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文档简介

3 6模型解的分析和检验 始于现实世界并终于现实世界 数学建模工作 最终要得到现实问题的解答 求出模型的数学解以后 必须对解的意义进行分析 检验 需讨论以下类似问题 1 这个解说明了什么问题 2 是否达到了建模的目的 3 模型的适用范围怎样 例3 6 1 格列佛游记 中小人国的小人们为估算格列佛的食量 利用身体的相似性 建立了一个数学模型 4 所建模型是否合理 是否合乎实际 是否有原理性错误 常识性错误 W aH3W是人的体重 H是人的身高 检验 先确定参数a 新生婴儿身长约50厘米 重约3千克 代入模型得 得模型为W 24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重 身高模型 据此可计算得 身高为1 5米的儿童体重为W 1 5 81 千克 身高为2米的运动员体重为W 2 192 千克 检验模型是数学建模工作的重要环节 例3 6 2将一块石头扔进洞中估计洞的深度 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t和洞深h的关系模型 用到假设 k为比例系数 分析检验 1 检查模型的量纲是否正确 1石头下降时所受空气的阻力和速度成正比 2阻力产生的加速度也和速度正比 根据比例系数k的定义有 LT 2 k LT 1 k T 1 注意到exp kt 是无量纲量 可验证模型的量纲正确 2 检验模型是否与物理定律相符 若忽略空气阻力 即k 0 应有h 0 5gt2 验证模型是否与此物理定律相符 能否将k 0代入模型 参见讲义p59 3 参数的灵敏度分析 取参数k的值为0 05 克 秒 可算得 即 若回声在4秒听到 模型测算出洞深73 50米 又若参数k有微小变化 测算值会怎样变化 令k 0 045 参数的相对变化幅度为 0 045 0 05 0 05 10 计算得h2 h 4 73 98 洞深预测值相对变化幅度为 73 5 73 89 73 5 1 说明模型对空气阻力比例系数k不敏感 即对洞深预测影响不大 可忽略空气阻力 4 进一步分析空气的影响 若完全忽略空气的影响 有 h1 h 4 0 5gt2 0 5 9 81 42 78 48 米 绝对误差为78 48 73 50 5 米 结果分析说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响 模型中用到隐含假设 石头撞击地面的声音能立即听到 相对误差为 78 48 73 50 73 50 7 未考虑声音在空气中的传播速度 传播速度大约为330米 秒 则石头着地声音的传播时间大约为 取修正时间为t 4 0 223 3 777 秒 可得h 3 777 65 77 米 结论声速的影响远甚于空气阻力的影响 通过对模型的分析 检验 发现由于模型假设不合理 考虑因素不合适 造成模型不合理 需重新进行问题的前期分析工作 h 330 73 5 330 0 223 秒 1 量纲一致性检验 2 假设的合理性检验 3 对模型参数的灵敏度分析
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