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题目：最优捕鱼策略 马骋 鲁婷婷 张艺莹摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，实现资源的可持续发展。可再生资源（如渔业 、 林业资源等）的开发必须适度。但在经济生活中，商人都是追求利润最大化。因此最佳捕鱼策略不仅要求我们考虑商家的经济效益，还要考虑自然环境的生态效益，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞的最大化。本文针对提出的这个问题建立了两个模型。针对实现可持续性收获，并得到最高的年收获量这一问题，我们基本思路是：考虑渔场生产过程中的两个相互制约的因素年捕捞能力和再生产能力，从而确定最优策略。我们已知各年龄组鱼群之间的数量变化规律、自然死亡率、3,4 龄鱼的捕捞强度系数之比、捕捞和产卵时间范围。通过建立微分方程模型一。可以简单的得到1,2龄鱼的单位死亡率，在根据3,4,龄鱼的捕捞强度系数列出单位时间捕捞量，从而计算出3,4龄鱼各时间段存在的情况。（注：3,4,龄鱼的存活要分1-8月和8-12月两种情况。因为3,4龄鱼8-12月产卵，渔业管理部门规定只有前8个月可以捕捞，所以前8月要用单位时间捕捞量）由此可以解出各龄鱼经过一年成长后的数量，定积分表示的P3，P4的收获量。 接下来建立规划模型二。我们发现要实现可持续性收获，即每年年初，各年龄组鱼群数量保持基本不变。（注：4龄鱼及以上还是认为是四龄鱼）因此已知每只鱼平均产卵数量和卵的成活率，已知3,4，龄鱼的年产量为目标函数，各龄鱼在年初和年末的条数为约束条件，转化为非线性规划问题。得到年捕捞量与捕捞强度之间的一元函数关系。然后运用MATLAB编程求解得到，当捕捞强度系数k取17.76时，年捕捞量最大为3.88*1012克。过后经过多次计算和验证，确保了结果的准确性和稳定性。本文分析了鱼的最优捕捞策略，从生态经济着眼,首先用微分方程组建立基本模型,从理论上完整地描述了各年龄鱼的变化情况,其次,再从微分方程模型出发,我们构造出规划模型,使模型易于实现，得到了可持续捕获应满足的条件及在此条件下可获得的年最高收获量,在对“鱼的生产能力不受到太大破坏”进行详细分析和合理描述的基础上,巧妙构思,给出了最优的捕捞策略。 关键词：最优捕捞策略 捕捞强度系数 生产能力 微分方程 非线性规划一 问题分析龄鱼龄鱼龄鱼龄鱼平均质量（）产卵量（）/2成活率（）捕捞强度系数k4K4如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），题目中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长构成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。那么根据以上信息我们可以建立规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量就可得到该龄鱼的捕捞数量，然后可得到这八个月内总的捕捞量。首先，我们来分析题目中的条件：1.捕捞强度系数（q）：单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数，不可误解为捕捞量占总鱼群量的百分比。讲捕捞强度系数（q）的定义用数学表达式写出。设i龄鱼在t，t时间段内由捕捞产生的变化量（捕捞量）为Ni(t)-Ni(t+t)单位时间的捕捞量是：Ni(t)-Ni(t+t)/ t 对任何时间间隔t都有Ni(t)-Ni(t+t)/ t=qNi(t)令t0，得到微分方程2.自然死亡率r(0.8(1/年)：类似与人口增长模型中的“自然增长率”。可以通过它简单的得到1,2龄鱼的单位死亡率，在根据3,4,龄鱼的捕捞强度系数列出单位时间捕捞量，从而计算出3,4龄鱼各时间段存在的情况。（注：3,4,龄鱼的存活要分1-8月和8-12月两种情况。因为3,4龄鱼8-12月产卵，渔业管理部门规定只有前8个月可以捕捞，所以前8月要用单位时间捕捞量）3.成活率c的影响成活率c为1龄鱼条数与总产卵量n之比：C=1.22*1011/(1.22*1011+n)设t年的产卵量为n,则t+1年的1龄鱼数目为：N1（t+1）=n*c =4.鱼群数量的变化鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只自然死亡率的影响。由题目可知，要在实现可持续捕捞的前提下，得到最高的年收获量。即要求每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，所以必须求出每年渔场中各个年龄组鱼群条数。 5.各年龄鱼的数量由于使用13mm的渔网进行捕捞，所以对1，2龄鱼不进行捕捞，在18月份对3，4龄鱼进行捕捞，在912月份要进行鱼类的繁殖不允许进行捕捞。根据死亡率的定义，单位时间内死亡鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例，可以列出满足1，2龄鱼在全年，以及3，4龄鱼在912月份死亡率所满足的微分方程。3，4龄鱼在18月份不仅受死亡率的影响，还受捕捞强度系数的影响，据此可以列出3，4龄鱼在18月份所满足的微分方程。6.鱼生长的变化情况题目给定鱼群中只有14龄鱼，得到2龄鱼是1龄鱼生长而来，3龄鱼是2龄鱼生长而来，4龄鱼是3龄鱼生长数量加上本身的4龄鱼，而1龄鱼是上一年3，4龄鱼产卵孵化而来，由此可得各龄鱼在年底和年初的数量。二 假设 各年龄组的鱼经过一年后即进入高一级的年龄组，但龄鱼以上数量极少，计为死亡。 雄性鱼虽然不具备产卵能力，但题目所给的数值为平均产卵量 假设从9月初开始产卵孵化，孵化集中在12月份末 持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，只考虑鱼群数量在1年内的情况。 虽然鱼群的变化是离散的，但对于大规模的鱼群而言，可假设鱼群的变化随时间是连续的。三 符号说明t-时间过程（年）T-年份Ni（t）-i龄鱼在时间t的个数Pi-i龄鱼的捕捞量（i=3,4）r-自然死亡率（0.8/年）n-年产卵总量c-卵的成活率1.22*1011/(1.22*1011+n)k-4龄鱼的捕捞强度M-捕捞总质量Q-卵的成活量（n*c=1.22*1011n/(1.22*1011+n)）四 模型的建立与求解模型一:由于鱼的数量随时间变化，所以将Ni（t）视为连续函数，它的变化与时间t，自然死亡率r，捕捞量，卵的成活率有关。单位死亡率：dNi/dt=-rNi r=0.8单位时间捕捞量：dPi/dt=kiNi k3:k4=0.42:1 k1=k2=0 捕捞时满足：dNi/dt=-(r+k) Ni对各龄鱼建立微分方程：dN1(t)/dt=-0.8N1 t0,1,dN2(t)/dt=-0.8N2 t0,1,dN3(t)/dt=-(0.8+0.42k)N3 t0,812,dN3(t)/dt=-0.8N3 t812,1,dN4(t)/dt=-(0.8+k)N4 t0,812,dN4(t)/dt=-0.8N4 t812,1,可解得：N1(1)=exp(-0.8)*N1(0),N2(1)=exp(-0.8)*N2(0),N3(812)=exp(-(0.8+0.42k)*23)* N3(0),N4(812)=exp(-(0.8+k)*23)* N4(0),N3(1)=exp(-(0.8+0.28k)* N3(0),N4(1)=exp(-(0.8+23k)* N4(0),收获量：P3=08120.42kx3(t)dt,P4=0812kx4(t)dt模型二：因为要实现持续性收获，每年年初，各年龄组鱼群数量不变。由此建立规划模型：M=P3m3+P4m4,N1(0)=Q,N2(0)= N1(1),N3(0)= N2(1),N4(0)= N3(1)+ N4(1),Q=1.22*1011n/(1.22*1011+n)n=1.109*(12N3+N4)*105,因此：P3=0.42KN3(0)(1-exp(-(0.8+0.42k)*23)/(0.8+0.42k),P4=kN4(0)(1-exp(-(0.8+k)* 23)/(0.8+k),N3(0)=0.246*1011-3.75*106*exp(0.28k)*(2.23_exp(-2* k3),N4(0)=exp(-0.28k)*1011/(9.028-4.06*exp(-2*k3)-1.22*106)/(0.724+0.325*exp(-2*k3),年最大捕捞量： M=38.87 (万吨)最佳捕捞系数:k=17.75N1(0)=11.9(