常微分方程试题库(1-48) - 第二批重点课程建设材料.doc

陇东学院数学系重点课程建设 常微分方程试题库 数学系 第二批重点课程建设材料 常微分方程 试题库 2006年2008年目 录常微分方程课程试题（一）- 3 -常微分方程课程试题（二）- 5 -常微分方程课程试题（三）- 7 -常微分方程课程试题（四）- 9 -常微分方程课程试题（五）- 11 -常微分方程课程试题（六）- 13 -常微分方程课程试题（七）- 15 -常微分方程课程试题（八）- 16 -常微分方程课程试题（九）- 17 -常微分方程课程试题（十）- 19 -常微分方程试题（十一）- 21 -常微分方程试题（十二）- 25 -常微分方程试题（十三）- 30 -常微分方程试题（十四）- 34 -常微分方程试题（十五）- 39 -常微分方程试题（十六）- 43 -常微分方程试题（十七）- 47 -常微分方程试题（十八）- 52 -常微分方程试卷(十九)- 56 -常微分方程试卷(二十)- 61 -常微分方程课程试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。1方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是2. 方程组的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.3连续是保证方程初值唯一的 条件4方程组的奇点的类型是 5方程的通解是 6变量可分离方程的积分因子是 7二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 8方程的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。9一阶线性微分方程的积分因子是（ ）（A） （B） （C） （D）10微分方程是（ ）（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）全微分方程 （D）贝努利方程11方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（ ）(A) (B) (C), (D), 12阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间 （C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间13方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有无数个 （C）只有两个 （D）无三、计算题（每小题8分，共48分）。14求方程的通解15求方程的通解16求方程的通解17求方程的通解18求方程的通解19求方程组的实基本解组四、应用题（本小题 11 分，共11分）。20（1）求函数的拉普拉斯变换（2）求初值问题的解五、证明题（本小题10分，共10分）。21 证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在。常微分方程课程试题（二）一、填空题（每空2 分，共16分）。1李普希滋条件是初值问题存在唯一解的 条件2. 一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线3线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能 个，其中，4二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 5方程的通解是 6变量可分离方程的积分因子是 7性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式8方程的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。9两个不同的线性齐次微分方程组（ ）的基本解组(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同10方程组的奇点的类型是（ ）（A）稳定焦点 （B）不稳定焦点 （C）鞍点 D）不稳定结点 11方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（ ）(A) (B) (C), (D), 12阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间 （C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间13方程（ ）奇解(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。14求方程的通解15求方程的通解16求方程的通解17求方程的通解18求方程的通解19求方程组的实基本解组四、应用题（本小题 11 分，共11分）。20（1）求函数的拉普拉斯变换（2）求初值问题的解五、证明题（本小题10分，共10分）。21 设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为常微分方程课程试题（三）一、计算题（每小题 7 分，共70 分）。1、求解方程的通解。2、求解方程：的通解3、求解方程：的通解4、求解方程：的通解5、求解方程：的通解6、求解方程：7、求解方程：8、求解方程：9、求解方程：的一个特解10、求解方程：的一个特解二、讨论（每小题 10 分，共 10分）。1、讨论方程所确定的线素场。三、应用（每小题10分，共10分）。1、已知方程的一个非零解，试用刘维尔公式求其通解。四、证明（每小题 10 分，共10分）。1、 证明函数组在任意区间上线性无关（其中当时）常微分方程课程试题（四）一、填空题（每小题3分，本题共12分）1一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线 2方程所有常数解是 3方程的通解是 4变量可分离方程的积分因子是 二、单项选择题（每小题3分，本题共12分） 5一阶线性微分方程的积分因子是（ ）（A） （B） （C） （D） 6. 方程（ ）奇解（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个 7方程过点（ ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解 8微分方程是（ ）（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）全微分方程 （D）贝努利方程三、计算题（每小题8分，本题共64分） 求下列方程的通解或通积分：9. 10 11 12 13014 15 16四、证明题（本题共12分） 17设在上连续，且，求证：方程的任意解均有常微分方程课程试题（五）一、选择题（每题3分，共15分）。1、函数对y 是否满足李普希兹条件( ).(A)不满足； (B)满足； (C)可能满足； (D)可能不满足2、下列方程中无奇解的是.（）（A）（B）（C）（D）3、向量函数组在其定义区间上的朗斯基行列式,是其线性相关的( ) （A）充分条件;（B）充要条件;（C）必要条件;（D）既非充分又非必要条件.4、n阶线性非齐次微分方程的所有解能否构成一个线性空间.( ) (A)能； (B)不能； (C)不确定； (D)与n有关.5、阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2得分评卷教师 二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共25分）1、求解方程； 2、求解方程；3、求解方程4、解方程5、求解方程三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。1、求方程组的通解； 2、求方程组的通解，四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。1、求方程的通解，2、求方程的通解，3、求方程的通解，五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题： ；，。六、证明题（共10分）。考察系统的零解的稳定性与渐近稳定性。常微分方程课程试题（六）一、选择题（每题3分，共15分）。1、方程满足解存在惟一性定理条件的区域是（ ）（A）xoy平面 （B）左半平面 （C）右半平面 （D）除x轴外的全平面2、是一个( )的李雅普诺夫函数.（ ） (A)正定的 (B)负定的 (C)常正的 (D)常负的3、下列方程中无奇解的是.（）（A）（B）（C）（D）4、用待定系数法求方程的非齐次特解时，应将特解设为（ ）（A） （B） （C） （D）5、阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间( )（A）维 （B）维 （C）维 （D）维二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共25分）1、求解方程；2、求解方程；3、求解方程4、解方程5、求解方程三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。1、求方程组的通解； 2、求方程组的通解，四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。1、求方程的通解，2、求方程的通解，3、求方程的通解，五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题： ；，。六、证明题（共10 分）。考察系统的零解的稳定性与渐近稳定性。常微分方程课程试题（七）一、填空题(每小题共3分，共15分)1常微分方程是联系 、未知函数及 之间的关系式2一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线3方程所有常数解是 4方程的基本解组是 5变量可分离方程的积分因子是 二、求下列方程的通解(每小题共8分，共64分)6 7891 0 11 12 13 三、证明题（本题共10分）14设在上连续，且，求证：方程的任意解均有四、应用题（本题共11分）15方程定义在矩形区域上，试利用存在唯一性定理确定经过点的解的存在区间，并求在此基础上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.常微分方程课程试题（八）一、填空题(每小题共3分，共15分)1常微分方程是联系 、未知函数及 之间的关系式2一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线3方程所有常数解是 4方程的基本解组是 5变量可分离方程的积分因子是 二、求下列方程的通解(每小题共8分，共64分)6 7891 0 11 12 13 三、证明题（本题共10分）14设在上连续，且，求证：方程的任意解均有四、应用题（本题共11分）15方程定义在矩形区域上，试利用存在唯一性定理确定经过点的解的存在区间，并求在此基础上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.常微分方程课程试题（九）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 2方程的所有常数解是 3若在上连续，则方程的任一非零解 与轴相交 4在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上 与轴相切 5向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间（A）维 （B）维 （C）维 （D）维 7. 方程（ ）奇解（A）有三 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个 8方程过点（ ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解 9若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ） （A） （B） （C） （D） 10连续是方程初值解唯一的（ ）条件 （A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分三、计算题（每小题分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设在整个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或 19设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数常微分方程课程试题（十） 一、填空题（每小题3分，本题共12分）1一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线 2方程所有常数解是 3方程的通解是 4变量可分离方程的积分因子是 二、单项选择题（每小题3分，本题共12分） 5一阶线性微分方程的积分因子是（ ）（A） （B） （C） （D） 6. 方程（ ）奇解（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个 7方程过点（ ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解 8微分方程是（ ）（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）全微分方程 （D）贝努利方程 三、计算题（每小题分，本题共66分）求下列方程的通解或通积分：9 10. 11 12 13 14 15 16 17 18 19四、证明题（本题共10分）20设在上连续，且，求证：方程的任意解均有常微分方程试题（十一）一 单项选择题 （在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题干后的括号内。每小题2分，共10分）1方程的通解中含有任意常数的个数为 （ ）A 1 B 2C 3D 42下列方程中的线性微分方程是 （ ） A B C D 3微分方程满足条件的特解是 （ ）A B C （c为任意常数） D 4当时，方程最确切的名称是 （ ）A 一阶方程 B贝努利方程 C一阶线性方程 D一阶线性齐次方程 5在整个数轴上线性无关的一组函数是 （ ）A B C D 二 填空题 (每小题2分，共10分)1. 具有性质“曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项”的曲线所满足的微分方程是 。2. 已知是二阶齐次线性方程的一个非零解，则与 线性无关的另一解 。3. 设是n阶常系数齐次线性方程特征方程的k重根，则该方程相应于 的k个线性无关解是 。4是线性方程组的基本解组的充分必要条是（1） ，（2） 。5方程组 的奇点类型是 。三、求出下列方程（组）的通解（每小题10分，共40分）1 2 34 四 （10分）、求出方程的所有解.五（10分）、讨论方程适合初值条件的解的存在区间.六（10分）、试用形如 的Liapunov函数判定方程组 零解的稳定性. 七（10分）、设函数 在上连续且有界，试证明方程 的所有解均在上有界.参考答案及评分标准一单项选择题：（每小题 2分，共10分） 1C 2C 3A 4D 5D二填空题（每小题2分，共10分） 1 23， 4（1）是该方程的解，（2）线性无关5不稳定结点三计算题（每小题10分，共40分） 1令 得 （4分）1） 是解，从而 也是原方程的解（5分）2） 时有 （7分） 积分得 （9分） 从而 （10分） 2 因为 故该方程是全微分方程 （4分）选特殊路径积分得原函数 （8分）从而通积分为 （10分）3特征方程是 特征根是3，（3分） 齐次方程的通解是（5分） 由比较系数法或常数变易法可得一特解，例如（9分） 从而通解为 （10分）4 特征根为 1， 2， 3（3分） 1对应的特征向量为 （5分）2对应的特征向量为 （7分）3对应的特征向量为 （9分） 故（10分）四该方程是开莱罗方程通解为（6分）求包络得奇解（10分） 五该方程右端函数在全平面上满足解的存在唯一性定理和延拓定理的条件（2分） 此方程的通解为 （5分） 过的解为 （7分）解的存在区间为（10分）六取定正函数（4分）则全导数 也是定正函数（8分）由Liapunov稳定性定理知0解是不稳定的（10分）七设是该方程的任一解，满足 从而 （4分） 只须证 在 有界设 则时（10分）常微分方程试题（十二）一 单项选择题 （在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题干后的括号内。每小题2分，共10分）1微分方程的阶数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 52下列方程中的线性微分方程是 （ ） A BC D 3微分方程的一个特解是 （ ）A B C D （其中为任意常数） 4克莱罗方程的一般形式是 （ ）A B C D 5阶齐次线性方程的任意个解必 （ ）A可组成方程的一个基本解组 B线性相关 C朗斯基行列式恒不为0 D 线性无关二、填空题 (每小题2分，共10分)1方程存在只与有关而与无关的积分因子的充分必要条件是 。2已知与是二阶齐次线性方程的解，则 。3是线性方程组的基本解组的充分必要条件是（1） ，（2） 。4的通解是 。5方程组 的奇点类型是 。三、求出下列方程（组）的通解（每小题10分，共40分）1 2 34.四（10分）、应用解的存在唯一性定理求Cauchy问题 的解的存在区间.五、应用题（10分）、求一曲线，使它上面的每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积均等于2.六（10分）、构造Liapunov函数判定方程组 零解的稳定性.七、证明题（10分）、设函数 在上连续且 试证明方程 有且仅有一个解满足 .注：第一、二两题答在试题的相应位置上，其它试题按顺序解答在所附答题纸上。参考答案及评分标准一单项选择题：（每小题 2分，共10分） 1B 2B 3A 4A 5B二填空题（每小题2分，共10分） 1 203（1）是该方程的解，（2）线性无关4 5稳定的退化结点三计算题（每小题10分，共40分） 变量分离得 （3分）积分之得通积分 （8分）还有特解 （10分） 2 因为 故该方程是全微分方程 （4分）选特殊路径积分得原函数 （8分）从而通积分为 （10分）3特征方程是 特征根是 3， （3分） 齐次方程的通解是 （5分） 由比较系数法或常数变易法可得一特解，例如 （9分） 从而通解为 （10分）4 特征方程为 特征根为 2， -1（重根）（3分） 2对应的特征向量为 （5分）-1对应的特征向量为 （9分） 故 （10分）四 令 则方程的右端函数在上满足解的存在唯一性定理条件（2分） 在上的Lip.常数为 （4分）在上的最大值为 4 （6分）从而 （8分）解的存在区间为 （10分） 五设所求曲线为，依题意得 （5分）这是开莱罗方程 （6分）通解为 （8分）求包络得奇解 （10分）六取定正函数 （4分）则全导数 是常负函数 （8分）由Liapunov稳定性定理知零解是稳定的 （10分） 七设是该方程的任一解，满足 ，从而 （4分） 为使 必须 . （6分）由比较判别法知收敛， （7分）故只有在时. （10分）常微分方程试题（十三）一 单项选择题 （在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题干后的括号内。每小题2分，共10分）1微分方程的阶数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 42下列方程中的线性微分方程是 （ ） A B C D 3微分方程的一个特解是 （ ）A B C D （其中为任意常数） 4当时，方程最确切的名称是 （ ）A 一阶方程 B贝努利方程 C一阶线性方程 D一阶线性齐次方程 5在整个数轴上线性无关的一组函数是 （ ）A B C D 二、填空题 (每小题2分，共10分)1方程以为积分因子的充分必要条件是 。2已知与是二阶齐次线性方程的解，则 。3如果常系数线性方程组的特征多项式的根的实部都是负数，则该方程组的任一解在时收敛于 。4 的奇解是 。5方程组 的奇点类型是 。三、求出下列方程（组）的通解（每小题10分，共40分）1 23 4. 四（10分）、讨论方程适合初值条件的解的存在区间.五、应用题（10分） 求一曲线，使它上面的每一点的切线在两坐标轴上的截距之和为1.六（10分）、 试用形如 的Liapunov函数判定方程组 零解的稳定性.七（10分）、设 在上连续可微，且 证明 参考答案及评分标准一单项选择题：（每小题 2分，共10分） 1C 2B 3A 4D 5D二填空题（每小题2分，共10分） 1 2 3 4 5稳定焦点三计算题（每小题10分，共40分） 1 变量分离得 （4分）积分之得通积分 （10分）2 易证， 是该方程的积分因子 （4分）以乘原方程两边得 （8分）于是， 时的通积分为 （9分） 是特解 （10分）3特征方程是 特征根是 （三重）（3分） 齐次方程的通解是（5分） 由比较系数法或常数变易法可得一特解，例如 （9分） 从而通解为 + （10分）4 特征根为 2， 3， 6 （3分） 2对应的特征向量为 （5分）3对应的特征向量为 （7分）6对应的特征向量为 （9分） 故 （10分）四该方程右端函数在全平面上满足解的存在唯一性定理和延拓定理的条件（2分） 此方程的通解为 （5分） 过的解为 （7分）解的存在区间为 （10分）五设所求曲线为，依题意得 化简得 （5分）这是开莱罗方程 （6分）通解为 （8分）求包络得奇解 （10分）六取定正函数（4分）则全导数 是定负函数（8分）由Liapunov稳定性定理知0解是渐近稳定的（10分） 七设 则 （3分） ，对充分大的，当 时，有 。（4分） 故 （6分）（8分）由的任意性有 （10分）常微分方程试题（十四）一、单项选择题 （在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题干后的括号内。每小题2分，共10分）1微分方程 的阶数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 42下列方程中的线性微分方程是 （ ） A B C D 3微分方程的通积分是 （ ）A B C D （其中为任意常数）4下述方程中的齐次方程是 （ ）A B C D 5在整个数轴上线性相关的一组向量函数是 （ ）A B C D 二、填空题 (每小题2分，共10分)1方程存在只与有关而与无关的积分因子的充分必要条件是_。2已知在上连续，是齐次第1页线性方程的个解，是它的伏朗斯基行列式，则 （刘维尔公式）。3如果常系数线性方程组的特征根都是正数，则它的解在时的极限是 。 4的通解是 。5方程组的奇点类型是 。三、求出下列方程（组）的通解（每小题10分，共40分）12 34四（10分）、讨论方程适合初值条件 的解的存在区间.五、应用题（10分）求一曲线，使它上面的每一点的切线在坐标轴上的截距之和为常数2a.六（10分）、构造形如 的Liapunov函数，证明方程组的零解是稳定的.七（10分）、证明方程 的所有解均在 上有界.试题参考答案及评分标准一单项选择题：（每小题 2分，共10分） 1C 2B 3D 4B 5C二填空题（每小题2分，共10分） 1 2304 5稳定的退化结点三计算题（每小题10分，共40分） 1令，则 （2分）变量分离得 （4分）积分之得 通积分为 ，即 （7分）还有特解 （上式在c=0的情况）（8分）故通积分为 （是任意常数） （10分）2 因为 故该方程是全微分方程 （4分）选特殊路径积分得原函数 （8分）从而通积分为 （10分）3特征方程是 特征根是 （3分） 齐次方程的通解是 （5分） 由比较系数法或常数变易法可得一特解，例如 （9分） 从而通解为 （10分）4 特征根为 2， -1（2分） 2对应的特征向量为 -1对应的特征向量为 故齐次方程的通解是 （5分） 设 是原方程的解， 代入且解之得 （9分） 从而通解为 （10分）四、该方程右端函数在全平面上满足解的存在唯一性定理和延拓定理的条件（2分） 此方程的通解为 （5分） 过的解为 （7分）解的存在区间为（10分）五、设所求曲线为，依题意得 化简得 （5分）这是开莱罗方程 （6分）通解为 （8分）求包络得奇解 （10分）六取定正函数 （4分）则全导数 是常负函数 （8分）由Liapunov稳定性定理知零解是稳定的 （10分） 七设是该方程的任一解，满足 ， 从而 ， 其中（4分） 只须证 在 有界。因为时 则时（10分）常微分方程 试题（十五）一 单项选择题 （在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题干后的括号内。每小题2分，共10分）1微分方程 是 （ ） A三阶非线性方程 B 三阶线性方程 C四阶非线性方程 D 四阶线性方程2微分方程的通解是 （ ）A B C D （其中为任意常数）3函数是方程（ ）的解（其中为任意常数）A B C D 4下述方程中的全微分方程是 （ ）A B C D 5在整个数轴上线性相关的一组向量函数是 （ ）A B C D 二、填空题 (每小题2分，共10分)1具有性质“曲线上任一点的切线界于切点和纵坐标间部分长度为2”的曲线所满足的微分方程是 。2已知,是二阶齐次线性方程的两个解，且伏朗斯基行列试, 则 。3设是n阶常系数齐次线性方程特征方程的k重根，则该方程相应于的 k个线性无关解是 。4的基本解组是5方程组 的极限环是 。三、求下列方程（组）的通解（每小题10分，共40分）12 34四（10分）、试用逐次逼近法求方程适合初值条件的近似解，.五（10分）、求出方程 的所有解.六（10分）、确定方程组 的奇点类型与稳定性.七（10分）、设函数 在上连续且 试证明方程 的任一解 满足 试题参考答案及评分标准一单项选择题：（每小题 2分，共10分） 1A 2D 3A 4B 5C二填空题（每小题2分，共10分） 1 203，4. 5 三计算题（每小题10分，共40分） 1、变量分离得 （3分）积分之得通积分 （8分）还有特解 （10分） 2 易求 是该方程的积分因子 （4分）以乘原方程两边得 （8分）于是通积分为 （10分）3特征方程是 特征根是 （二重） （3分）齐次方程的通解是 （5分） 由比较系数法或常数变易法可得一特解，例如 （9分）从而通解为 （10分）4 特征方程为 特征根为 2， -1（重根） （3分） 对应的特征向量为 （5分）-1对应的特征向量为 （9分） 故 （10分）四 毕卡列为 ， （2分） （6分）。 （10分）五该方程是开莱罗方程， 通解为（6分）求包络得奇解 （10分）六特征方程为 特征根为 （3分） 鞍点， 不稳定 （10分）七齐次方程的基本解组是 ，（4分）由常数变易法知该方程的通解为 （6分） 只要证明第三项以0为极限，这可由罗比塔法则得到。 （10分）常微分方程试题（十六）一 填空题（20分）1 一阶非奇线性方程的通解为： 。2 一阶微分方程为恰当方程的充要条件为： 。 3函数定义在区域R 上，若在R 上满足 ，则一阶微分方程的解存