基于球面三角学的球面并联机构位姿正解.docx

第 25 卷 第 6 期2003 年 6 月武汉理工大学学报JO URNAL OF W UHAN UN IVERS ITY OF TECHNOLO GYV o l. 25 N o. 6Jun. 2003文章编号: 167124431 (2003) 0620046204基于球面三角学的球面并联机构位姿正解何开明(武汉理工大学)摘 要:用球面三角学的方法求 3 自由度球面并联机构的位姿正解, 使其平面化。找出了能确定 Stew art 平台 3 自由度 运动的 2 个输出变量, 使求解工作大为简化。用消元法解决了一般 3 自由度球面并联机构的位姿正解问题。以正交 3 自由度球面并联机构为例, 进行实例分析, 导出了简洁的位姿正解显式解析式, 完全解决了该机构实时控制的问题。关键词:球面并联机构;位姿正解;球面三角;Stew art 平台中图分类号:TH 112文献标识码:A3 自由度球面并联机构是一种新型的机器人机构, 还可用作卫星跟踪随动装置, 灵捷眼及数控回转台等 需要结构紧凑且较大回转角的场合, 具有广泛的应用前景。吸引了国内外许多学者致力研究 1 8 。并联机构 的优点之一是其位姿反解同串联机构相比要简单得多。 其困难的问题是位姿正解 3、9 , 以至于有人把它称为 世界难题。 笔者用一种新的方法球面三角法, 解决了 3 自由度球面并联机构的位姿正解问题。1 输出变量的选定图 1 所示为 3 自由度球面并联机构的平面化简图 10、11 。图中的 C 1C 2C 3 表示该机构的平台。设: C 1C 2 = C 2C 3 = C 3C 1 = r, A 1B 1 = A 2B 2 = A 3B 3 = 1 , B 1C 1 = B 2C 2 = B 3C 3 = 2 , C 1C 2C 3 = 。它们都是已知的结构参数。图1 中, 1、2、3 分别是A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3 的倾角, 它们是已知的输入变量。该机构的位姿正解就是由已知的 1、2、3 确定平台 C 1C 2C 3 的位姿, 即求解能确定平台位姿的输出变量。因为是 3 自由度, 所以确定平台的位姿一般要 3 个输出变量。 例如 C 3 点的球面坐标 c3、c3 和直线 C 3C 2在 C 3 点的倾角 x 2。显然由输出变量 c3、c3、x 2 可完全确定平台的位姿。但是, 由 3 个输入变量求 3 个输出变 量的位姿正解十分困难。为了解决这个问题, 笔者用 2 个输出变量 x 1、x 2 取代 3 个输出变量 c3、c3、x 2 , 并把 A 3 点取在极点 S 11 上。 其中 x 1 为直线 B 3C 3 的倾角, 因为直线 A 3B 3 成为 直线, 所以 x 1 也就是直线 A 3B 3 至直线 B 3C 3 的夹角 11 , 如图 1 所示。用球面三角学的余弦定理和正弦定理可得出 10 sin c3 = sin B 3cos 2 + cos B 3 sin 2 cos x 1sin c3 = (-sin x 1 sin 2 cosB 3 + cos 2 sinB 3 cos B 3 - sin B 3 sin B 3 sin 2co s x 1 ) co s c3cos c3 = ( sin x 1 sin 2 sin B 3 + cos 2 co s B 3 cos B 3 - sin B 3 cos B 3 sin 2 cos x 1 ) co s c3因为 A 3 与极点 S 重合, 所以 B 3 = 90- 1 , B 3 = 3 - 180。 于是sin c3 = cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2 cos x 1(1)图 1 球面并联机构的平面化简图收稿日期: 2003203226.作者简介: 何开明 (19472) , 男, 副教授; 武汉, 武汉理工大学机电学院 (430070). 第 25 卷 第 6 期何开明: 基于球面三角学的球面并联机构位姿正解47sin c3 = ( sin x 1 sin 2 cos3 - co s 2 sin3 sin 1 + cos 1 sin 3 sin 2co s x 1 ) co s c3(2) cos c3 = -( sin x 1 sin 2 sin 3 + cos 2 cos 3 sin 1 - cos 1co s 3 sin 2 cos x 1 ) co s c3(3)又- 90c3 90, - 180c3 180 11 , 所以确定了 x 1 就可由式 (1) 式(3) 完全确定 c3、c3。这就是说, 以 x 1、x 2 为输出变量可完全确定 3 自由度 Stew art 平台的位姿。2位姿方程的建立同样用球面三角学的正弦定理和余弦定理可得sin c2 = sin c3 cos r + cos c3 sin r cos x 2sin c2 = m 2 co s c2 , cos c2 = n2 co s c2(4) sin B 2 = sin A 2 cos 1 + cos A 2 sin 1 cos 2sin B 2 = S 2 co s B 2 , cos B 2 = g 2 co s B 2(5)其中m 2 = -sin x 2 sin r cos c3 + cos r sin c3 cos c3 -sin c3 sin c3 sin r cos x 2(6)n2 = sin x 2 sin r sin c3 + cos r cos c3 cos c3 -sin c3 co s c3 sin r cos x 2(7)S 2 = -sin 2 sin 1 cos A 2 + cos 1 sin A 2 cos A 2 -sin A 2 sin A 2 sin 1 cos 2g 2 = sin 2 sin 1 sin A 2 + cos 1 cos A 2 cos A 2 -sin A 2 cos A 2 sin 1 cos 2。用柝杆法 11 可得cos 2 = sin B 2 sinc2 + cos B 2 cos c2 cos(B 2 - c2 )(8)即cos 2 = sin B 2 sin c2 + g 2n2 + s2m 2。 用式 (4) 式(7) 代入上式整理得T 2 sin r cos x 2 + N 2 sin r sinx 2 + M 2 = 0 (9) 同理可得T 1 sin r co s(x 2 + ) + N 1 sin r sin (x 2 + )M 1 = 0(10) 式中,M 2 = sin c3 cos r ( sin A 2 cos 1 + cos A 2 sin 1 cos 2 ) + g 2 cos r cos c3 cos c3 + S 2 cos r sin c3 cos c3 - cos 2。 用式 (1) 式(3) 代换得M 2 = - f 2 sin x 1 cos r sin 2 + cos x 1 cos r sin 2 ( sin 1 sin B 2 + e2 cos 1 ) + cos 2 cos r (cos 1 sin B 2 - e2 sin 1 ) - 1 , 式中, e2 = - sin 2 sin 3 , f 2 = sin 2 cos 3 , 而 sin B 2 则由式 (5) 给出。所以 M 2 是输出变量 x 1 的一元函数, 即M 2 = M 2 (x 1 )。同理可得: M 1 = M 1 (x 1 ) , N 1 = N 1 (x 1 ) , N 2 = N 2 (x 1 ) , T 1 = T 1 (x 1 ) , T 2 = T 2 (x 1 )。它们都是 x 1 的一元函数。因篇幅所限, 其具体算式不再列出。不难证明, 结构参数 r 与 满足 cos = cos r(1+ cos r)。3位姿正解式 (9)、式 (10) 联立可解得co s x 2 = (M 1N 1 - M 2N 1 cos + M 2T 1 sin ) L(11)sin x 2 = (M 2T 1 cos + M 2N 1 sin - M 1T 2 ) L(12) 式中L = sin r (T 2N 1 - N 2T 1 ) cos - (T 2T 1 + N 2N 1 ) sin (13) 因为 sin2x 2 + cos2x 2 = 1, 所以(M 1N 2 - M 2N 1 cos + M 2T 1 sin ) 2 + (M 2T 1 cos + M 2N 1 sin - M 1T 2 ) 2 = L 2(14)这是 x 1 的一元方程, 它可以变换为 y = tan (x 1 2) 的有理方程。4正解实例并联机构要投入实用, 必须解决实时控制的问题。 现在, 对国内外学者正在积极研究推进实用的正交三 自由度球面并联机构 5、8 用以上方法进行实例计算。设该机构的结构参数: r= 90, 1 = 2 = 90, A 1 = 0, A 1 = 90, A 2 = 0, A 2 = 90, 因为 cos = cos r(1+ cos r) = 0, 所以 = 90。由式 (1) 可得 sin c3 = cos x 1。这时M 1 = M 2 = 0, N 1 = sin x 1 sin 1 cos 3 co s c3 , N 2 = - sin x 1 sin 2 sin 3 co s c3 , T 1 = (cos 1 sin2x 1 + sin 1 sin 3 sin x 1 cos x 1 ) co s c3 , T 2 = (cos 2 sin2x 1 + sin 2 cos 3 sin x 1 cos x 1 ) co s c3。 由式 (13)、式 (14) 得T 1T 2 + N 1N 2 = 0(15)1) 当 sinx 1 0 时, 由式 (15) 可解得 tan x 1 = ab(16) 式中 a= cos 1 sin 2 cos 3 + sin 1 cos 2 sin 3 , b= sin 1 sin 2 sin 3co s 3 - cos 1 cos 2。而 x 1 = arctan ab。又 由式 (9) 得 tan x 2 = - T 2 N 2 = (cos 2 sin x 1 + sin 2 cos 3 cos x 1 ) sin 2 sin 3(17)2) 当 sin x 1 = 0 时, 可解得 x 1 = 0 和 x 1 = 180。48武 汉 理 工 大 学 学 报2003 年 6 月a) 当 x 1 = 0 时, c3 = 90, C 3 点与极点 S 重合。 因为 r= 90, 所以 c1 = c2 = 0, 又因为 2 = 90, 所以由式 (8) 可得 cos B 2 cos(B 2 - c2 ) = 0。同理可得 cos B 1 cos(B 1 - c1 ) = 0。输入输出变量都必须同时满足这 2 个方 程。 由这 2 个方程可得: cos B 2 = 0 , 解得 B 2 = 90, 这时 B 2 与极点 S 或 S 11 重合, 输入变量 2 = 0 或 180。 cos B 1 = 0, 解得 B 1 = 90, B 1 与 S 或 S 重合, 1 = 0 或 180。co s(B 2 - c2 ) = 0, 解得 B 2 - c2 = 90, 这时 C 2 与A 2 (0, 0) 重合, 或位于 (180, 0) 点。co s(B 1 - c1 ) = 0, B 1 - c1 = 90, C 1 与A 1 (90, 0) 重合或位(- 90, 0) 于点。由以上 4 解可归纳出平台的 2 种特殊位姿状态: (I )B 1、B 2 点与极点 S 或 S 重合, 平台可绕 S 点任意旋 转, 不受输入变量的控制。x 2、3 可为任意值。( ) 3 个输入变量任意变化, 但平台固定不动, 其 3 个顶点的坐 标分别为 C 1 (90, 0) , C 2 (0, 0) , C 3 (0, 90) 或 C 1 (- 90, 0) , C 2 (180, 0) , C 3 (0, 90)。b) x 1 = 180, c3 = - 90, C 3 与 S 重合。同理可得出平台的 2 种特殊的位姿状态: (I ) 平台绕 S 点任意旋 转, 不受输入变量的控制。 ( ) 平台 3 个顶点的坐标分别为 C 1 (- 90, 0) , C 2 (0, 0) , C 3 (0, - 90) 或 C 1 (90,0) , C 2 (180, 0) , C 3 (0, - 90)。 3 个输入变量任意变化, 但不能驱动平台, 没有输出。5结论以上, 笔者用球面三角学的方法解决了一般 3 自由度球面并联机构的位姿正解问题。这种方法使球面机 构平面化简单化, 方便易学, 便于实际应用。进一步实例分析, 对国内外学者正在积极研究推向实用的正交 3 自由度球面并联机构进行位姿分析, 导出了能由输入变量完全确定平台位姿的 2 个输出变量的显式解析表 达式 (16)、(17)。 这 2 个表达式不仅推导过程比文献 8 简捷得多, 而且表达形式也要简洁得多, 完全解决了 该机构实时控制的问题。笔者还用球面三角学的方法分析了该机构的特殊位姿状态, 确定了它的 2 种失控位 姿状态。 为避免该机构的失控提供了可靠的依据。参考文献 1 Go sso lin C, A ngeles J. 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M echan ism and M ach ine T heo ry, 2000, 35 (6) : 1257 1267.7 黄田, 曾 宪 菁, 曾 子 平, 等. 等 顶 锥 角 3 自 由 度 球 面 并 联 机 构 的 全 参 数 解 析 尺 度 综 合 J 1 机 械 工 程 学 报, 2000, 36 (8) : 15 9. 8 梅江平, 倪雁冰, 王 辉, 等. 三自由度正交球面并联机构姿态正解J 1 机械设计, 2002 (4) : 8 101 9 文福安, 杨 光 1 并联机器人机构概述J 1 机械科学与技术, 2000, 19 (1) : 69 721 10 李 璨 1 球面机械运动学M 1 武汉: 武汉工业大学出版社, 1997, 1 17. 11 何开明 1 三自由度球面并联机器人机构的边角关系J 1 武汉理工大学学报, 2002, 24 (7) : 54 571D irect Position Ana lysis of Spher ica l Para l lel M echan ism s Ba sed on Spher icsH e K aim ingAbstract:In th is paper, a new techn ique based on sp herics is develop ed to do direct po sition analysis of sp herical th ree2deg ree2 of2f reedom (32DO F) parallel m echan ism , m ak ing it change in to a p lanar one. F irst, tw o output variables are found, w h ich can第 25 卷 第 6 期何开明: 基于球面三角学的球面并联机构位姿正解49exactly determ ine the po sition of 32DO F Stew art p latfo rm. So the derivation is sim p lif ied. T hen the direct po sition analysis p roblem of general sp herical 32DO F parallel m echan ism is so lved. Examp le of the app lication of the techn ique to o rthogonal sp herical 32DO F parallelm echan ism is given. T he terse exp licit analytic exp ression s of the tw o output variables are derived. T hus the real tim e con tro l p roblem of the m echan ism is comp letely so lved.Key words: sp herical parallelm echan ism ; direct po sition analysis; sp herics; Stew art p latfo rmHe Ka im ing: A ssoc. P rof. , Schoo l of M echan ical & E lectrical Engineering, WU T , W uhan 430070, Ch ina.(上接第 34 页) 4 M artnPrez B , Zibara H , Hoo ton R D , et a l. A Study of the Effect of Ch lo ride B inding on Service L ife P rediction sJ .Cem en t and Concrete R esearch, 2000, 30 (8) : 1215 12231 5 M ark G Stew art. Effect of Con struction and Service L oads on R eliability of Ex isting RC BuildingsJ 1 Journal of Structural Engineering, 2001,