初中数学讲义-第十六章数的开方.doc

初 二 数 学（第25讲）主讲教师：谢 潮（苏州立达中学）【教学内容】第十六章 数的开方 16.3 二次根式【知识点精析】一、二次根式的概念：1二次根式的定义形如的式子叫二次根式。2二次根式有意义的取值范围二次根式有意义的取值范围是被开方数必须是非负数。3二次根式的性质（1）（a0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。（2）（）=a（a0），即一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。（3）=|a|=，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。（4）当a0时，（）=，即一个非负数的算术平方根等于这个数的平方的算术平方根。（5）当a0时，a=（）2，即一个非负数等于它的算术平方根的平方。4注意的问题（1）二次根式中要特别注意字母的取值范围，即二次根式有意义的取值范围被开方数必须是非负数。（2）二次根式的性质的应用和逆向应用（3）求代数式中使代数式有意义的字母的取值范围应考虑各部分都有意义的取值范围。二、二次根式的乘除法1二次根式乘除法法则=，即二次根式相乘就是把被开方数相乘，根据数不变。，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变。2二次根式的性质（1）积的算术平方根的性质：，即积的算术平方根等于各个因式的算术平方根的积。（2）商的算术平方根的性质：，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。3最简二次根式满足条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式。4注意的问题：（1）二次根式的乘法可以推广，即。（2）根号内能开得尽方的因式可以移至根号外，反之移至根号外的因式也可以移至根号内，但应注意，根号外的因式必须是非负数，如。（3）二次根式的化简的最后结果必须化成最简二次根式。（4）最简二次根式的两个条件中都是指因数和因式。三、二次根式的加减1同类二次根式n个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。2二次根式的加减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。3二次根式的混合运算二次根式的混合运算按运算顺序和运算法则进行计算，能用乘法公式的则宜用乘法公式。4注意的问题（1）判断几个二次根式是不是同类二次根式，前提是将其化简成最简二次根式。（2）二次根式的加减是把同类二次根式合并，不是同类二次根式则不能合并。【典型例题】例1x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1） （2） （3） （4）分析 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数。（1）x20，则x2; （2），且2x+10；（3）x+10且2x0; （4）5+x0且x+40.解（1）要使有意义，必须满足x22，即x2。当2时，有意义。（2）由且2x+10.得x.当xb，则解（1）2=， 2。，即（2）56而150180，56，5（3）而例7已知:x=，求代数式3x25xy+3y2的值。分析 如果将x、y直接代入计算，则计算繁难，观察x、y将其化简，可以发现x+y，xy的值是一个常数，故将x+y，xy作为一个整体代入求值，可大大简化计算。解 x=y=所以x+y=5+2，xy=（5+2）（52）=52（2）2=2524=1原式=3（x2+y2）5xy=3（x+y）22xy5xy=3（x+y）211xy=3102111=289。例8观察下列各式及其验证过程2验证：23验证：3。（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证：（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n2）表示的等式，并说明它成立。分析 我们从两个特例入手，可以发现式子的结构特点：根号前面的数字因数和被开方数的分子相同，而分母等于分子的平方减1。于是易猜想出4的变形结果，并得到一般规律。解 （1）4=验证：4=；（2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数n（n2）都有：n说明：因为n=，所以 n例9已知9+的小数部分分别是a和b，求ab3a+4b+8的值。解： 3 9+ 9=5+（4）a=原式=（3）（4）3（3）+4（4）+8=8例10设S=，求S的整数部分。解：=S=（1+）+（1+）+（1+）=2004+（1）00，y0，求的值。18如果4（）=x+y+z+9，试求xyz的值。19设a、b都是正数，且a.（1）证明之间；（2）试问这两个数中哪一个更接近于20如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所表示的数为x，求x+的值。 C A B 0 x 1 【参考答案】1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.（1） （