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、 . 我们打败了敌人。 我们把敌人打败了。第75课 排列与组合考试目标 主词填空1.处理排列、组合的综合问题，一般的思想方法是先选元素(即分组)后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”.通过解题训练，要注意积累分类和分步的基本技能.2.对于有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑分类或分步，或交替使用两个原理；也可以先不考虑约束条件，然后排除不符合条件的情况获得结果.3.解排列、组合综合问题的常用技巧是：(1)画格子，坐位置；(2)先组后排；(3)先分后合；(4)先排后插；(5)概率法等等.题型示例 点津归纳【例1】 10件不同厂生产的同类产品.(1)在商品评选会上，有两件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法?(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法?【解前点津】 本题是既可以用排列解答、又可以用组合解答的应用题，请读者注意总结两种方法的异同.【规范解答】 (1)10件商品，除去不能参加评选的两件商品，剩下8件，从中取出4件进行排列，有A=1 680(或CA)(种).(2)分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法；再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，共有AA=50 400(或CA)(种).【解后归纳】 本题是带有限制条件的基本类型的排列组合问题，它属于所取出的元素中，某些元素必在内或不在内的排列组合问题.【例2】 某车间有9名工人，其中有2人既能当车工又能当钳工；有3人只能当车工；有4人只能当钳工，现在要抽调3名车工，3名钳工，有多少种抽法?【解前点津】 用集合的文恩氏图表示9名工人的分布如图所示，参照图形解答.【规范解答】 以2名既能当车工又能当钳工的工人为主要元素分成六类：例2图(1)不抽主要元素：CC（）抽主要元素1人当车工：CCC；（3）抽主要元素2人当车工：CCC；（4）抽主要元素1人当钳工：CCC；（5）抽主要元素2人当钳工：CCC；（6）抽主要元素1人当车工；1人当钳工：ACC.总共抽调方法为：CC+ CCC+ CCC+ CCC+ CCC+ ACC=92(种).【例3】a,b,c,d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法?【解前点津】用插空法和排除法.【规范解答】解法一 先排c,d,e有A种排法.在c,d,e三个人之间有2个空，再加上两端，共有4个空.a,b排在这4个空的位置上，a与b就不相邻，有A种排法.根据分步计数法原理，所求不同的排法共有：AA=72(种).解法二 把a,b当做一个人和其他三个在一起排列，再考虑a与b本身的顺序，有AA种排法.总的排法为A总的排法减去a与b相邻的排法即为a与b不相邻的排法.应为A-AA=72(种).【解后归纳】 插空法.首先将不受条件限制的元素排列起来，然后再在每两个元素之间(含这些元素的两端)插入不能排在一起的元素.排除法.用总的排列数减去“相邻”的排列数.【例4】 从12中人选出5人排成一列，若甲、乙必须在内，且甲、乙两人不相邻的排列有多少种?【解前点津】 先选后排.【规范解答】完成这个事件可分为三步：选出包含甲、乙的5人,因甲、乙两个在选出之内，只须从其余10人中再选3人即可有C种;将选出的3人全排列有A，故甲乙两人不相邻的排法CAA=8640(种).【解后归纳】 解排列、组合混合问题，除遵循“先组合，后排列”这个常规外，一定要掌握好取出的元素是准备下几步参加排列，还是本身就需排列.前者是组合问题，后者是排列问题，在分步时，根据限定条件，首先将准备参加排列的元素选出来，这是解决问题的关键所在.对应训练 分阶提升一、基础夯实1. 8本不同的书分给甲、乙、丙3人，其中有两人各得3本，一人得2本，则不同的分法共有( )A.560种 B.280种 C.1 680种 D.3 360种2.从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为( )A.120 B.240 C.180 D.603.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有( )A.A种 B.A种 C.A种 D.AC种4.设集合M=a|aN，1a10，A是M的三元素子集且至少有两个偶数元素，则这样的集合A的个数是( )A.60 B.100 C.120 D.1605.某单位有三个科室，为实现减员增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排一人，问共有多少种不同的安排方法( )A.75种 B.42种 C.30种 D.15种6.四个不同小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为( )A.AA B.CA C.CA D.CCC7.由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，百位数字最大，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，这样的五位数的个数为( )A.12 B.6 C.8 D.48.2名语文教师和2名数学教师分别担任某年级4个班的语文、数学课，每人承担两个班的课，不同的任课方法共有( )A.36种 B.12种 C.18种 D.24种9.从7名男队员和5名女队员选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是( )A.CC B.4CC C.2CC D.AA10.有编号为1，2，3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有( )A.9种 B.12种 C.15种 D.18种二、思维激活11.将数字1、2、3、4、5、6、7填入一排编号1、2、3、4、5、6、7的七个方格中，现要适当调换，但每次调换时，恰有四个方格中的数字不变，共有不同的调换方式种数为 .12.现有6名女学生，分配至甲、乙两个宿舍住宿，每个宿舍最多住4人，则不同的分配方法数是 .13. 3名驾驶员和6名空中小姐分别上三架不同型号的旅游直升机，每机一名驾驶员及2名空中小姐，则上机方法种数共有 种.(用数字作答)14.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种(用数字作答).三、能力提高15.从7个班中抽出10名学生去做某项工作，每班至少抽出1人，若只考虑各班抽出的人数，而不考虑具体人选，有几种不同抽法?16.已知函数y=f(x)的定义域为A=x|1x7,xN，值域为B=0，1.(1)试问这样的函数有多少个?(2)使定义域中恰有4个不同元素，对应的函数值都是1，这样的函数有多少个?17.在6名运动员中，选4人参加400米接力，其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种参赛方法?18.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合A=1,2,3,4,5,6，B=1，2，3，4，7，8，从AB和UAUB中各取两个数字，问：(1)能组成多少个比6 100大的四位数?(2)能组成多少个被5除余2的四位数?19.在10人组成的篮球队中，有5人只适于打锋，3人只适于打卫，2人打锋打卫均可，现选5个参加比赛(3锋2卫)，问教练共有多少种不同阵容的安排方法?(仅以锋、卫区分)第3课 排列与组合习题解答1.C =1 680.2.C 2CC+CCC=180或C.3.D插空法.空车位插入8辆车的9个空格，故有CA.4.A.M中有5个奇数，5个偶数，至少取2个偶数，CC+CC=60个5.B分两类：(1)返回两人来自同一科室，返回有A种，故有C=6；(2)两人来自不同的科室，返回有2+1=3,故有(CC)3=36种.共有42种. 6.B7.B C=6,选B.8.A C=36.9.C10.C 将编号为1，2，3的盒子分别放入1个，2个，3个小球，将剩下4个球放入三个盒子有四类情况，即“”、“”、“”、“”，故C=15.11.70 从7个方格选出3个方格，有C，3个方格的数字重排，但没有一个数字与先前数字相同有2种，故共有C270(种).12.50 共有CA+C=50(种)13.540 1将6名空中小姐分成3组:;23名驾驶员与空中小姐组合: ;3每一组选择不同型号的飞机:CCCA=540(种). 14.分三类：(1)A、B间有6垄地有3A种；(2)A、B间有7垄地有AA种；(3)A、B间有8垄地有A.故共有12种.15.解析一:由于只考虑抽出的人数而不考虑具体人选，并且每班至少一人，因此只需考虑除去每班1人外的剩余3个名额的抽取方法.而三个名额的分组形式为“1,1,1”或“2,1,0”或“3,0,0”.因此可分三类：第一类：若再从7个班中抽出3个班每班1人，有C种方法.第二类:若再从7个班中抽出2个班每班分别有2人或1人，有种方法.第三类:若再从7个班中抽出1个班，从中抽出3人，有C种方法.根据加法原理共有:N=C+P+C=84种方法.解析二:隔板法本题相当于将10个名额分成7组(每组至少1个名额)对应7个班.因此，可作如下考虑：10人形成9个相邻空位，欲分成7部分，需用6个“隔板”任意插入9个空位中，不同的插入方法共有：C=84(种).点评：本例由于只考虑人数，而不考虑具体人选.即元素之间不可区分，故才可用上述两种方法.16.(1)先对A中7个元素分为两组有C=63种，再将每次分组分别对应0，1有A种，故共有63=126个这样的函数.(2)从B中0，1分别在A中选元素入手，由(1)先有C种，第二步由0选只有1种，故共有C=35种.17.分两类：(1)甲跑第四棒时有A种；(2)甲不跑第四棒，选排第四棒C，选排第一棒C，余下的中间两棒在剩下的四人中任意排A，共有参赛的方法A=60+192=252种.点评：按条件先把特殊元素选出放在特殊的位置，再选出一般的元素，最后进行排列，即先选后排的原则，要做到合理的分类.18.AB=1,2,3,4,UAUB=5,6,7.(1) UAUB中取6，7，8中的一个作千位数，有C种；余下的三个数中任取一个有C种；在AB中任取两个有C种，把后面的3个数作百位、十位、个位有A种，所求四位数C=324(个).(2)被5除余2的末位数只能是2或7，所求的四位数有2C=216(个).19.把10人分成