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2015-2016学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共14小题,每小题3分,共42分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1sin50cos20cos50sin20=()ABCcos70Dsin702已知等差数列an中首项a1=2,公差d=1,则a5=()A5B6C7D83已知实数a,b满足ab,则下列不等式中成立的是()Aa3b3Ba2b2CDa2ab4若实数a,b1,2,则在不等式x+y30表示的平面区域内的点P(a,b)共有()A1个B2个C3个D4个5在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=1,b=,A=则B等于()ABC或D6若tan(+)=2,则tan=()ABC3D37已知正实数a,b满足+=1,则a+b的最小值为()A1B2C4D28在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=2,c=1,C=,则a=()AB1CD9已知an是一个无穷等比数列,则下列说法错误的是()A若c是不等于零的常数,那么数列can也一定是等比数列B将数列an中的前k项去掉,剩余各项顺序不变组成一个新的数列,这个数列一定是等比数列Ca2n1(nN*)是等比数列D设Sn是数列an的前n项和,那么S6、S12S6、S18S12也一定成等比数列10已知x,0y,则xy的取值范围()A(,)B(,)C(,)D(,)11如图,已知两灯塔A,D相距20海里,甲、乙两船同时从灯塔A处出发,分别沿与AD所成角相等的两条航线AB,AC航行,经过一段时间分别到达B,C两处,此时恰好B,D,C三点共线,且ABD=,ADC=,则乙船航行的距离AC为()A10+10海里B1010海里C40海里D10+10海里12若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x1,则函数f(x)=bx2+cx+a的图象可能为()ABCD13若钝角三角形的三边长和面积都是整数,则称这样的三角形为“钝角整数三角形”,下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是()A2,3,4B2,4,5C5,5,6D4,13,1514已知实数x,y满足x2+y2xy=2,则x2+y2+xy的取值范围()A(,6B0,6C,6D1,6二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分15在等差数列an中,若a6=1,则a2+a10=16若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值为17设Sn是数列an的前n项和,若a1=2,Sn=an+1(nN*),则a4=18已知锐角,满足,则+=19已知各项都不为0的等差数列an,设bn=(nN*),记数列bn的前n项和为Sn,则a1a2018S2017=20在平面四边形ABCD中,A=B=60,D=150,BC=1,则四边形ABCD面积的取值范围是三、解答题:本大题共5小题,共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21已知函数f(x)=(1)比较f(1)与f(2)的大小关系;(2)求不等式f(x)的解集22已知an是等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,a1+a2=b4,b1+b2=a2(1)求an与bn的通项公式;(2)记数列an+bn的前n项和为Tn,求Tn23已知函数f(x)=sin(x+)cosx(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f()=,求sin4的值24已知函数f(x)=x22x+t,g(x)=x2t(tR)(1)当x2,3时,求函数f(x)的值域(用t表示)(2)设集合A=y|y=f(x),x2,3,B=y|y=|g(x)|,x2,3,是否存在正整数t,使得AB=A若存在,请求出所有可能的t的值;若不存在,请说明理由25若正项数列an满足: =an+1an(aN*),则称此数列为“比差等数列”(1)请写出一个“比差等数列”的前3项的值;(2)设数列an是一个“比差等数列”(i)求证:a24;(ii)记数列an的前n项和为Sn,求证:对于任意nN*,都有Sn2015-2016学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共14小题,每小题3分,共42分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1sin50cos20cos50sin20=()ABCcos70Dsin70【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知及两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可化简求值得解【解答】解:sin50cos20cos50sin20=sin(5020)=sin30=故选:B2已知等差数列an中首项a1=2,公差d=1,则a5=()A5B6C7D8【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5项【解答】解:等差数列an中首项a1=2,公差d=1,a5=2+41=6故选:B3已知实数a,b满足ab,则下列不等式中成立的是()Aa3b3Ba2b2CDa2ab【考点】不等式的基本性质;不等式的综合【分析】根据已知,结合幂函数的单调性可判断A,举出反例可判断B,C,D,进而得到答案【解答】解:若ab,则a3b3,故A正确;当a=1,b=1时,满足ab,但a2=b2,故B错误;当a=2,b=1时,满足ab,但,故C错误;当a=0,b=1时,满足ab,但a2=ab,故D错误;故选:A4若实数a,b1,2,则在不等式x+y30表示的平面区域内的点P(a,b)共有()A1个B2个C3个D4个【考点】二元一次不等式(组)与平面区域【分析】根据题意,写出满足不等式x+y30的点的坐标即可【解答】解:a,b1,2,P(a,b)共有22=4个,分别是(1,1),(1,2),(2,1)和(2,2);满足不等式x+y30的点是(1,2),(2,1)和(2,2)共3个故选:C5在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=1,b=,A=则B等于()ABC或D【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理求解即可【解答】解:在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=1,b=,A=,由正弦定理可知:sinB=B=或故选:C6若tan(+)=2,则tan=()ABC3D3【考点】两角和与差的正切函数【分析】由条件利用两角和的正切公式,求得tan的值【解答】解:tan(+)=2,则tan=,故选:A7已知正实数a,b满足+=1,则a+b的最小值为()A1B2C4D2【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解:正实数a,b满足+=1,则a+b=(a+b)=2+2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号a+b的最小值为4故选:C8在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=2,c=1,C=,则a=()AB1CD【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求ab=1,结合a+b=2,联立即可解得a的值【解答】解:a+b=2,c=1,C=,由余弦定理c2=a2+b22abcosC,可得:1=a2+b2ab=(a+b)23ab=43ab,解得:ab=1,a(2a)=1,整理可得:a22a+1=0,解得:a=1故选:B9已知an是一个无穷等比数列,则下列说法错误的是()A若c是不等于零的常数,那么数列can也一定是等比数列B将数列an中的前k项去掉,剩余各项顺序不变组成一个新的数列,这个数列一定是等比数列Ca2n1(nN*)是等比数列D设Sn是数列an的前n项和,那么S6、S12S6、S18S12也一定成等比数列【考点】等比关系的确定【分析】利用等比数列的定义,分析4个选项,即可得出结论【解答】解:对于A,若c是不等于零的常数,那么数列can也一定是等比数列,首项为a1,公比为cq,正确;对于B,将数列an中的前k项去掉,剩余各项顺序不变组成一个新的数列,这个数列一定是等比数列,首项为ak+1,公比为q,正确;对于C,等比数列的奇数项仍是等比数列,正确;对于D,设Sn是数列an的前n项和,那么S6、S12S6、S18S12也一定成等比数列,不正确,比如1,1,1,1,故选:D10已知x,0y,则xy的取值范围()A(,)B(,)C(,)D(,)【考点】不等式的基本性质;不等式的综合【分析】根据已知结合不等式的基本性质,可得xy的取值范围【解答】解:0y,y0,又x,xy,即xy,xy(,),故选:D11如图,已知两灯塔A,D相距20海里,甲、乙两船同时从灯塔A处出发,分别沿与AD所成角相等的两条航线AB,AC航行,经过一段时间分别到达B,C两处,此时恰好B,D,C三点共线,且ABD=,ADC=,则乙船航行的距离AC为()A10+10海里B1010海里C40海里D10+10海里【考点】解三角形的实际应用【分析】求出ACD=,ACD中,由正弦定理可得乙船航行的距离AC【解答】解:ABD=,ADC=,BAD=CAD,ACD=ACD中,由正弦定理可得,AC=10+10海里,故选:A12若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x1,则函数f(x)=bx2+cx+a的图象可能为()ABCD【考点】函数的图象;二次函数的性质【分析】根据韦达定理和不等式的解集得到b=a,c=2a,a0,即f(x)=a(x1)2,故可判断【解答】解:关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x1,a0且=2+1, =21,即b=a,c=2a,a0,f(x)=bx2+cx+a=ax22ax+a=a(x1)2,故f(x)=bx2+cx+a的图象开口向下,且最大值为0,关于x=1对称,故选:C13若钝角三角形的三边长和面积都是整数,则称这样的三角形为“钝角整数三角形”,下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是()A2,3,4B2,4,5C5,5,6D4,13,15【考点】正弦定理【分析】设三角形的最大角为,则利用余弦定理可求cos,利用同角三角函数基本关系式可求sin,利用三角形面积公式可求三角形面积,逐一判断各个选项即可【解答】解:设三角形的最大角为,则:对于A,cos=,sin=,S=23=,不能;对于B,cos=,sin=,S=24=,不能;对于C,cos=,故三角形为锐角三角形,不符合条件;对于D,cos=,sin=,S=413=24,符合条件;故选:D14已知实数x,y满足x2+y2xy=2,则x2+y2+xy的取值范围()A(,6B0,6C,6D1,6【考点】二维形式的柯西不等式【分析】设x2+y2+xy=A,分别求得x2+y2和2xy,分别构造(x+y)20及(xy)20,解关于A的不等式,即可求得A的取范围【解答】解:设x2+y2+xy=A,x2+y2xy=2,两式相加可得,2(x2+y2)=2+A (1)两式相减得得:2xy=A2 (2)(1)+(2)2得:2(x2+y2)+4xy=2(x+y)2=3A20A,(1)(2)2得:2(xy)2=A+60,A6综上:A6,故选:C二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分15在等差数列an中,若a6=1,则a2+a10=2【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出a2+a10【解答】解:在等差数列an中,a6=1,a2+a10=a1+d+a1+9d=2(a1+5d)=2a6=2故答案为:216若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值为4【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,平移直线结合图象求出z的最小值即可【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:,由,解得A(1,2),由z=2x+y得:y=2x+z,结合图象直线y=2x+z过A(1,2)时,z最小,z的最小值是4,故答案为:417设Sn是数列an的前n项和,若a1=2,Sn=an+1(nN*),则a4=8【考点】数列递推式【分析】分别令n=1,2,3,由数列递推公式能够依次求出a2,a3,a4【解答】解:a1=2,an+1=Sn(nN*),a2=S1=2,a3=S2=2+2=4,a4=S3=2+2+4=8故答案为:818已知锐角,满足,则+=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由、(0,),利用同角三角函数的关系算出cos、sin的值,进而根据两角和的余弦公式算出cos(+)=,结合+(0,)可得+的值【解答】解:、(0,),满足,cos=,sin=由此可得cos(+)=coscossinsin=又+(0,),+=故答案为:19已知各项都不为0的等差数列an,设bn=(nN*),记数列bn的前n项和为Sn,则a1a2018S2017=2017【考点】数列的求和【分析】利用裂项求和,代入计算,即可得出结论【解答】解:设an=kd+b(k0,d0),则bn=(),Sn=(),a1a2018S2017=a1a2018()=a1a2018=2017,故答案为:201720在平面四边形ABCD中,A=B=60,D=150,BC=1,则四边形ABCD面积的取值范围是(,)【考点】解三角形【分析】把AB长度调整,两个极端分别为C,D重合,A,D重合分别计算两种极限前提下AB的长度,利用割补法求出四边形ABCD面积的取值范围【解答】解:平面四边形ABCD中,A=B=60,D=150,C=90当把AB长度调整,两个极端分别为C,D重合时,AB=BC=1;当A,D重合时,由正弦定理得=,解得AB=2;故AB的取值范围是(1,2),设AD=x,则AO=x,OAD=120四边形ABCD面积S=,OB=2,x(0,1),S(,)故答案为:(,)三、解答题:本大题共5小题,共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21已知函数f(x)=(1)比较f(1)与f(2)的大小关系;(2)求不等式f(x)的解集【考点】分段函数的应用【分析】(1)分别算出f(1)和f(2)的值,比较大小即可得出答案;(2)当x1时,解出x的范围;当x1时,解出x的范围,两者取并集【解答】解:(1)f(1)=3,f(2)=,f(1)f(2);(2)当x1时,f(x)=,1x2,当x1时,f(x)=x2,x,不等式f(x)的解集为x|1x2或x22已知an是等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,a1+a2=b4,b1+b2=a2(1)求an与bn的通项公式;(2)记数列an+bn的前n项和为Tn,求Tn【考点】数列的求和;数列递推式【分析】(1)设出公比和公差,根据等差、等比数列的通项公式,列出方程组求出公比和公差,再求出an、bn;(2)由(1)求出an+bn,利用分组求和法、等比、等差数列的前n项和公式求出Tn【解答】解:(1)设等比数列an的公比为q,等差数列bn的公差为d,由a1=b1=1得,an=1qn1,bn=1+(n1)d,由a1+a2=b4,b1+b2=a2得,解得d=1,q=3,所以an=3n1,bn=n;(2)由(1)得,an+bn=n+3n1,Tn=(1+30)+(2+32)+(n+3n1)=(1+2+n)+(30+32+3n1)=23已知函数f(x)=sin(x+)cosx(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f()=,求sin4的值【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象【分析】(1)由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式,由正弦函数的增区间求出f(x)的增区间;(2)由(1)化简f()=,由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出sin4的值【解答】解:(1)由题意得f(x)=sin(x+)cosx=,由得,函数f(x)的单调递增区间是;(2)由(1)得,f()=,=1=24已知函数f(x)=x22x+t,g(x)=x2t(tR)(1)当x2,3时,求函数f(x)的值域(用t表示)(2)设集合A=y|y=f(x),x2,3,B=y|y=|g(x)|,x2,3,是否存在正整数t,使得AB=A若存在,请求出所有可能的t的值;若不存在,请说明理由【考点】二次函数的性质;函数的值域【分析】(1)通过配方求出f(x)的值域;(2)求出集合A,通过讨论t的范围,求出集合B,解不等式求出t的值即可【解答】解:(1)f(x)=(x1)2+t1,x2,3,对称轴x=1,f(x)在2,3递增,x=2时,f(x)最小,f(2)=t,x=3时,f(x)最大,f(3)=t+3,f(x)的值域是t,t+3;(2)由(1)得:A=t,t+3,B即为|g(x)|的值域,AB=A,AB,g(x)=x2t,x2,3,假设存在正整数t符合要求,当12时,即1t4时,|g(x)|的值域是B=4t,9t,由4tt
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