考研数学历年真题详解线性代数.doc

第一章 行列式1（95，九题，6分）设A是n阶矩阵，满足（E是n阶单位阵，是A的转置矩阵，|A|n时，必有行列式|. （B）当mn时，必有行列式|.（C）当nm时，必有行列式|. （D）当nm时，必有行列式|. 【 】【答】应选（B）【分析】四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，所以最终只要判断AB是否满秩即可。本题未知AB的具体元素，因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解。【详解】因为AB为m阶方阵，且当mn时，由上式可知，即AB不是满秩的，故有行列式|AB|=0,因此正确选项为（B）4（04，填（5）题，4分）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|= 【分析】可先用公式进行简化【详解】已知等式两边同时右乘A，得，而|A|=3,于是有3AB6BA，即(3A6E)B=A，再两边取行列式有：|3A-6E|B|=|A|=3，而|3A-6E|=27,故所求行列式为|B|=5（05，填（5）题，4分）设均为3维列向量，记矩阵A=()，B()如果|A|=1，那么|B|=【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。【详解】对矩阵B用分块技巧，有 两边取行列式，并用行列式乘法公式，得 所以|B|=2.6（06，（5）题，4分）设矩阵，E为单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则|B|=【分析】本题为计算方阵行列式，应利用矩阵运算与行列式的关系来求解【详解】由BAB2E得BA-B=2E B(A-E)=2E |B(A-E)|=|2E| |B|A-E|=4 |B|=4|A-E|-1 =第二章 矩 阵一、矩阵运算1（97，填（4）题，3分）设，B为三阶非零矩阵，且AB0，则t【分析】由AB0也可推知r(A)+r(B)3，而r(B)0。于是r(A)2,故有|A|=0t=-3.【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB=0,可见线性方程组Ax0存在非零解，故 二、伴随矩阵1（05，12题，4分）设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B，分别为A，B的伴随矩阵，则 （A）交换的第1列与第2列得 （B）交换的第1行与第2行得 （C）交换的第1列与第2列得 （D）交换的第1行与第2行得 【 】【答】应选（C）【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可【详解】为书写简捷，不妨考查A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B，所以用初等矩阵左乘A得到B，按已知有 于是从而 又因|A|=-|B|，故，所以应选（C）三、可逆矩阵1（96，八题，6分）设，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：（1）的充要条件是（2）当时，A是不可逆矩阵【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中是n维列向量，则是n阶矩阵且秩为1。而是一个数【详解】（1）因此因为，所以故的充要条件为（2）方法一：当时，由，有，因为故有非零解，因此|A|=0,说明A不可逆方法二：当，由，即EA的每一列均为的解，因为说明有非零解，故秩(A)n,因此A不可逆方法三：用反证法。假设A可逆，当，有于是，即，这与矛盾，故A时不可逆矩阵2（01，填（4）题，3分）设矩阵A满足，其中E为单位矩阵，则【分析】本题中矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵，用初等行变换求逆的方法行不通，应当考虑用定义法。【详解】由题设，有也即故四、初等变换和初等矩阵1（95，选（5）题，3分）设，则必有（A） （B）（C） （D） 【 】【答】应选（C）【分析】因为，为初等矩阵，对A左乘或右乘初等矩阵，相当于对A施行了一次行或列初等变换，这里，B是由A先将第一行加到第三行，再交换第一、二行两次初等变换得到的，故有【详解】是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵，而B是由A先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此有，故正确选项为（C）2（97，八题，5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵为B （1）证明B可逆； （2）求【分析】本题考查了初等矩阵的定义，性质一级初等变换的关系，将的第i行和第j行对换，相当于左乘一初等矩阵，交换两行，行列式变号，其值仍不为零，从而可逆【详解】（1）记是由n阶单位矩阵的的i行和的j行对换后得到的初等矩阵，则BE(i, j)A，于是有|B|=|E(i, j)|A|=-|A|0,故B可逆（2）3（04，选（11）题，4分）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B得第2列加到第3列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】应选（D）【分析】本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积【详解】由题意，有 于是， 可见应选（D）4（06，（12）题，4分）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记则 （A） （B） （C） （D） 【 】【分析】本题为矩阵运算，需要利用矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来求解。【详解】因为P为初等矩阵，PA相当于把A的第2行加到第1行，记BPA，所以正选应在（B），（D）之中，而相当于把B的第2列加到第1列，故选项（D）错误，于是，正确选项为（B）五、矩阵方程1（95，填5题，3分）设三阶方阵A，B满足关系式：，且A=，则B【分析】解这种矩阵的题型，应先进行化简后再计算，但注意的是：左乘与右乘矩阵时是有区别的，请不要轻易地犯这种低级错误。【详解】在已知等式两边右乘以，得 于是 2（00，十题，6分）设矩阵A的伴随矩阵，且，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B【分析】本题为求解矩阵方程问题，B相当于是未知矩阵，其一般原则是先化简，再计算，根据题设，等式可先右乘A，再左乘，尽量不去计算【详解1】由，知，因此有 ，于是 在等式两边先右乘A，再左乘，得 ， 于是【详解2】（同解1）。由，得可见A-E为可逆矩阵，于是由，有，而因此六、矩阵得秩1（96，填5题，3分）设A是43矩阵，且A得秩r(A)=2，而，则r（AB）【分析】本题是基本题型，考查的是矩阵的秩【详解】因为，说明矩阵B可逆，故秩r(AB)=秩r(A)=22（98，选4题，3分）设矩阵是满秩的，则直线与直线 （A）相交于一点 （B）重合（C）平行但不重合（D）异面 【 】【答】应选（A）【分析】本题综合运用了线性代数于空间解析几何两个知识点，主要考查对满秩方阵、二向量共线的条件及三向量共面的条件等概念的理解及应用，作为选择题本题 首先可由两直线不共线，排除选项(B)和(C)，根据对称性，不难观察到点同时满足两个方程，故应选（A）【详解】设矩阵是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵仍是满秩的，于是两直线的方向向量 线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合。又、分别为两直线上的点，其连线向量为：，满足，可见，共面，因此，必正交，即两直线肯定相交第三章 向 量一、向量组地线性相关问题1（97，选4题，3分）设，则三条直线，(其中)交于一点地充要条件是 （A）线性相关 （B）线性无关 （C）秩秩 （D）线性相关，线性无关 【 】【答】应选（D）【分析】三条直线交于一点的充要条件是方程组有惟一解【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组 有惟一解，其充要条件为秩秩2（A），（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D）2（98，十一题，4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组线性无关【分析】向量组是线性无关的，则当时，必有成立【详解】设有常数，使得 则有从而由题设，所以类似地可以证明，因此向量组是线性无关的3（00，选4题，3分）设n维列向量组（mn）线性无关，则n维列向量组线性无关的充分必要条件为（A）向量组可由向量组线性表示（B）向量组可由向量组线性表示（C）向量组与向量组等价（D）矩阵与矩阵等价 【 】【答】应选（D）【分析】向量组线性相关向量组的秩，由定理“若可由线性表出，则”【详解】用排除法（A）为充分但非必要条件：若向量组可由向量组线性表示，则一定可推导出线性无关，因为若线性相关，则，于是必线性相关，矛盾。但反过来不成立，如当m=1时，均为单个非零向量是线性无关的，但并不能用线性表示（B）为既非充分又非必要条件。如当m=1时，考虑均线性无关，但并不能由线性表示，必要性不成立；又如，可由线性表示，但并不线性无关，充分性也不成立（C）为充分但非必要条件，若向量组与向量组等价，由线性无关秩，因此线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑均线性无关，但与并不是等价的，必要性不成立故剩下（D）为正确选项。事实上，矩阵与矩阵等价，因此是向量组线性无关的充要条件4(03，选4题，4分)设向量组:可由向量组:线性表示，则 （A）当rs时，向量组必线性相关 （C）当rs时，向量组必线性相关 【 】【答】应选（D）【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组:可由向量组:线性表示，则当rs时，向量组必线性相关，或其逆否命题：若向量组:可由向量组:线性表示，且向量组线性无关，则必有，可见正确选项为（D）。本题也可通过举反例用排除法找到答案【详解】用排除法：如，则，但线性无关，排除（A）；，则可由线性表示，但线性无关，排除（B）；，则可由线性表示，但线性无关，排除（C）故正确选项为（D）5（04，选（12）题，4分）设A，B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有：（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关（D）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 【 】【答】应选（A）【分析】A，B的行或列向量组是否线性相关，可从A，B是否行（或列）满秩或Ax0（Bx0）是否有非零解进行分析讨论【详解1】设A为mn矩阵，B为ns矩阵，则由AB0知， r(A)+r(B)0,r(B)0.可见r(A)n,r(B)n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选（A）【详解2】AB0知，B的每一列均为Ax0的解，而B为非零矩阵，即Ax0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。同理，由AB0知，于是有的列向量组线性相关，从而B的行向量组线性相关，故应选（A）6（05，选11题，4分）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】应选（B）【分析】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念，讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可【详解】按特征值特征向量定义，有线性无关恒为0 恒为0由于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关于是恒为0而齐次方程组只有零解所以应选（B）7（06，（11）题，4分）设均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关（B）若线性相关，则线性无关（C）若线性无关，则线性相关（D）若线性无关，则线性无关 【 】【分析】本题为判别向量组的线性相关性，可利用线性相关性的定义和矩阵的秩与向量线性相关的关系来求解【详解1】因为若线性相关，则存在不全为0的s个数，使 用A左乘上式两端，得 因不全为零，故线性相关，所以，正确选项为（A）【详解2】设矩阵 则 于是 若线性相关,则,由此得。此时,C的列向量线性相关，所以，正确选项为（A）【详解3】因矩阵A可任意取，故当A0时，可得选项（B），（D）是错误的，而当s=n时，取AE，可得选项（D）也是错误的，所以正确选项只能是（A）二、向量组的秩与向量空间1（97，七（1）题，5分）设B是秩为2的54矩阵，是齐次线性方程组Bx0的解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基【分析】要求Bx0的解空间的一个标准正交基，首先必须确定此解空间的维数以及相应线性无关的解，由题设知解空间的维数，即Bx0的线性无关解的个数等于B的列数减r(B)，显然等于2，而三个解向量两两均是线性无关的，选取任意的两个进行施密特正交化均能得到一个标准的正交基，解不是唯一的【详解】因秩r(B)=2，故解空间的维数为：4r(B)=4-2=2又线性无关，可见是解空间的基先将其正交化：令再将其单位化：令即为所求的一个标准正交基2（03，填4题，4分）从的基到基的过渡矩阵为【分析】n维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足=,因此过渡矩阵P为：【详解】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为第四章 线性方程组一、齐次线性方程组1（98，十二题，5分）已知线性方程组 （）的一个基础解系为，试写出线性方程组（）的通解，并说明理由【分析】一般地，若AB0，就应想到B的每一列均为Ax0的解，本题也可用向量形式证明A的行向量的转置为（）的解，但相对较复杂一些【详解】（）的通解为 ，其中为任意常数理由：方程组（），（）的系数矩阵分别记为A，B，则由题设可知，于是，可见A的n个行向量的转置向量为（）的n个解向量由于B的秩为n，故（）的解空间维数为2n-r(B)=2n-n=n.又A的秩为2n与（）的解空间维数之差，即为n，故A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（）的一个基础解系，于是得到（）的上述通解2（01，九题，6分）设为线性方程组Ax0的一个基础解系，其中为实常数。试问满足什么关系时，也为Ax0的一个基础解系【分析】首先应理解基础解系的概念，是Ax0的一个基础解系，必须证明均为Ax0的解，而且是线性无关的，而基础解系应满足两个条件：解向量；线性无关且向量个数为Snr(A)【详解】由于均为的线性组合，所以均为Ax0的解，下面证明线性无关，设 即 由于线性无关，因此其系数全为零，即 其系数行列式 可见，当，即当s为偶数，；s为奇数，时，上述方程组只有零解，因此向量组线性无关，从而也为Ax0的一个基础解系3（03，选5题，4分）设有齐次线性方程组Ax0和Bx0，其中A，B均为mn矩阵，现有4个命题： 若Ax0的解均是Bx0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax0的解均是Bx0的解； 若Ax0与Bx0同解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax0与Bx0同解以上命题中正确的是 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】应选（B）【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但、两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住与，迅速排除不正确的选项【详解】若Ax0与Bx0同解，则n秩(A)=n-秩(B),即秩(A)秩(B),命题成立可排除（A），（C）；若秩(A)秩(B)，则不能推出Ax0与Bx0同解如，则秩(A)=秩(B)=1,但Ax0与Bx0不同解，由此，命题不成立，排除（D），所以答案选（B）4（04，20题，9分）设有齐次线性方程组试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数的可能取值进行讨论即可【详解1】对方程组的参数矩阵A作初等行变换，有 当时，r(A)=1n,故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为，于是方程组得通解为，其中为任意常数当时，对矩阵B作初等行变换，有可知时，r(A)=n-1n故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数【详解2】方程组的系数行列式为 当，即或时，方程组有非零解当时，对系数矩阵A作初等行变换，有 故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为，其中为任意常数当时，对系数矩阵A作初等行变换，有 故方程组的通解方程组为 由此得基础解系为于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数二、非齐次线性方程组1（00，填4题，3分）已知方程组无解，则【分析】首先明确方程组无解的充分必要条件是【详解】化增广矩阵为阶梯形，有可见，当时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解。注意，当时，系数矩阵和增广矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解2（02，选4题，3分）设有三张不同平面的方程，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵都为2，则这三张平面可能的位置关系为：则（A） （B） （C） （D）【答】应选（B）【分析】由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为2，故得知方程组有解，而且解空间的维数321，即共同构成一条直线，所以选（B）项。但错误地选（C）或（D），其原因是误认为这两种情形均有公共解，事实上，（C）仅是两两方程有公共解，（D）是某方程分别与另两方程有公共解，都不是三个方程有公共解。【详解】由题设，线性方程组 系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2，由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程组有无穷多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（A）只有一个交点，（C），（D）无交点，因此只有（B）符合要求。3（02，九题，6分）已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关,如果,求方程组的通解【分析】对于详解2，关键在于求线性方程组的通解，再由的秩，并对照以及，便可求得结果【详解1】令，则由得，将代入上式，整理后得，由线性无关，知解此方程组得，其中k为任意常数【详解2】由线性无关和知A的秩为3，因此的基础解系中只包含一个向量。由，知为齐次线性方程组的一个解，所以其通解为，k为任意常数再由，知为非齐次线性方程组的一个特解于是的通解为，其中k为任意常数4（03，十题，8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有惟一解，进而转化为系数矩阵于增广矩阵的秩均为2，本题看似复杂，其实不难，计算量比较大，该题综合考查了矩阵的秩的计算，行列式的计算，以及对解的判断问题【详解1】必要性：设三条直线交于一点，则线性方程组有惟一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于但根据题设，故必要性：由，则从必要性的证明可知，故秩()3由于 故秩(A)=2，于是，秩(A)= 秩()=2因此方程组（*）有惟一解，即三直线交于一点【详解2】必要性：设三直线交于一点，则为的非零解，其中于是但根据题设，故充分性：考虑线性方程组 将方程组(*)的三个方程相加，并由可知，方程组(*)等价于方程组 因为故方程组(*)有惟一解所以方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点5（05，21题，9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵B（k为常数），且AB0，求线性方程组Ax0的通解【分析】AB0，相当于告之B的每一列均为Ax0的解，关键问题是Ax0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩【详解1】由AB0知r(A)+r(B)3,又 (1) 若r(A)=2,必有r(B)=1,此时k=9方程组Ax0的通解是，其中t为任意实数(2)若r(A)=1,则Ax0的通解方程是且满足，如果 ，方程组的通解是，其中为任意实数；如果，方程组的通解是，其中为任意实数【详解2】（1）如果，则秩r(B)=2,由AB0知，因此，所以Ax0的通解是，其中为任意实数（2）如果k=9，则秩r(B)=1,那么，r(A)=1或2若r(A)=2,则Ax0的通解是，其中t为任意实数若r(A)=1,对，设，则方程组的通解是 6（06，（20）题，9分）已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解（）证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2（）求的值及方程组的通解【分析】本题讨论带参数的取值与解的关系，根据已知条件，必须利用非齐次线性方程组与其导出组的关系以及基础解系与系数矩阵秩的关系来求解【详解】（）设是非齐次方程组三个线性无关的解，令 则是导出的齐次方程组的两个解由可得 因为线性无关，所以必有 即由此得线性无关因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故，由此得，另一方面，导出组的系数矩阵 存在2阶不等于零的子式 所以，综上所述，即得r(A)=2（）因为非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵A的秩相等，由（）得r(A)=2,故增广矩阵 的秩也为2，用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形 由此得即利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组 确定自由未知数 由此得通解为 其中为自由未知数第五章 特征值与特征向量一、特征值与特征向量1（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式可解出【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得 于是由有2（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可【详解】设，则即从而可见必有特征值3（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是【分析】因为r(A)=1，所以【详解】因为故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）因此本题应填4（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值【分析】利用，把转化为是本题的关键【详解】根据题设有，又于是即也即由此可得 解此方程组，得又由，有故因此5.（03，九题，10分）设矩阵，求B2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出，进而确定及B2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B2E与相似求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得，从而 故B2E的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为，其中是不全为零的任意常数当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为，其中为非零的任意常数【详解2】设A的特征值为，对应特征向量为，即由于，所以又因，故有于是有因此，为B2E的特征值，对应的特征向量为由于故A的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为 当时，对应的一个特征向量为 由，得因此，B2E的三个特征值分别为9，9，3对应于特征值9的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；对应与特征值3的全部特征向量为，其中为非零的任意常数6（06，（21）题，9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3，向量，是线性方程组Ax0的两个解（）求A的特征值与特征向量（）求正交矩阵Q和对角矩阵,使【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解【详解】（）因为是齐次方程组Ax0的两个解，即 所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数至少是2已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数）（）令则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵 ， 则 二、相似矩阵与相似对角化1（97，七（2）题），6分）已知是矩阵的一个特征向量，（）试确定参数及特征向量所对应的特征值（）问A能否相似于对角阵？说明理由【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题，A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量【详解】（）由题设，有，即也即解得（）由，知可见为A的三重根，但秩r(-E-A)=2，从而对应的线性无关特征向量只有3r(-E-A)=1个，故A不可对角化2（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量（1）求与的关系式并写成矩阵形成：；（2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到【详解】（1）由题意，得 化简可见 （2）因为行列式 可见线性无关 又故为A得特征向量，且相应的特征值 为A的特征向量，且相应的特征值 （3）因为 因此只要计算即可 令 则由 有 因此3（01，十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组线性无关，且满足（1）记，求2阶矩阵B，使；（2）计算行列式【分析】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里不一定是特征向量，所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想，即将改写成APPB，从而确定出B；在第二问中，根据第一问中确定的B，由A与B相似，可知AE与BE也相似，而相似矩阵有相同的行列式，于是根据可求出所需要的行列式。对于本题而言，第二问还有另外一种解法：由有，即，由于线性无关，所以，因此，A有一个特征值为0，同理A有特征值3和1，从而【详解】（1）方法一因为AxAx 于是综合上述三式有即也即，其中方法二：设，则有APPB得上式可写成将代入式得由于线性无关，故由式可得由式可得由式可得故 方法三：将改写成故为A得特征值，为属于3得特征向量；同理可得也是A得特征值，为对应于特征值1得特征向量；也是A的特征值，为对应于特征值0的特征向量令但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以为由对应的特征值组成的对角方阵：所以（2）由（1）知，A与B相似，故A+E与B+E也相似，于是有4（02，十题，8分）设A,B为同阶方阵（1）如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立（3）当A，B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要条件而非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁，在第二问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当为二重特征时，只有两个标准型：与，而前者只与它自己相似，所以其他都与相似，故必与相似【详解】（1）若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得，故（2）令则但A，B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使，矛盾（3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为，则有即存在可逆矩阵P，Q，使于是故A，B为相似矩阵5（04，21题，9分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可【详解】A的特征多项式为当是特征方程的二重根，则有4161830，解得当时，A的特征值为2，2，6，矩阵的秩为1故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而，解得当时，A的特征值为2，2，4，矩阵的秩为2，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化第六章 二次型一、二次型的标准型1（96，九题，8分）已知二次型的秩为2（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出方程表示何种二次曲面【分析】本题考查