泛函分析 孙炯版答案 第四章.pdf

1 m f SK5 1 X Banach m G X 4f m T d G k m m k 5 f K T X m k 5 f T v k Tk kTk 2 x1 x2 xn X k k 5 1 2 n K p K L y 3 X 3 5 f v 1 f xk k k 1 n 2 kfk M 1 2 n K k n X k 1 k k Mk n X k 1 kxkk 3 X 5D m f X k 5 K 3 x0 X f x0 6 0 X N x0 p E N f m 4 X 5D m x y X e f X k f x f y y x y 5 y 1 p lp lq 1 p 1 q 1 f lp 3 a ai lq f x X i 1 aixi x xi lp kfk kak 6 aqu1 5 K y l1 l C0 l1 C0 l u N f m 7 e 3 lp 5 f f 1 T x1 x2 0 x1 x2 2 T x1 x2 1x1 2x2 k k 3 T x1 x2 x1 x2 xn 0 n 4 T x1 x2 nxn n 1xn 1 k k n 8 e 3 L2 5 f f 1 Tx t x t h h 2 Tx t a t x t h a t k h 3 Tx t 1 2 x t x t 9 L l l2 l2 5 f y1 y2 L x1 x2 yn x1 xn n2 1 2 1 m f y L k 5 f kLk 6 P n 1 1 n2 1 2 L 10 T l2 l2 T x1 x2 x1 x2 2 xn n T 11 X 5D m y X m X m 12 X 5D m 5 f A X X D A X 5 f B X X D B X XJ Bf x f Ax x X f X y A B k 5 f 13 e Tn T B X Y n 1 2 y kTn Tk 0 kT n T k 0 n 14 X Y D 5 m y e Y X 6 0 K B X Y 15 f t a b XJ u g t Lq a b 1 q k f t g t L a b K f t Lp a b 1 q 0 x y Mkxk kyk 2 0 x y kxk2 y f H 3 yf H x yf f x x H yf 6u f 18 H Hilbert m 3 H xn x0 yn w y0 y xn yn x0 y0 19 L Hilbert m H H k 5 f y L L 20 H1 1 H2 2 Hilbert m L H1 H2 k 5 f L H2 H1 y Lx 2 L y x 1 x H1 y H2 y 1 L k 5 f 2 L L 3 kLk kL k 21 L Hilbert m H k 5 f y e X N L N LL R L R LL 3 22 T Hilbert m H g f kk f y T 1 g f 23 A ES m H k 5 f XJ z x H Ax x 0 K A 0 u m d J XJ A g f K H E Ax x 0 x H K A 0 24 T L2 0 1 L2 0 1 d Tx t tx t y T g 25 T l2 l2d 1 2 3 0 0 3 4 T k g 26 T k 5 f kTk 1 y x Tx x x T x x 27 H E Hilbert m T H k 5 f e x H Re Tx x 0 K T T 28 T Hilbert m U k 5 f en U IO X e m n k Ten em Tem en K T g f 29 X Banach m fi X y x X P i 1 fi x F X P i 1 F fi 30 xk Banach m X y XJ uz f X P k 1 f xk K 3 M uz f X X k 1 f xk Mkfk 31 X Y Banach m T X Y 5 f q f Y x f Tx X k 5 y T Y y xn X xn x X Txn y Y u f X f Tx X 5k f Txn f Tx f Txn f y n d4 5 k f Tx f y f Y 2 Hahn Banach n Tx y l T 4 d4 n T Y 32 X Banach m p x X v 1 p x 0 2 0 p x p x 3 p x y p x p y x xn X xn x n limn p xn p x y 3 M p x Mkxk x X 33 y g Banach m X X 34 y k D 5 m g 4 1 m f 35 y m L1 a b 9 l1 g 36 xn n k lp n 1 2 3 K xn f u k lp supn 1kxnk z k limn n k k 37 y l1 f 7 r 38 X D 5 m M X 4 5f m y XJ xn M n x0 w lim n xn K x0 M 39 Tn Lp R 1 p n k arg k uz n x n I kk kx n lp du f x X k 1 f ek x n k X k 1 k k q 1e i k n X k 1 k q f x 6k f kk x n k k f k n X k 1 k q 1 p 1 p k f k n X k 1 k q 1 p K n X k 1 k q6k f k n X k 1 k q 1 p n X k 1 k q 1 q 6k f k 5 0 1 l k lq k kq6k f k 5 u lq f x X k 1 kxk x xk lp 7 w f x lp 5 H older k f x X k 1 k xk k kqkxkp 5 0 2 f lp d 5 0 1 5 0 2 k f k k kq 6 y 1 f l1 ek k z 0 0 1 0 0 l1 K x l1 L x X k 1 xkek d f Y5 f x X k 1 f ek xk X k 1 kxk k f ek k f ek 6k f kk ekk k f k k 1 2 k l u k l f x X k 1 kxk x xk l1 w f x l1 5 f x 6 X k 1 k xk 6 sup k 1 k X k 1 xk k k k x k1 f l1 K l1 l 2 f C0 ek k z 0 0 1 0 0 C0 K x C0 L x P k 1xkek d f Y5k f x X k 1 f ek xk X k 1 kxk k f ek e y k l1 n N E x n I x n k e i k k 6 n 0 k n 8 1 m f k arg k w x n C0 du f xn n X k 1 ke i k n X k 1 k ei ke i k n X k 1 k f xn 6k f kk x n k k f k k Pn k 1 k 6k f k k l1 u k l1 f x X k 1 x xk C0 w f x C0 5 f x 6 X k 1 k xk 6 sup k 1 xk X k 1 k k kl1k x k f C0 7 1 x x1 x2 y y1 y2 l2 x T y Tx y x1y2 x2y3 T y T y1 y2 y2 y3 2 x x1 x2 y y1 y2 l2 x T y Tx y 1x1y1 2x2y2 T y T y1 y2 1y1 2y2 3 x x1 x2 y y1 y2 l2 x T y Tx y x1y1 x2y2 xnyn T y T y1 y2 y1 y2 yn 0 4 x x1 x2 y y1 y2 l2 x T y Tx y nxny1 n 1xn 1y2 T y1 y2 0 0 ny1 n 1y2 8 1 x y L2 k Tx y Z x t h y t dt Z x t y t h dt x T y T y t y t h 2 x y L2 k Tx y Z a t x t h y t dt Z x t a t h y t h dt x T y 9 T y t a t h y t h 3 x y L2 k Tx y Z 1 2 x t x t y t dt Z x t y t y t 2 dt x T y T y t 1 2 y t y t 9 y x xn l2k kLxk kyk X n 1 Pn k 1xk 2 n4 1 2 X n 1 Pn k 1 xk 2 n3 1 2 X n 1 1 n2 1 2kxk L k 5 f kLk 6 P n 1 1 n2 1 2 du x x1 x2 xn l2 y y1 y2 yn l2 k x Ty X n 1 xn n2 n X k 1 yk X n 1 X k n xk k2 yn T x y T x z1 z2 zn zn P k n xk k2 10 x x1 x2 xn l2 y y1 y2 yn l2 Ty y1 y2 2 yn n l2 x Ty X k 1 xk Ty k X k 1 xk yk k X k 1 xk k yk T x y T x k xk k T T 11 y dimX KdimX dimX JX X dimJX dimX g d dimX 12 y x x kxk 1 e fx X K e fx f f Ax f X e fx X k 5 u f X d Bf X sup kxk 1 f Ax sup kxk 1 Bf x kBfk 1 Kd k K sup kfk 1 sup kxk 1 f Ax sup kxk 1 sup kfk 1 f Ax 10 1 m f 1 sup kfk 1 kBfk sup kfk 1 sup kxk 1 f Ax B k 5 f eAx 6 0 Kd Hahn Banach n 3f0 X kf0k 1 f0 Ax kAxk dk kAxk f0 Ax sup kfk 1 f Ax sup kxk 1 kAxk sup kxk 1 sup kfk 1 f Ax l A k 5 f 13 y k Tn T k k Tn T k k Tn T k k Tn T k 0 k Tn T k 0 n 14 y y b B X Y yn Y Cauchy x0 X kx0k 1 d K 5 1 3 3 f X f x0 kx0k f Tn B X Y Xe Tn x f x yn x X kTm Tnk kfkkym ynk Tn B X Y Cauchy d B X Y 5 3 T B X Y Tn T K kyn Tx0k kTnx0 Tx0k kTn Tk 0 yn Tx0 L Y g l B X Y 15 y 1 q n K fn t Lp a b 1 p 1 q 1 Lq a b 5 Xe Fn g Z b a g t fn t dt g Lq a b Fn Lp a b kFnk kfnkp f t L a b fn a e f q fn t g t f t g t L a b 11 dV n z g Lq a b k lim n Fn g Z b a g t f t dt 0 nZb a f t pdt o1 p M f t Lp a b q 1 p Kd kFnk kfnk M kfk M k f t Lp a b q I g t 1 L a b k f t L a b 16 y y X S e y X Hilbert m u Cauchy fn X 3 yn X fn x x yn fn fm yn ym n m 1 2 kyn ymk kfn fmk qd fn Cauchy yn X Cauchy du X Hilbert m 3 y 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L k 2 L L k k L k k L k 21 y 1 x N L KL x 0 l LL x 0 dx N LL x N LL KLL x 0 f L x L x x LL x x 0 0 dL x 0 l x N L n N L N LL 2 d n 5 3 8 R L N L N LL R LL 22 y T 3 k T g x y H k T 1y x T 1y TT 1x T T 1y T 1x TT 1y T 1x y T 1x d T 1 g f 23 y uE m d Ax x 0 x H Ax y 1 4 A x y x y A x y x y i A x iy x iy i A x iy x iy y Ax Ax 0 x H A 0 u m X 3 C A x y x0 y0 x0 y y0 x P u x y Au x0 y0 K Au u xx0 y0y yx xy 0 u R2 w A 6 0 A g f m H Ax y 1 4 A x y x y A x y x y Ax y 0 x y H l k A 0 A g f H E k A 0 14 1 m f 24 y w T 5 x L2 0 1 k kTxk Z 1 0 t2 x t 2 1 2 Z 1 0 x t 2 1 2 kxk T k 5 f x y L2 0 1 k Tx y Z 1 0 tx t y t dt Z 1 0 x t ty t dt x Ty Kdk 5 f f T T T g 25 T k x n l2k kTxk X n 3 n 2 1 2 X n 1 n 2 1 2 kxk q x n y n k Tx y X n 3 n n 0 1 0 2 X n 3 n n x T y T l2 l2 T y T 1 2 3 0 0 3 4 T g 26 y P M x Tx x N x T x x x N K 0 6 Tx x Tx x k Tx k2 k x k2 kTk2kxk2 kxk2 du kTk 1 Tx x N M n y M N d M N 27 y B T T K B T T B l B g f u x H k Bx x Tx x T x x Tx x x Tx 2Re Tx x 0 du kBk sup Bx x x H kxk 1 0 B 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