「数学建模——原子弹爆炸的能量估计（医学参照）」.doc

原子弹爆炸的能量估计与量纲分析一、 问题提出1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一个新的时代。当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般人无法知道。两年后，美国政府首次公布了这次爆炸的录像带，但是仍未公布任何数据。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。Taylor建立数学模型的数据来源如下：表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)现在我们要在Taylor所使用的数据的基础上，运用量纲分析法建立计算原子弹爆炸能量的数学模型。二、 模型假设1. 原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的核反应过程。2. 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形式表现出来。不考虑其它（如辐射）的影响。3. 只考虑冲击波的动力学特征。4. 冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。三、 符号说明符号说明t时间（s）r半径（m）E能量（J）空气密度（kg/m3）P大气压强（Pa）四、 问题分析首先，我们从题目叙述中可以得知，因为缺乏详实的的数据资料，我们不能从从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程，从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量较困难。其次，爆炸产生的能量主要是以冲击波和辐射的方式向外扩散，这在录像当中是看不到的。一般地，爆炸产生的冲击播以爆炸点为中心呈球面向四周传播。爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波就会传的越远。而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇云”表现出来。据此我们我们可以推断出：爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关，与大气压强有关。从而可以通过量纲分析法确定这些量之间的函数关系。五、 模型建立与求解1) 模型建立根据上文得出结论，使用量纲分析法来尝试建立数学模型。根据Pi定理，设爆炸中，冲击波的半径r、时间t、能量E、空气密度、大气压强P满足的一般函数形式为： （1）由于爆炸是在瞬时间完成的，不考虑爆炸过程所需时间。故只考虑能量释放后的冲击波传播的物理过程。所以这是一个动力学问题，取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，则（1）中各个物理量的量纲分别是：r = L, t = T, E = L2MT-2, = L-3M, P = L-1MT-2由此得到量纲矩阵为：因为Rank（A）= 3齐次方程Ay = 0有m - r = 5 3 = 2 个基本解，即方程组有无穷多个解。设其中的两个基本解为：根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量 （2） （3）且存在某个函数F使得 （4）与（1）等价。取（4）的特殊形式，由（2）、（3）可得 （5） （6）于是 2) 数值求解现在问题简化为根据函数式（6）以及得到的数据来求出爆炸能量E的大小。 当中E的数量级远远大于t,P的数量级，所以可以认为，建议故可以得到更简单的函数式：，均为常数，作为的系数a两边取对数得; 求解过程：使用MATLAB对数据进行函数拟合：求出b=0.3883与量纲分析结果b=2/5一致同时可以求出=6.942所以可取1.25 kg/m3 即可推