水文统计的基本方法.ppt

第三章水文统计的基本方法 第三章水文统计的基本方法 第一节概述第二节概率 频率 重现期第三节随机变量及其频率分布第四节样本审查与相关分析第五节频率计算 教学内容 一 水文统计的任务 基本概念 二 频率计算三 相关分析 教学要求 了解水文统计的任务 掌握水文统计的基本概念 掌握频率计算和分析方法 掌握直线简相关的计算法和图解法 第三章水文统计的基本方法 第三章水文统计的基本方法第一节概述 第一节概述 教学内容 一 水文现象的统计规律二 水文统计及其任务教学要求 了解水文现象的统计规律及水文统计的任务 一 水文现象的统计规律水文现象是一种自然现象 它具有必然性的一面 也具有偶然性的一面 偶然现象也称随机现象 偶然现象仍然是有规律的 一般称为统计规律 二 水文统计及其任务数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论 而由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为数理统计学 概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则称为水文统计 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化特性 并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义下的定量预估 以满足工程规划 设计 施工以及运营期间的需要 第一节概述 第三章水文统计的基本方法第二节概率 频率 重现期 教学内容 一 概率二 频率三 重现期教学要求 掌握概率 频率和重现期的概念 掌握频率和概率的联系和区别 掌握频率和重现期的关系 第二节概率 频率 重现期 一 概率 一 随机试验与随机事件1 随机试验 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先知道实验所有可能出现的结果或范围 每次试验之前无法确定究竟哪种结果会出现 2 随机事件随机试验中所有可能出现或不可能出现的事情 称之为事件 第二节概率 频率 重现期 事件按照其发生的可能性大小分为三类 1 必然事件 即在一定条件下肯定会发生的事件 2 不可能事件 即在一定条件下肯定不会发生的事件 3 随机事件 即在一定的条件情况下有可能发生 也有可能不发生的事件 第二节概率 频率 重现期 二 概率1 定义 概率就是用来描述某一随机事件发生可能性大小的数量指标 2 随机事件的概率计算公式式中P A 在一定条件下随机事件A发生的概率 n 在试验中所有可能出现的结果总数 m 在试验中属于事件A的结果数 0 m n 0 P A 1P A 0 P A 1 3 1 不可能事件 必然事件 第二节概率 频率 重现期 例 箱子里有黄球4个 白球1个 每次摸到白球的概率为 3 2 5 0 0 5 例 某条河流某断面的流量出现大于等于20m3 s的概率为n 0 1 简单随机事件 复杂随机事件 不知道 第二节概率 频率 重现期 二 频率1 频率计算公式 设随机事件A在n次随机试验中 实际出现了m次 则称为随机事件A在n次试验中出现的频率 例 随机事件A 某条河流某断面出现大于等于20m3 s的流量 1 做随机实验两次 分别测得流量为5 1m3 s 16m3 s 2 做随机实验三次 分别测得流量为5 1m3 s 16m3 s 21m3 s 3 2 第二节概率 频率 重现期 2 频率和概率的区别和联系区别 概率是抽象数 是个理论值 频率是具体数 是个经验值 联系 频率随实验次数的增多而逐渐稳定 并趋近于概率 频率越接近概率0 5 表3 1掷币实验出现正面的频率 第二节概率 频率 重现期 三 重现期1 定义 所谓重现期 是指某随机事件在长期过程中平均是多少年比现一次 称为 多少年一遇 用字母T表示 2 根据研究问题的性质不同 频率P与重现期T的关系有两种表示方法 1 在研究暴雨洪水问题时 一般设计频率P 50 则 式中 T 重现期 年 P 频率 年 第二节概率 频率 重现期 例 P 0 1 则P 5 则T 20年二十年一遇的洪水 2 在研究枯水问题时 一般设计频率P 50 则例 P 75 则P 80 则P 20 则 T 1000年千年一遇的洪水 T 5年五年一遇的洪水 T 4年四年一遇的枯水 T 5年五年一遇的枯水 第二节概率 频率 重现期 第三章水文统计的基本方法第三节随机变量及其频率分布 上节内容提问 1 频率和概率的区别和联系是什么 答 区别 概率是抽象数 是个理论值 频率是具体数 是个经验值 联系 频率随实验次数的增多而逐渐稳定 并趋近于概率 2 频率P与重现期T的关系如何 答 在研究暴雨洪水问题时 在研究枯水问题时 第三节随机变量及其频率分布 教学内容 一 随机变量二 随机变量的频率分布三 随机变量的统计参数四 抽样误差教学要求 了解随机变量及其分类 掌握频率曲线 随机变量统计参数的含义和计算方法 对抽样误差的定义和计算公式有一定的了解 一 随机变量1 定义 1 随机变量 将随机实验的结果用一个变量表示 其取值随每一次实验不同而不同 且每一个取值都对应一定的可能性 这种变量就称为随机变量 2 总体 在数理统计中 把随机变量所取数值的全体称为总体 3 样本 从总体中任意抽取的一部分称为样本 4 样本容量 样本的项数称为样本容量 2 类型 随机变量可分为两大类型 1 离散型随机变量 2 连续型随机变量 第三节随机变量及其频率分布 二 随机变量的频率分布1 离散型随机变量的概率分布随机变量各个取值与其概率之间的一一对应关系 称为随机变量概率分布或分布律 离散型随机变量X的概率分布可表示为P X xi pi i 1 2 3 5 也可用表格或图来表示 离散型随机变量及其概率分布表 第三节随机变量及其频率分布 2 连续型随机变量的频率分布对于连续型随机变量 无法研究个别值的概率 只能研究某个区间的概率 或是研究随机变量X取值大于或等于某一数值的概率分布 即P X xi 有时也研究X的取值小于等于某值的概率 即P X xi 后面二者可以相互转换 水文统计中常用X xi的概率及其分布 另外 在水文上遇到的都是样本资料 通常要用样本的频率分布规律去估计总体的概率分布规律 所以重点研究随机变量X xi的频率分布 第三节随机变量及其频率分布 例3 1 已知某雨量站1935 1998年共64年的年降水量 如表3 2所示 试分析该样本系列的频率分布规律 表3 2某站年降水量 单位 mm 表3 3某站年降水量分组统计 4 64 0 047 100 图3 1某站年降水量频率分布直方图 频率密度图 年降雨量x mm 频率密度pi x 10 4 mm 根据表3 3中 栏和 栏绘成 第三节随机变量及其频率分布 累积频率p 年降雨量x mm 图3 2某站年降水量累积频率分布图 根据表3 3中 栏绘成 简称频率曲线 第三节随机变量及其频率分布 三 随机变量的统计参数 一 算术平均数表示样本系列的平均情况 反映系列总体水平的高低 二 均方差和变差系数1 均方差均方差则表示系列中各个值相对于均值的离散程度 例 甲系列 10 30 50乙系列 1 30 59 3 6 第三节随机变量及其频率分布 3 7 均方差的计算公式为代入以上公式得例 甲1系列5 20 35乙1系列1985 2000 2015 说明该两系列各值相对均值的离散程度相同吗 第三节随机变量及其频率分布 2 变差系数CV 离差系数 可比较均值不等的系列的离散程度 计算公式为式中 ki为模比系数 代入以上公式得 3 8 第三节随机变量及其频率分布 三 偏差系数Cs 偏态系数 反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称 偏态 程度的一个参数 计算式为 Cs 0 正态分布 随机变量在均值两边对称分布 Cs 0 正偏分布 取值大于均值的机会比取值小于均值的机会少 Cs 0 负偏分布 取值大于均值的机会比取值小于均值的机会多 愈大 随机系列不对称的程度愈大 3 9 第三节随机变量及其频率分布 例 甲21 2 10 18 19乙21 10 12 13 14丙26 7 8 10 19 正态分布 负偏 正偏 第三节随机变量及其频率分布 例3 2 某站有1957 1980年共24年的年降水量资料如表3 4中 栏 经审查其代表性较好 试计算该样本资料的统计参数 年降水量均值为年降水量变差系数为年降水量偏差系数为 第三节随机变量及其频率分布 四 抽样误差用一个样本的统计参数来代替总体的统计参数是存在一定误差的 这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的 与计算误差不同 称为抽样误差 抽样误差一般随样本的均方差 变差系数及偏差系数的增大而增大 随样本容量的增大而减小 当总体为皮尔逊 型分布时 它们的计算公式为 3 10 3 11 3 12 第三节随机变量及其频率分布 第三章水文统计的基本方法第四节样本审查与相关分析 上节内容提问 1 什么叫总体 样本 样本容量 答 总体 在数理统计中 把随机变量所取数值的全体称为总体 样本 从总体中任意抽取的一部分称为样本 样本容量 样本的项数称为样本容量 2 水文计算中常用的频率曲线的频率的含义是什么 答 频率曲线的频率的含义是累积频率 即大于或等于某一数值的取值发生的频率 3 均值 变差系数和偏态系数的含义是什么 答 均值表示样本系列的平均情况 反映系列总体水平的高低 变差系数表示系列中各个值相对于均值的离散程度 偏态系数是反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称 偏态 程度的一个参数 3 均值 变差系数和偏态系数的含义是什么 答 均值表示样本系列的平均情况 反映系列总体水平的高低 变差系数表示系列中各个值相对于均值的离散程度 偏态系数是反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称 偏态 程度的一个参数 4 如何根据CS值来判断随机系列是否对称 如果一个系列不对称 如何根据CS值判断该系列中大于均值的数多还是小于均值的数多 答 Cs 0 随机变量在均值两边对称分布 Cs 0 偏态分布 如果一个系列不对称 Cs 0 取值大于均值的机会比取值小于均值的机会少 Cs 0 取值大于均值的机会比取值小于均值的机会多 5 抽样误差与样本容量的关系如何 答 抽样误差随样本容量的增大而减小 上节内容提问 第四节样本审查与相关分析 教学内容 一 样本资料的审查二 相关分析教学要求 了解样本资料的审查内容和方法 相关分析的概念和分类 掌握简单直线相关图解法和计算法 一 样本资料的审查 一 样本资料的可靠性审查与修正样本资料的可靠性 指样本资料的可靠程度 从一定意义上讲也就是样本资料是否存在着种种较大的误差或错误 审查内容 测验方法 测验成果 整编方法与邻近测站对比常用审查方法 对比法与上下游测站对比径流资料与降雨资料对比 第四节样本审查与相关分析 二 样本资料的一致性审查与还原样本资料的一致性 指样本资料前后是否是在同一条件下产生 气候因素在1 2百年变化不大审查内容 影响因素下垫面因素主要如果影响因素变了 就要进行还原计算 三 样本资料的代表性审查与展延样本资料的代表性 指样本的统计特性 如统计参数 能否很好地反映总体的统计特性 样本资料的代表性审查通常可由其他长系列的参证资料作对比分析推论 如分析审查资料的代表性较差 就要设法将样本资料系列扩展延长以提高系列的代表性 第四节样本审查与相关分析 二 相关分析 一 相关分析的基本概念相关的种类 1 根据变量之间相互关系的密切程度 变量之间的关系有三种情况 即完全相关 零相关 统计相关 2 根据相关的形式 可分为直线相关和曲线相关 3 根据相关变量的多少 可分为简单相关和复相关 第四节样本审查与相关分析 二 简单直线相关1 相关图解法设xi和yi代表两系列的观测值 共有n对 把对应值点绘于方格纸上 得到很多相关点 如果相关点的平均趋势近似直线 即可通过点群中间及点绘出相关直线 如图所示 第四节样本审查与相关分析 a a a Y a bx x y 相关图解法虽然简单明了 但目估定线可能会带来较大的偏差 第四节样本审查与相关分析 2 相关计算法相关计算法的直线相关方程的待定常数a b由观测点与直线拟合最佳 通过最小二乘进行估计 最后得到y倚x的回归方程 或x倚y的回归方程 式中 x y同步系列的平均值 x y同步系列的均方差 3 20 3 21 第四节样本审查与相关分析 相关系数r表示x y两系列间的密切程度 计算式为 3 19 式中 x y同步系列的模比系数 r 0零相关 1完全相关 函数相关 1统计相关 第四节样本审查与相关分析 三 相关分析的误差y依x回归线的均方误Sy与均方差两者具有下列关系x依y回归线的均方误Sx与均方差两者具有下列关系 3 24 3 25 第四节样本审查与相关分析 在相关分析计算中 应注意以下几点 1 相关变量在物理成因上必须有密切的内在联系 2 有10年以上同期观测资料 3 相关系数 0 8 且回归线的均方误Sy不大于均值的10 15 4 在插补延长资料时 最好不要超过实际幅度的50 第四节样本审查与相关分析 例3 6 资料同例3 5 表3 7中 栏 用相关计算法求相关直线方程 并将设计站年降水量系列延长 表3 7某设计站 参证站年降水量相关计算表 所以直线方程为y 1 078x 20 0 8 表明两变量间的关系比较密切 第四节样本审查与相关分析 第三章水文统计的基本方法第五节频率计算 上节内容提问 1 样本资料的审查包括哪三性 答 样本资料的三性审查包括可靠性 一致性 代表性 2 根据变量之间相互关系的密切程度 变量之间的关系可分为哪三种情况 答 可分为 零相关 完全相关和统计相关 3 如何根据相关系数r判断两变量间相互关系的密切程度 答 r o 零相关 完全相关 1 统计相关 愈大 相互关系愈密切 在相关分析计算中 应注意哪几点 答 1 相关变量在物理成因上必须有密切的内在联系 2 有10年以上同期观测资料 3 相关系数 0 8 且回归线的均方误Sy不大于均值的10 15 4 在插补延长资料时 最好不要超过实际幅度的50 上节内容提问 第五节频率计算 教学内容 一 概述二 经验频率曲线三 理论频率曲线四 现行频率计算方法一适线法教学要求 掌握水文分析计算中常用的经验频率的计算公式和经验频率曲线的绘制方法 了解理论频率曲线的概念 能够运用专用数表计算绘制 型理论频率曲线 掌握适线法的步骤 一 概述频率计算的实质内容就是在资料审查的基础之上 由水文样本资料系列的频率分布 或统计参数 去估计总体的概率分布 或统计参数 并以此对河流未来的水文情势作出较为科学的预估 为水利工程的规划设计 施工和管理运用提供合理的水文数据 二 经验频率曲线 一 经验频率曲线的概念经验频率曲线 是由实测资料绘制而成的 它是水文频率计算的基础 具有一定的实用性 第五节频率计算 二 经验频率计算目前我国水文计算上广泛采用的经验频率的计算公式 式中 p 随机变量取值大于或等于某值出现的累积频率 m 系列按大到小排序时 各值对应的序号 n 样本系列的容量 第五节频率计算 三 经验频率曲线的绘制 1 将样本资料系列由大到小排队 如图 2 计算各值的经验频率 累积频率 3 在频率格纸上点绘经验点 正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线 如图的 线 水文计算中常用的频率格纸 其横坐标的分划就是按把标准正态频率曲线拉成一条直线的原理计算出来的 如图的 线 4 日估过点群中心绘制经验频率曲线 第五节频率计算 某站年雨量经验频率曲线 第五节频率计算 四 经验频率曲线在应用中存在的问题由于经验频率曲线是目估定线 因此曲线的形状会因人而异 尤其在经验点分布较散时更是如此 若将曲线延长 则因无点子控制任意性更大 会直接影响设计成果的正确性 在分析水文规律的地区分布规律时 由于仅为一条曲线很难进行地区综合 为了克服经验频率曲线的上述缺点 使设计成果标准统一 便于综合比较 实际工作中常常采用数理统计中已知的频率曲线来拟合经验点 这种曲线人们习惯上称为理论频率曲线 三 理论频率曲线 一 理论频率曲线的概念水文计算中所谓的 理论频率曲线 是指具有一定数学方程的频率曲线 第五节频率计算 二 皮尔逊 型曲线简介1 皮尔逊 型曲线的概率密度函数皮尔逊 型概率密度曲线是一条一端有限 一端无限的不对称单峰 正偏曲线 如图所示 数学上常称伽玛分布 其概率密度函数为式中 的伽玛函数 三个参数 3 30 第五节频率计算 这三个参数与统计参数 Cv CS具有如下关系 对式 进行积分的P 型频率分布曲线的分布函数 3 31 3 32 第五节频率计算 2 皮尔逊 型频率曲线的应用式中 离均系数 是P 和CS的函数 有表可查 见附表1 KP 模比系数 是P 和CV的函数 见附表2 当CS和CV成一定的倍比时 可以直接查此表 3 33 第五节频率计算 附表1皮尔逊 型频率曲线的离均系数值表 P CS 第五节频率计算 附表2皮尔逊 型曲线模比系数KP值表 2 CS 2CV P cv 第五节频率计算 三 三个统计参数对P 型频率曲线的影晌1 均值对频率曲线的影响当参数cv和cs不变时 均值增大 曲线统一升高 反之 均值减小 曲线统一降低 2 变差系数对频率曲线的影响当参数和cs不变时 随着cv的增大 频率曲线的偏离程度也随之增大 曲线显得越来越陡 cv 0时 随机变量的取值都等于均值 此时频率曲线即为kp 1的一条水平线 3 偏态系数对频率曲线的影响当参数cv和不变时 正偏情况下 cs增大时 曲线变弯 即两端部上翘 中间下凹 Cs 0时 曲线变成一条直线 第五节频率计算 四 现行频率计算方法一适线法1 计算点绘经验频率点据2 估算统计参数初值 1 矩法 2 三点法3 适线 CS由于抽样误差一般较大 故通常不用公式