 探索规律题 数字的变化类 分析分析 111 21212 212 212121 ab nnnnnn 11 22 ab 11111111111110 1 33 55 719 2126610384224221 m 3 2015 年广东佛山年广东佛山 3 分 分 各边长度都是整数 最大边长为 8 的三角形共有 个 答案答案 20 考点考点 探索规律题 图形的变化类 三角形构成条件 分析分析 应用列举法 逐一作出判断 三边边长都为 8 能构成 1 个三角形 两边边长为 8 能构成三角形的另一边有 1 2 3 4 5 6 7 计 7 个 一边边长为 8 能构成三角形的另两边组合有 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 3 6 4 6 5 6 6 6 4 5 5 5 计 12 个 各边长度都是整数 最大边长为 8 的三角形共有 20 个 4 2015 年广东深圳年广东深圳 3 分 分 观察下列图形 它们是按一定规律排列的 依照此规律 第 5 个图形有 个太阳 答案答案 21 考点考点 探索规律题 图形的变化类 分析分析 观察图形可知 上面一排按序号 1 2 3 4 排列 第 5 个图形有 5 个太阳 下面一排按 01234 2 2 2 2 2 排列 第 5 个图形有 4 216 个太阳 第 5 个图形共有 21 个太阳 5 2015 年广东年广东 4 分 分 观察下列一组数 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 根据该组数的排列 规律 可推出第 10 个数是 答案答案 12 21 考点考点 探索规律题 数字的变化类 分析分析 观察得该组数的排列规律为 分母为奇数 分子为自然数 第个数为 n 21 n n 所以 第 10 个数是 1012 2 10 121 6 2015 年广东汕尾年广东汕尾 5 分 分 若 1 21212121 ab nnnn 对任意自然数n都成 立 则 a b 计算 1111 1 33 55 719 21 m 答案答案 1 2 1 2 10 21 考点考点 探索规律题 数字的变化类 分析分析 111 21212 212 212121 ab nnnnnn 11 22 ab 11111111111110 1 33 55 719 2126610384224221 m 7 2015 年广东珠海年广东珠海 4 分 分 如图 在 111 ABC 中 已知 111111 745ABBCAC 依次连接 111 ABC 的三边中点 得 222 A B C 再依次连接 222 A B C 的三边中点得 333 A B C 则 555 A B C 的周长为 答案答案 1 考点考点 探索规律题 图形的变化类 三角形中位线定理 分析分析 A B C 222的三顶点在 ABC 111的三边中点 A B C 222的周长是 ABC 111周 长的 1 2 A B C 333的三顶点在 A B C 222的三边中点 A B C 333的周长是 A B C 222周长的 1 2 是ABC 111周长的 2 1 2 A B C 444的三顶点在 A B C 333的三边中点 A B C 444的周长是 A B C 333周长的 1 2 是ABC 111周长的 3 1 2 A B C 555的三顶点在 A B C 444的三边中点 A B C 555的周长是 A B C 444周长的 1 2 是ABC 111周长的 4 1 2 又 ABBCAC 111111 745 A B C 555的周长为 ABBCAC 11111 4 11 7 4 51 216 1 2015 年广东梅州年广东梅州 10 分 分 在 Rt ABC 中 A 90 AC AB 4 D E 分别是边 AB AC 的中点 若等腰 Rt ADE 绕点 A 逆时针旋转 得到等腰 Rt AD1E1 设旋转角为 0 180 记直线 BD1与 CE1的交点为 P 1 如图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 线段 CE1的长等于 直接填写结果 2 如图 2 当 135 时 求证 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 直接写出结果 答案答案 解 1 2 5 2 5 2 证明 当 135 时 由旋转可知 D1AB E1AC 135 又 AB AC AD1 AE1 D1AB E1AC SAS BD1 CE1 且 D1BA E1CA 设直线 BD1与 AC 交于点 F 有 BFA CFP CPF FAB 90 BD1 CE1 3 13 考点考点 面动旋转问题 等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等 相似三角形的判定和 性质 分析分析 1 如题图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 2222 422 5ABAE 线段 CE1的长等于 2222 1 422 5ACAE 2 由 SAS 证明 D1AB E1AC 即可证明 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 如答图 2 当四边形 AD1PE1为正方形时 点 P 到 AB 所 在直线的距离距离最大 此时 11 222 3ADPDPB 1 ABDPBH 1 ADAB PHPB 24 22 3PH 13PH 当四边形 AD1PE1为正方形时 点 P 到 AB 所在直线的距离距离的最大值为 13 2 2015 年广东广州年广东广州 10 分 分 已知 O 为坐标原点 抛物线 2 1 0 yaxbxc a 与x轴 相交于点 1 0 A x 2 0 B x 与y轴交于点 C 且 O C 两点之间的距离为 3 1212 0 4xxxx 点 A C 在直线 2 3yxt 上 1 求点 C 的坐标 2 当 1 y随着x的增大而增大时 求自变量x的取值范围 3 将抛物线 1 y向左平移 0 n n 个单位 记平移后y随着x的增大而增大的部分为 P 直线 2 y向下平移 n 个单位 当平移后的直线与 P 有公共点时 求 2 25nn 的最小值 答案答案 解 1 令0 x 得 1 yc 0 Cc O C 两点之间的距离为 3 3c 解得3c 点 C 的坐标为 0 3 或 0 3 2 12 0 xx 12 xx 异号 若 0 3C 把 0 3C 代入 2 3yxt 得30t 即3t 2 33yx 把 1 0 A x 代入 2 33yx 得 1 033x 即 1 1x 1 0A 12 xx 异号 1 1 0 x 2 0 x 12 4xx 2 14x 2 14x 2 3x 3 0B 把 1 0A 3 0B 代入 2 1 3yaxbx 得 30 9330 ab ab 解得 1 2 a b 2 2 1 2314yxxx 当1x 时 1 y随着x的增大 而增大 若 0 3C 把 0 3C 代入 2 3yxt 得30t 即 3t 2 33yx 把 1 0 A x 代入 2 33yx 得 1 033x 即 1 1x 1 0A 12 xx 异号 1 10 x 12 4xx 2 14x 2 14x 2 3x 3 0B 把 1 0A 3 0B 代入 2 1 3yaxbx 得 30 9330 ab ab 解得 1 2 a b 2 2 1 2314yxxx 当1x 时 1 y随着x的增大而增 大 综上所述 若 0 3C 当 1 y随着x的增大而增大时 1x 若 0 3C 当 1 y随着x的增大而增大时 1x 3 若 0 3C 则 2 2 1 2314yxxx 2 33yx 1 y向左平移 0 n n 个单位后的解析式为 2 3 14yxn 则当 1xn 时 3 y随着x的增大而增大 直线 2 y向下平移 n 个单位后的解析式为 4 33yxn 要使平移后直线与P有公共点 则当1xn 时 34 yy 即 2 114313nnnn 解得1n 与 0n不符 舍去 若 0 3C 则 2 2 1 2314yxxx 2 33yx 1 y向左平移 0 n n 个单位后的解析式为 2 3 14yxn 则当 1xn 时 3 y随着x的增大而增大 直线 2 y向下平移 n 个单位后的解析式为 4 33yxn 要使平移后直线与P有公共点 则当1xn 时 43 yy 即 2 3 13114nnnn 解得1n 综上所述 1n 2 2 525 252 48 nnn 当 5 4 n 时 2 25nn 的最小值为 25 8 考点考点 二次函数综合题 线动平移问题 曲线上点的坐标与方程的关系 不等式和绝对 值的性质 二次函数的最值 分类思想的应用 分析分析 1 一方面 由点 C 在抛物线 2 1 0 yaxbxc a 得到 0 Cc 另一方面 由 O C 两点之间的距离为 3 得到3c 从而得到点 C 的坐标 2 分 0 3C 和 0 3C 两种情况讨论 3 分 0 3C 和 0 3C 两种情况讨论得到n的范围内1n 从而根据二 次函数最值原理即可求解 3 2015 年广东深圳年广东深圳 9 分 分 如图 1 关于x的二次函数 2 yxbxc 经过点 3 0 A 点 0 3 C 点D为二次函数的顶点 DE为二次函数的对称轴 E在x轴上 1 求抛物线的解析式 2 DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到x轴的距离相等 若存在求出点 P 若不存在 请说明理由 3 如图 2 DE 的左侧抛物线上是否存在点 F 使23 FBCEBC SS 若存在求出点 F 的 坐标 若不存在请说明理由 答案答案 解 1 将点 3 0 A 0 3 C 代入 2 yxbxc 得 930 3 bc c 解得 2 3 b c 抛物线的解析式为 2 23yxx 2 存在 2 2 2314yxxx 2 4 2 5AEDEAD 25 sin 52 5 AE ADE AD 设 1 Pp 当点P在DAB 的角平分线时 如答图 1 过点P作PMAC 于点 M 则 5 sin4 5 PMPDADEpPEp PMPE 5 4 5 pp 解得51p 1 51P 当点P在DAB 的外角平分线时 如答图 2 过点P作PMAC 于 点M 则 5 sin4 5 PMPDADEpPEp PMPE 5 4 5 pp 解得51p 1 51P 综上所述 DE 上存在点 P 到 AD 的距离与到轴的距离相等 点 P 的x 坐标为 1 51 或 1 51 3 存在 假设存在点 F 使23 FBCEBC SS 设 2 23Ffff 2 3BEOC 3 EBC S 23 FBCEBC SS 9 2 FBC S 设CF的解析式为ymxn 则 2 23 3 fmnff n 解得 2 3 mf n CF的解析式为 23yfx 令0y 得 3 2 x f 即CF与x轴的交点坐标为 3 0 2 Q f 若点F在x轴上方 如答图 2 则 BCFBCQBFQ SSS 2 91313 13123 22222 ff ff 即 2 90ff 解得 137 2 f 舍去正值 当 137 2 f 时 2 3 3715 23 2 ff 1373 3715 22 F 若点F在x轴下方 如答图 3 则 BCFBCQBFQ SSS 2 91313 13123 22222 ff ff 即 2 90ff 解得 137 2 f 舍去正值 当 137 2 f 时 2 3 3715 23 0 2 ff 不符合点F在x轴 下方 舍去 综上所述 DE 的左侧抛物线上存在点 F 使 点 F 的23 FBCEBC SS 坐标为 1373 3715 22 考点考点 二次函数综合题 待定系数法的应用 曲线上点的坐标与方程的关系 锐角三角 函数定义 角平分线的性质 分类思想 转换思想和方程思想的应用 分析分析 1 将点 3 0 A 0 3 C 代入 2 yxbxc 即可求解 2 根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质 分点P在DAB 的角平 分线和点P在DAB 的外角平分线两种情况讨论即可 3 由已知求出 9 2 FBC S 分点F在x轴上方和点F在x轴下方两种情况讨论 当点F在x轴上方时 BCFBCQBFQ SSS 当点F在x轴下方时 BCFBCQBFQ SSS 据此列方程求解 4 2015 年广东年广东 9 分 分 如图 反比例函数 的图象与直线相交于 k y x 0k 0 x 3yx 点 C 过直线上点 A 1 3 作 AB x 轴于点 B 交反比例函数图象于点 D 且 AB 3BD 1 求 k 的值 2 求点 C 的坐标 3 在 y 轴上确定一点 M 使点 M 到 C D 两点距离之和 d MC MD 最小 求点 M 的坐 标 答案答案 解 1 A 1 3 OB 1 AB 3 又 AB 3BD BD 1 D 1 1 反比例函数 的图象经过点 D k y x 0 k0 x1 11 k 2 由 1 知反比例函数的解析式为 1 y x 解方程组 得或 舍去 3 1 yx y x 3 3 3 x y 3 3 3 x y 点 C 的坐标为 3 3 3 3 如答图 作点 D 关于 y 轴对称点 E 则 E 1 连接 CE1 交 y 轴于点 M 即为所求 设直线 CE 的解析式为 则 ykxb 解得 3 3 3 1 kb kb 2 33 2 32 k b 直线 CE 的解析式为 2 33 2 32 yx 当 x 0 时 y 2 32 点 M 的坐标为 0 2 32 考点考点 反比例函数和一次函数综合问题 曲线上点的坐标与方程的关系 待定系数法的 应用 轴对称的应用 最短距离问题 方程思想的应用 分析分析 1 求出点 D 的坐标 即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系 求出 k 的 值 2 由于点 C 是反比例函数的图象和直线的交点 二者联立即可求 1 y x 3 yx 得点 C 的坐标 3 根据轴对称的应用 作点 D 关于 y 轴对称点 E 则 E 1 连接 CE 交 y1 轴于点 M 即为所求 5 2015 年广东年广东 9 分分 如图 在同一平面上 两块斜边相等的直角三角板 Rt ABC 与 Rt ADC 拼在一起 使斜边 AC 完全重合 且顶点 B D 分别在 AC 的两旁