函数的凹凸性与拐点.doc

第 16 次理论课教学安排课程名称高等数学课程类型必修课 选修课 授课专业授课内容2.4导数的应用（三）授课学时2授课类型理论课 上机课 讨论 习题课 其它 教学目的与要求1、理解曲线凹凸性的概念2、掌握曲线凹凸性的判别方法3、掌握拐点的求法教学重点、难点重点：曲线的凹凸性与拐点难点：曲线的凹凸性与拐点教学方法以讲授为主，讲练结合 教学过程一、问题引入二、讲授新课三、总结及作业布置参考资料（1）高等数学 夏国斌主编 省规划教材、安徽大学出版社（2）高等数学 程伟主编、孙祖康主审 中国科技大学出版社（3）高等数学，夏国斌主编，电子科技大学出版社（4）高等数学学习指导，吴方庭主编，电子科技大学出版社2.4导数的应用-曲线的凹凸与拐点课题： 曲线的凹凸与拐点 目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点等方法。重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点教学方法：讲练结合教学时数：1课时教学进程：函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？一、曲线的凹凸与拐点1曲线的凹凸定义和判定法图1从图1可以看出曲线弧ABC在区间内是向下凹入的，此时曲线弧ABC位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE在区间内是向上凸起的，此时曲线弧CDE位于该弧上任一点切线的下方关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的例如，图1中曲线弧ABC在区间内是凹的，曲线弧CDE在区间内是凸的由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随的增大而减小由于切线的斜率就是函数的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的由此可见，曲线的凹凸性可以用导数的单调性来判定而的单调性又可以用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数在内具有二阶导数（1）如果在内，0，那么曲线在内是凹的；（2）如果在内，0，那么曲线在内是凸的例 判定曲线的凹凸性2拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点定理2(拐点存在的必要条件) 若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸如果连续，那么当的符号由正变负或由负变正时，必定有一点使0这样，点就是曲线的一个拐点因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:(1) 确定函数的定义域；(2) 求；令0，解出这个方程在区间内的实根；(3) 对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点例 求曲线的凹凸区间和拐点解 （1）函数的定义域为；（2）；令，得；（3）列表考察的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线是凸的）：1-0+曲线拐点图2由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点为例 已知点为曲线的拐点，求的值。要注意的是，如果在点处的二阶导数不存在，那么点也可能是曲线的拐点例如，函数在点处的二阶导数不存在，但是点是该函数的拐点(图2