主成分分析(修改后).doc

1.基于主成分分析的空气污染数据探究摘 要 本文讨论了有关分析处理空气污染数据的问题。 对于问题一比较样本协方差矩阵和样本相关矩阵主成分分析的结果差异。首先, 本文采用降维的思想，运用主成分分析法减少变量的个数，借助Matlab软件建立有关7项指标的协方差矩阵和样本相关矩阵，得出其特征值和特征向量；其次，分别计算各自主成分的贡献率，对于样本协方差矩阵，前三个主成分的贡献率分别为87.20%，95.33%和98.62%，对于样本相关矩阵，根据主成分个数提取原则,提取特征值大于1的成分，从而确定三种主成分,它们在反应样本数据信息中所占的贡献率分别为33.03%，19.76%和17.30%；从而发现样本相关矩阵的求解结果更符合实际。对于问题二选择三个或者更少的主成分反映原始数据的变化及原因。样本协方差矩阵的前三个主成分累计贡献率为98.62%，而样本相关矩阵的前三个主成分累计贡献率为70.09%；从而得出结论：样本相关矩阵的结论更符合实际，确定空气污染程度需根据原始数据综合前三个样本成分。考虑到各主成分之间存在的相互依赖关系，将模型进行推广，进一步运用回归分析法预测和控制空气污染的主要成分，得到的结果将更加贴近实际情况。关键词 主成分分析；降维思想；空气污染101、 问题重述 已知无问题背景的阐述某城市在42天中中午12点的7项空气污染数据：风速、太阳辐射、，完成以下问题： 问题一：分别利用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，比较二者结果差异；问题二：选择三个或者更少的主成分反映原始数据的变化并作出解释。2、 问题分析空气污染是现下较为严重且广受关注的热点问题，研究污染空气的主要因素及特点有助于控制空气污染源，为改善环境提供必要依据。由于题目所给数据较多，需要对其进行处理分析，因此本文将采取主成分分析法（1）分析影响空气污染的主要因素。 对于问题一：首先，利用Matlab求出样本协方差矩阵和样本相关矩阵；其次，分别计算这两个矩阵的特征值与特征向量，及相应的主成分贡献率与累计贡献率；比较结果分析其差异；对与问题二：根据累计贡献率的大小，选择前几个主成分代替原来的7个变量，使得信息损失最小，并对比所选取的主成分与原始数据对比做出合理解释。3、 模型假设1. 假设已知数据均真实有效，具有统计价值；2. 忽略其他对空气污染造成微小影响的空气成分。4、 符号说明1. 表格分页;2. 下标没有给出范围符号符号含义样本方差原始变量样本主成分样本协方差样本相关矩阵样本平均值协方差矩阵特征向量矩阵矩阵的特征值矩阵的特征向量五、模型建立与求解问题中的变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也给合理的分析问题和解决问题带来很大的困难；同时，这些变量之间存在一定的相关性，也使得这些变量所反映的信息在一定程度上有所重叠。为了减少变量的个数，同时提高问题研究的合理性，本文采用了降维的思想，利用主成分分析法来减少变量的个数，同时不会使数据反映的信息量有大的损失。5.1协方差矩阵主成分分析设段首空格是的协方差矩阵，的特征值与正交化特征向量分别为及，且的第个主成分为 （1）根据已有数据计算得样本的均值向量为排版已改,请参考未修改文档根据协方差矩阵计算公式 （2）利用Matlab软件代入数据可求得随机变量相应的样本协方差矩阵为(只写下三角)利用特征值计算公式代入数据可求得的特征值与对应单位正交化特征向量分别为此处排版可优化，,利用第个主成分的贡献率 （3）及前个主成分的累计贡献率 （4）代入数据计算得的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表1所示），可以看出，前三个标准化样本的累计贡献率已经达到98.62%，故只需提取前三个主成分即可：表表名跟表分开了1 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率贡献率(%)累计贡献率（%）1303.694187.2087.20228.31328.1395.33311.46743.2998.6242.54940.7399.3651.47030.4299.7860.54790.1699.9470.22430.06100.00记主成分向量为 由 ,知的前三个主成分分别为因此，用前三个主成分代替原来7个变量，信息损失量较小。进一步由与的相关系数 （5）计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如下表：表2 前三个主成分与各原始变量的相关系数主成分相关系数原变量0.10870.2576-0.0672-0.99940.0357-0.0014-0.1937-0.41810.46750.07400.06260.4111-0.1274-0.23690.9585-0.3521-0.9299-0.1041-0.0613-0.18240.4168由表可看出，与相关度较高，而由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，太阳辐射对空气污染的影响最大；与相关度较高，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，对空气污染的影响较大；与相关度较高，同理，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，对空气污染的影响较大。考虑前三个主成分的贡献率依次降低，得出结论：影响空气污染的最重要因素为太阳辐射。由于的方差较大，第一主成分主要由变量控制，所以所得结论与实际不符。排版已经优化5.2样本相关矩阵主成分分析利用标准化公式对原数据进行标准化处理得到一组新的数据：即令 （6）其中为的平均值，为的方差。此时，由于的协方差矩阵即为在此处键入回车,可看到排版问题的相关矩阵其中 （7） 为的协方差则运用Matlab软件代入数据计算得到样本相关矩阵为利用特征值计算公式代入数据可求得的特征值与单位正交化特征向量分别为同前利用第个主成分的贡献率 （8）及前个主成分的累计贡献率 （9）其中。计算的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表3所示）。表3 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率贡献率(%)累计贡献率（%）12.312233.0333.0321.383319.7652.7931.210917.3070.0940.728610.4180.5050.65659.3889.8860.54177.7497.6270.16682.38100.00可以看出，当特征值大于1时，提取前三个标准化样本的累计贡献率为70.09%。记主成分向量为 由 ,则的前四个主四个主成分为什么只写了三个?成分分别为排版已经优化由与的相关系数 （10）计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如表：表4 前三个主成分与各原始变量的相关系数主成分相关系数原变量-0.36810.32550.69360.3145-0.62020.25020.8307-0.0046-0.14670.592705123-0.43730.74520.23050.23500.4922-0.67140.17450.48840.35530.6072由表4可看出，与、相关度较高，近似是7个变量的等权重之和，反映了空气质量的综合指标，值越大，空气质量越差。与相关度较低，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，co对空气污染指标y2?的影响较小；与、相关度较高，同理，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，风速和HC对空气污染的影响较大。考虑前三个主成分的贡献率之和达到70.09%，因此综合考虑来，和来评判影响空气污染的重要指标。5.3结果分析（1）结果差异：段首空格当采用样本协方差矩阵求的主成分时，选取前三个主成分其样本贡献率可达98.62%；而采用相关矩阵的求解结果可以看出，根据特征值大于1的原则，选取前三个主成分，其贡献率仅为70.09%。与实际情况比较知采用协方差矩阵求解的结果不符合实际情况，因此在原变量数据方差较大的情况下，可采取相关矩阵求解的方法综合评判原变量与指标之间的关系。（2）近似是7个变量的等权重之和，反映了空气质量的综合指标，值越大，空气质量越差。综合考虑来，和来评判影响空气污染的重要指标。6、 模型评价与推广模型评价：优点：对给出的数据进行主成分分析，选择更少的变量反映原始变量，简化模型的建立；缺点： 新变量只是反映原变量所提供的绝大部分信息，在实际问题的研究中，采用这种分析方法会使结果出现一定的偏差。模型推广：在研究空气污染程度时，因为造成空气污染的因素繁多，所以可以利用主成分分析的方法对所给的空气污染数据进行处理，从中选出为数较少的变量来反映空气污染的主要原因，进一步用回归分析法对选出的主成分进行预报及控制，给出合理控制空气污染的方案；主成分分析法还广泛应用于涉及众多有关变量的领域，如葡萄酒的酿制。参考文献1范金城等，数据分析，北京：科学出版社，2002引用的地方?.附录字号错误计算协方差矩阵和相关矩阵程序x1=8 7 7 10 6 8 9 5 7 8 6 6 7 10 10 9 8 8 9 9 10 9 8 5 6 8 6 8 6 10 8 7 5 6 10 8 5 5 7 7 6 8;x2=98 107 103 88 91 90 84 72 82 64 71 91 72 70 72 77 76 71 67 69 62 88 80 30 83 84 78 79 62 37 71 52 48 75 35 85 85 86 79 79 68 40;x3=7 4 4 5 4 5 7 6 5 5 5 4 7 4 4 4 4 5 4 3 5 4 4 3 5 3 4 2 4 3 1 4 6 4 4 4 3 7 7 5 6 4;x4=2 3 3 2 2 2 4 4 1 2 4 2 4 2 1 1 1 3 2 3 3 2 2 3 1 2 2 1 3 1 1 1 5 1 1 1 1 2 4 2 2 3;x5=12 9 5 8 8 12 12 21 11 13 10 12 18 11 8 9 7 16 13 9 14 7 13 5 10 7 11 7 9 7 10 12 8 10 6 9 6 13 9 8 11 6;x6=8 5 6 15 10 12 15 14 11 9 3 7 10 7 10 10 7 4 2 5 4 6 11 2 23 6 11 10 8 2 7 8 4 24 9 10 12 18 25 6 14 5;x7=2 3 3 4 3 4 5 4 3 4 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2;x=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7;m=cov(x)v,d=eig(m);n=corrcoef(x)j,k=eig(n)2.基于主成分分析的径赛项目纪录探究摘 要 本文讨论了55个国家和地区1984年前7个女子径赛项目纪录的数据处理问题。对于问题一、二，首先，本文采用降维的思想，运用主成分分析法减少变量的个数，借助Matlab软件建立7种指标的样本相关矩阵，并计算其特征值和相应正交单位化特征向量，同时确定前两个标准化样本主成分及其累计贡献率为92.28%；对于问题三、四，由累计贡献率知第一主成分的值越小，该国家或地区运动员优秀程度越高；第二主成分的值越小，该国家或地区相对实力越强。进而利用Matlab求出第一主成分的得分，分析主成分数据知，原东德在52个国家的径赛项目纪录中成绩最好，得分为-3.5060。由于各主成分之间存在相互关联性，综合考虑7项纪录，将模型进行推广，运用回归分析法控制各个变量，得到的结果将更加贴近实际情况。关键词 主成分分析；降维思想；径赛项目纪录201、 问题重述已知问题背景阐述太简单世界上55个国家和地区1984年前在7个径赛项目上的女子记录：100m、200m、400m、800m、1500m、3000m、马拉松，完成以下问题： 问题一：对所给数据进行主成分分析，求出样本相关矩阵及它的特征值和相应正交单位化特征向量； 问题二：求出前两个标准化样本主成分及其累计贡献率； 问题三：解释问题二中的两个主成分的实际意义；问题四：求出第一主成分的得分，对各国家和地区进行排序，并与原始数据进行比较；2、 问题分析 题目中给出的数据较多，需要对数据进行处理，因此对数据作主成分分析（1）阐述过于简单。 问题一：利用Matlab求出样本相关矩阵，计算特征值与相应正交单位化特征向量； 问题二：基于问题一，写出前两个样本主成分及累计贡献率； 问题三：根据题意，解释两个主成分的实际含义； 问题四：求出第一主成分的得分，与原始数据进行比较；3、 模型假设1.所给数据均真实有效，具有统计价值；2.其他径赛项目成绩不计入得分情况。四、符号说明表分页并且下标的范围未给出符号符号含义样本方差原始变量样本主成分样本相关矩阵样本平均值特征向量矩阵矩阵的特征值矩阵的特征向量?第一主成分得分五、模型建立与求解5.1样本相关矩阵主成分分析利用标准化公式对原数据进行标准化处理得到一组新的数据：即令 （1）其中为的平均值，为的方差。此时的协方差矩阵即为键入回车,可以看到排版问题的相关矩阵其中 （2）随机变量的相应的相关矩阵为(只写下三角)利用特征值计算公式代入数据可求得的特征值与单位正交化特征向量分别为同前5.2前两个标准化样本主成分记主成分向量为 由 ,知前两个标准化样本主成分为其中第一个主成分贡献率为前两个主成分累计贡献率为5.3前两个主成分的意义计算出前两个主成分与各原始变量的相关系数如下表：表1 前两个主成分与各原始变量的相关系数主成分相关系数原变量0.88740.39630.88040.43380.91950.19930.9267-0.12560.9375-0.29150.9371-0.28090.8843-0.2986由表可知与、的相关度较高，与相关度较高。实际上，第一个主成分近似于各变量的等权重之和，它反应了各个国家和地区的运动员的优秀程度，其优秀程度由100m、200m、400m、800m、1500m、3000m和马拉松这7个指标共同决定，值越小，运动员优秀程度越高，则七项指标的值也越小；第二个主成分用以度量个国家和地区在各竞赛项目上的相对实力，值越小，相对实力越强，在100m、200m、800m项目上所用时间越少，其国家或地区的相对实力越强段首加空格。5.4主成分得分及排序表2 各个国家第一主成分得分情况表表分页国家得分()名次原东德-3.50601俄罗斯-3.46482美国-3.33593捷克斯洛伐克-3.05374原西德-2.92585英国-2.78326波兰-2.67217加拿大-2.60818芬兰-2.18189意大利-2.139610澳大利亚-2.093511诺马尼亚-2.029912法国-1.892113瑞典-1.827714荷兰-1.794415新西兰-1.511216比利时-1.509917挪威-1.483118匈牙利-1.477219奥地利-1.380320瑞士-1.346721爱尔兰-1.117322丹麦-1.116323中国台北-0.499924肯尼亚-0.430825西班牙-0.355626葡萄牙-0.224327以色列-0.142928巴西-0.118129墨西哥-0.062830日本-0.059131哥伦比亚0.141832百慕大0.388233朝鲜0.462434阿根廷0.527535智利0.547936中国0.641437希腊0.815938印度1.014739韩国1.234140卢森堡1.301941土耳其1.608442菲律宾1.640643缅甸1.682344泰国1.953645新加坡1.970446印度尼西亚2.112747多米尼加共和国2.295948马来西亚2.329249哥斯达黎加2.619650危地马拉3.227951巴布亚新几内亚3.981452毛里求斯4.234453库克岛6.077854西萨摩亚8.334155结论：第一个主成分近似于各变量的等权重之和，它反应了各个国家和地区的运动员的优秀程度，其优秀程度由100m、200m、400m、800m、1500m、3000m和马拉松这7个指标共同决定，第一主成分值越小，运动员优秀程度越高，则七项指标的值也越小。六、模型评价与推广模型评价：优点：（1）对给出的数据进行主成分分析，选择更少的变量反映原始变量，简化模型的建立；缺点： 新变量只是反映原变量所提供的绝大部分信息，在实际问题的研究中，采用这种分析方法会使结果出现一定的偏差；模型推广：衡量某个国家和地区的径赛成绩的好坏，因为相应的变量种类繁多，所以可以采用主成分分析的方法，对所给的数据进行选择来反映原始数据的大部分信息；主成分分析法还广泛应用于涉及众多有关变量的领域，如葡萄酒的酿制等。参考文献1范金城等，数据分析，北京：科学出版社，2002.附录1.计算相关矩阵程序x1=11.61 11.20 11.43 11.41 11.46 11.31 12.14 11.00 12.00 11.95 11.60 12.90 11.96 11.09 11.42 11.79 11.13 11.15 10.81 11.01 11.00 11.79 11.84 11.45 11.95 11.85 11.43 11.45 11.29 11.73 11.73 11.96 12.25 12.03 12.23 11.76 11.89 11.25 11.55 11.58 12.25 11.76 11.13 11.81 11.44 12.30 11.80 11.16 11.45 11.22 11.75 11.98 10.79 11.06 12.74;x2=22.94 22.35 23.09 23.04 23.05 23.17 24.47 22.25 24.52 24.41 24.00 27.10 24.60 21.97 23.52 24.05 22.39 22.59 21.71 22.39 22.13 24.08 24.54 23.06 24.28 24.24 23.51 23.57 23.00 24.00 23.88 24.49 25.78 24.96 24.21 25.08 23.62 22.81 23.13 23.31 25.07 23.54 22.21 24.22 23.46 25.00 23.98 22.82 23.31 22.62 24.46 24.44 21.83 22.19 25.85;x3=54.50 51.08 50.62 52.00 53.30 52.80 55.00 50.06 54.90 54.97 53.26 60.40 58.25 47.99 53.60 56.05 50.14 51.73 48.16 49.75 50.46 54.94 56.09 51.50 53.60 55.34 53.24 54.90 52.01 53.73 52.70 55.70 51.20 56.10 55.09 58.10 53.76 52.38 51.60 53.12 56.96 54.60 49.29 54.30 51.20 55.08 53.59 51.79 53.11 52.50 55.80 56.45 50.62 49.19 58.73;x4=2.15 1.98 1.99 2.00 2.16 2.10 2.18 2.00 2.05 2.08 2.11 2.30 2.21 1.89 2.03 2.24 2.03 2.00 1.93 1.95 1.98 2.07 2.28 2.01 2.10 2.22 2.05 2.10 1.96 2.09 2.00 2.15 1.97 2.07 2.19 2.27 2.04 1.99 2.02 2.03 2.24 2.19 1.95 2.09 1.92 2.12 2.05 2.02 2.02 2.10 2.20 2.15 1.96 1.89 2.33;x5=4.43 4.13 4.22 4.14 4.58 4.49 4.45 4.06 4.23 4.33 4.35 4.84 4.68 4.14 4.18 4.74 4.10 4.14 3.96 4.03 4.03 4.35 4.86 4.14 4.32 4.61 4.11 4.25 3.98 4.35 4.15 4.42 4.25 4.38 4.68 4.79 4.25 4.06 4.18 4.01 4.84 4.60 3.99 4.16 3.96 4.52 4.14 4.12 4.07 4.38 4.72 4.37 3.95 3.87 5.81;x6=9.79 9.08 9.34 8.88 9.81 9.77 9.51 8.81 9.37 9.31 9.46 11.10 10.43 8.92 8.71 9.89 8.92 8.98 8.75 8.59 8.62 9.87 10.54 8.98 9.98 10.02 8.89 9.37 8.63 9.20 9.20 9.62 9.35 9.64 10.46 10.90 9.59 9.01 8.76 8.53 10.69 10.16 8.97 8.84 8.53 9.94 9.02 8.84 8.77 9.63 10.28 9.38 8.50 8.45 13.04;x7=178.52 152.37 159.37 157.85 169.98 168.75 191.02 149.45 171.38 168.48 165.42 233.22 171.80 158.85 151.75 203.88 154.23 155.27 157.68 148.53 149.72 182.20 215.08 156.37 188.03 201.28 149.38 160.48 151.82 150.50 181.05 164.65 179.17 174.68 182.17 261.13 158.58 152.48 145.48 145.48 233.00 200.37 160.82 151.20 165.45 182.77 162.60 154.48 153.42 177.87 168.45 201.08 142.72 151.22 306.00;x=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7;m=cov(x)v,d=eig(m);n=corrcoef(x)j,k=eig(n)2.计算各个国家得分程序x1=11.61 11.20 11.43 11.41 11.46 11.31 12.14 11.00 12.00 11.95 11.60 12.90 11.96 11.09 11.42 11.79 11.13 11.15 10.81 11.01 11.00 11.79 11.84 11.45 11.95 11.85 11.43 11.45 11.29 11.73 11.73 11.96 12.25 12.03 12.23 11.76 11.89 11.25 11.55 11.58 12.25 11.76 11.13 11.81 11.44 12.30 11.80 11.16 11.45 11.22 11.75 11.98 10.79 11.06 12.74;x2=22.94 22.35 23.09 23.04 23.05 23.17 24.47 22.25 24.52 24.41 24.00 27.10 24.60 21.97 23.52 24.05 22.39 22.59 21.71 22.39 22.13 24.08 24.54 23.06 24.28 24.24 23.51 23.57 23.00 24.00 23.88 24.49 25.78 24.96 24.21 25.08 23.62 22.81 23.13 23.31 25.07 23.54 22.21 24.22 23.46 25.00 23.98 22.82 23.31 22.62 24.46 24.44 21.83 22.19 25.85;x3=54.50 51.08 50.62 52.00 53.30 52.80 55.00 50.06 54.90 54.97 53.26 60.40 58.25 47.99 53.60 56.05 50.14 51.73 48.16 49.75 50.46 54.94 56.09 51.50 53.60 55.34 53.24 54.90 52.01 53.73 52.70 55.70 51.20 56.10 55.09 58.10 53.76 52.38 51.60 53.12 56.96 54.60 49.29 54.30 51.20 55.08 53.59 51.79 53.11 52.50 55.80 56.45 50.62 49.19 58.73;x4=2.15 1.98 1.99 2.00 2.16 2.10 2.18 2.00 2.05 2.08 2.11 2.30 2.21 1.89 2.03 2.24 2.03 2.00 1.93 1.95 1.98 2.07 2.28 2.01 2.10 2.22 2.05 2.10 1.96 2.09 2.00 2.15 1.97 2.07 2.19 2.27 2.04 1.99 2.02 2.03 2.24 2.19 1.95 2.09 1.92 2.12 2.05 2.02 2.02 2.10 2.20 2.15 1.96 1.89 2.33;x5=4.43 4.13 4.22 4.14 4.58 4