09-10实变函数试卷A.doc

出卷老师 王立伟 审卷老师 适用班级 数学06 教学班 王立伟1班 序号 姓名 自然班 学号 (实变函数)课程考试试卷（A）卷一、 填空题(32分)。1.设=(0,)，=(0,),=1,2 则，。2.点集E为闭集的充要条件是_。(写出一个即可)3.设E为可数点集，则mE=_。4.(Carathodory条件)设E,我们称E是L可测的，是指如果对任一点集T都有_。5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成_。6.若f(x)在E上可测，则|f(x)|在E上可测，但反之未必成立，试举例说明_。7.(L积分的绝对连续性)设f(x)在E上可积分，则对任何可测集AE，有_。8.(Jordan分解)在a,b上的任一有界变差函数f(x)都可表示为_。二、 叙述题(8分) 。9.请叙述Lebesgue控制收敛定理，并给出它的一个推论。三、 证明题（60分）10.设A是一个无穷集合，则必有，使，而可数。11.设E,若对任意的0,存在闭集FE，使得m（E-F）0,使对任何，都有则f(x)是a,b上的有界变差函数。15.设为E上可测函数，令,则当0,存在可测集，使而在上一致收敛于(4分)设是中 不收敛点的全体，则对任意，(因为上收敛)，所以 ，令得，所以在E上a.e. 收敛于 (不必有有界条件)。证毕。(10分)。 13.证明 对任意，由非负可知 。(4分) 因此 ， (8分) 即。证毕。 (10分)14.证明 对任意，因 ， 所以，(2分)对于a,b的任何分划， 则对应于分划的变差 = (8分)因此 即是a,b上的有界变差函数，证毕。 (10分)15.证明 令，所以 又在上，所以 故 (4分) 在上，且 ， 由Levi定理有 (6分) 所以 =即 =。证毕。 （10分）出卷老师 王立伟 审卷老师 适用班级 数学06 教学班 王立伟1班 序号 姓名 自然班 学号 安徽工程大学2008 2009学年第一学期(实变函数)课程考试试卷（B）卷考试时间 120分钟，满分100分要求：闭卷，开卷 ；答题纸上答题 ，卷面上答题 (填入)七、 填空题(32分)。1.设=0,1+, =1,2 ,。2.点集E为开集的充要条件是_。(写出一个即可)3.设E为0,1中的全体有理数，则=_。4.设AB=，则使成立的条件是_。5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成_。6.设f(x)在可测集E（mE0在a,b上处处成立，则也为a,b上的有界变差函数。15. 设为E上可测函数，令,则当+a.e.于E时，有 =. 出卷老师 王立伟 审卷老师 适用班级 数学06 教学班 王立伟1班 安徽工程大学2008 2009学年第一学期( 实变函数 )课程考试试卷（B）卷答案及评分标准十、 填空题(48=32分)。1.0,1,0,1 2. 3.04. 5.一列简单函数的极限函数，而且还可办到。6. 在E上可测7. 8.两个增函数之差十一、 叙述题(8分)9.设是可测集上的一列非负可测函数，则 (4分)举例 设 因为，所以又有 故得 所以 （8分）十二、 证明题(610=60分)。10.证明 令为的含有个元素的子集全体,则的所有有限子集作成的 集合=.取显然。 由于=a，从而=a，=a。证毕。 （10分）11.证明 设对任意，存在开区间，使， 且（在空间中取边长为的包含的开区间）（6分） 所以由的任意性得 （10分）12证明 因为则存在使在上收敛到 。（2分）设是不收敛到的点集。则 因此 （6分） 在上，收敛到，且是单调的。因此收敛到。即除去一个零集外，收敛于，就是收敛到 。证毕。 （10分）13. 证明 由引理， 故可积，所以可积。证毕。 (10分)14.证明 对于a,b作分划， 则对应于分划的变差 = 。 (8分)因此 即是a,b上的有界变差函数，证毕。 (