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第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案一 、单项选择题（每小题4分，共24分）1微分方程是 （B）A一阶线性方程 B一阶齐次方程C可分离变量方程 D二阶微分方程解:变形 原方程是一阶齐次方程,选B2下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C）A BCD解:是可分离变量方程,选C3的通解是 （B） A B C D解： 选B 4满足的特解是（A）A BC D解：由 得,故 选A5满足的特解是 （ B ） A B C D解：由,知故特解为 选B6可降阶微分方程的通解是 （D）A BC D解：(1)方程不显含:令,. 选D二、 填空题7的通解是 解：令.，8满足的特解是 解：(1)(2)由 特解9满足的特解是 解：(1) (2)特解 10求的通解为 解： ,通解11的通解 解： (可用可分离变量做)12的通解 解：三、计算题13 求曲线所满足的微分方程.解： 通过求导,设法消去任意常数,这是所求的微分方程 14求的通解. 解：(1)判别方程的类型:可分离变量方程 (2) .即:15求满足的特解.解：(1)可分离变量方程(2) (3) ,又.特解16求的通解. 解：(1).一阶齐次方程 (2)令 或 为通解.17求满足的特解.解：(1)变形:.一阶线性方程 (2)(3),特解:18求的通解. 解：(1)变形:.一阶线性方程.(2)故为所求的通解.19求的通解.解(1)降阶法:方程不显含. 令(2).一阶可分离变量方程(3)20求满足的特解. 解：(1)降阶法,方程不显含.令(2)当时,初始条件舍去当时,特解 四、证明题21设曲线上任一点处切线与直线垂直,且曲线过点,证明曲线是以原点为圆心,半径为2的圆.证：(1)列出微分方程,设曲线,画出示意图.直线OM:的斜率为,曲线切线斜率为.依题意:(2)解微分方程:,由故有曲线: 证毕五、综合题22有连接,两点的一条凸曲线,它位于AB弦的上方,为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与AP之间的面积(如图阴影部分)为,求该曲线方程.解：(1)列出方程,设阴影部分面积为S S=曲边梯形OADPC面积梯形OAPC面积一阶线性方程(2)通解(3) 故所求的曲线方程为23设可导,且满足求. 解：(1)把积分方程化为微分方程. =1且(2)解微分方程(3)由得故有特解24设,且,求的
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