高等数学（上册）期末复习试题及答案.doc

05高数A一填空题（每小题3分，共15分）1极限，0，1。2曲线在对应点处的切线方程为。3设的一个原函数为，则。4函数在上连续，是可导的 必要 条件 ；是可积的 充分 条件。5曲线介于之间的弧长为。二选择题（每小题3分，共15分）1极限等于 ( D ) 2当时，是的（ D ）高阶无穷小 等价无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 3曲线在区间（ A ）上是凸的。 4曲线( D )。没有渐近线 仅有水平渐近线 仅有铅直渐近线 既有水平渐近线又有铅直渐近线5广义积分（ A ）A B. C. 发散 D.三解答题（每小题7分，共57分）1 求极限。解：。2 求极限。解：。3已知函数，求。解：令，则，所以，。4 设函数，求。解：对函数两边取对数，得， 再对x求一阶导数，得 ，所以，。5 求函数的单调区间及其极值（8分）。解：求导数，令，得(负舍) 所以函数的单调增区间为，单调减区间为。是极小值点，极小值为。6 求积分。解： =（C为任意常数）。7 求积分。解：，因为函数在区间是偶函数，而函数在区间是奇函数。所以，有，。令，则，所以。8 求积分。解： 所以。四计算抛物线与直线所围的图形的面积（8分）。解：先求交点，得，。所求面积。五设函数在上连续，在内可导，且，证明在内有一点，使（5分）。证明：因为函数在上连续，在内可导，且，构造新函数，则，由零点定理，在区间内至少存在一个零点，函数在区间上连续，在内可导，且，由罗尔定理，得在区间内至少存在一个，使得，而，所以在内有一点，使。06高数A一填空题（每小题3分，共30分）1的定义域是2 _0_34设是连续函数，则_12_5函数在处可导是在处连续的 充分 条件6 7已知 , 则 6 8 1 9若 ， 则10 由曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积的定积分表达式是二解答题（每小题6分，共48分）1 计算解：原式 (4分) (2分)2计算解：原式 (4分) (2分)3设函数，求解： ， （2分） （4分）9 设参数方程 ， 求，解： (4分) (2分)10 已知是由方程所确定的隐函数，求解： 原方程两边对求导， 得 (3分)解得 或 (2分)从而 (1分)11 算解：原式 (2分) (2分) (1分) (1分)7计算解： 原式 (3分) (2分) (1分)8计算解： 令 ，则， (2分)原式 (2分) (1分) (2分)三（8分）证明： 时，证：方法1. ， (2分) 求导得 (2分) 又因为 (1分) 所以在上单调递增，则， (1分)这说明在上单调递增，故，即原不等式成立 (2分)方法2. （5分） ， (3分)四（7分）求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形面积为最小解：设为曲线上任意一点，则此点处的切线方程为，即， (2分)于是所求面积为 (2分) (1分)令，得，又当时，当时，故时，取得极小值，也是最小值 (1分)从而得到所求的切线方程为 (1分)五（7分）设不恒为常数的函数在上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得证：因且不恒为常数，故至少存在一点使得，于是或 (2分)不妨设，则在上满足Lagrange定理条件，故至少存在一点，使 (3分)对于情形，类似可证 (2分)06高数B一填空题（每小题3分，共30分）1的定义域是 _0_3设，若要使在处连续，则必须补充定义4函数在处连续是在处的可导_必要_条件5若，则6曲线在对应点处的切线方程为7函数的单调增加区间是 （1,1） 8_2_9_1_10 由曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积的定积分表达式是二解答题（每小题6分，共48分）1计算解： 原式 (3分) (3分)2若， 求解： 左边 (3分) (2分) 故 ， (1分)12 设函数，求解： ， （2分） （4分）13 设参数方程 ， 求，解： (3分) (3分)14 已知是由方程所确定的隐函数，求解： 原方程两边对求导， 得 (3分) 解得 或 (2分) 从而 (1分)15 计算解：令, 则： ( 1分)= ( 2分) ( 1分) ( 1分) ( 1分)16 解： 原式 (3分) (2分) (2分)17 解：原式 (3分) (3分)三（8分）证明： 时，证： 方法1. 设， (2分) 求导得 (3分)所以在上单调递增，则，即原不等式成立 (3分) 方法2. （5分) ， (2分)四（7分）求由曲线与直线，直线及轴所围的图形的面积解：选取为积分变量 (3分) (3分) (1分) 五（7分）要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？解：设底半径和高分别为，则， (分)表面积为 (2分)由 ， (1分)解方程 ，即，得驻点，这是函数在定义域内的唯一驻点，由此知是函数的极小点，且是函数的最小值点 (2分)此时高为 (1分)07高数A一、填空题（共50分 每小题2分）1的定义域是 .2 3,则 .4设，则 1_是的可去间断点5函数有_2_个间断点6，是的_等价_（等价、高阶）无穷小7设是连续函数，则_1_.8已知 , 则 -1_.9曲线在点处的切线方程为 .10设，则 11设函数在点处可微，则 .12若，则 13函数的单调增加区间是 14函数的图形的凹区间是15设在处可导且是的极值点，则_0_.16是函数的极_小_值点.171819_1_20若，则2122广义积分的敛散性是_发散 23用定积分表示光滑曲线弧上相应于的一段弧的弧长24抛物线与在第一象限所围的图形的面积25由曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积二、解答题（共15分 每小题5分）1 2 3 三、解答题（共15分 每小题5分）1设,求. 2设函数，求. 3已知是由方程所确定的隐函数，求 四、解答题（共10分 每小题5分）1 2 五、(6分)设抛物线过原点，当时，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为，试确定，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小 解：由抛物线过原点，得， 面积， 从而体积 ， 令，得唯一驻点，从而当，时，旋转体的体积最小 六、(4分) 在上连续，下面有两种证法证明在内单调增加：法一 在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得，将代入上式得，在内，在内单调增加，在内单调增加，由此在内也单调增加法二 ， 设 ，则 在内，由题设知在上连续，在上单调增加，又，在内，从而在内，由此在内单调增加问题：哪一种证法是正确的？哪一种证法是错误的？为什么？解：法二是正确的，法一是错误的， 因为随着的增大并不一定增大 07高数B一、填空题（共48分 每小题3分）1的定义域是.23.4设是连续函数，则.5函数在点处连续是点处可微的_必要_条件.6曲线在点处的切线方程为.7若，则.8.9若，则10设的一个原函数为，则11 12 13广义积分的敛散性是_收敛_14 15抛物线与轴在第一象限所围的图形的面积_2_16由曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转而成的立体的体积二、解答题（共15分 每小题5分）1. 2. 3. 三、解答题（共15分 每小题5分）1设,求 . 2设函数，求. 3已知是由方程所确定的隐函数，求 或四、解答题（共10分 每小题5分）1令，则 2 五、(7分)求函数的单调区间和极值 解：求导数， 令，得 函数的单调增区间为，单调减区间为 极大值为，极小值为 六、(5分)阅读理解 设函数在区间上有定义，称为3维向量值函数，其一阶导数定义为；又设，定义与的数量积为 例：设，则，设 ，求解下列问题：(1) ，；(2) 根据(1)的结果，你能得到什么结论，并加以证明解：（1）=，； （2）根据(1)的结果，能得到=+ 事实上，07高数C一、填空题（共60分 每小题3分）1设在处连续，则（ 0 ）2( 2 )3= ( )4求极限= ( 1 )5. ( )6, 则= ( )7，则= ( )8，则= ( )9方程所确定的隐函数的导数= ( )10曲线在对应点处的二阶导数= ( -2 )11= ( )12函数的极小值点为( ). 13函数曲线在 ( 0 )处的切线与的切线平行14设的一个原函数为，则()15求积分= ( )16求积分= ( 4 )17. = ( 0 )18积分= ( )19. 广义积分（ ）20曲线介于之间的弧长为().二选择题（每小题3分，共15分）1. 函数在点连续是函数在该点处可微的（ B ）条件.A. 充分条件; B. 必要条件; C. 充分必要条件 D. 可去条件2. 、若函数在内满足 则内（B） A、单调减少，曲线上凹 B、单调减少，曲线下凹 C、单调增加，曲线上凹 D、单调增加，曲线下凹3.下列积分正确的 B .(A) (B) (C) (D) 4.下列广义积分中, A 是收敛的;(A) (B) (C) (D) 5.下列等式中, D 是正确的.(A) (B) (C) (D) 三计算题（每小题5分，共15分）3 求极限解： .2 .2 .1 2. 求积分。解： .2 .2所以。 13. 计算抛物线与直线所围的图形的面积。解：先求交点，得，。所求面积 .2 .2 .1 四、证明：当时， （5分）证明 令 ，有 .2又因为 .2所以函数在当时，为增函数，所以 即当时， .1五、求函数求的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（5分）解: .1 .1由上可知:函数的单调增区间为: (-,-2),(2,+); 函数的单调减区间为:(-2,2) .1函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) .1凹区间为:(0,+),凸区间为:(-,0) 拐点为:(0,10) .107高数D一、填空题（共60分 每小题3分）1已知 ， 问当=（ -1 ）取何值时，在处连续2 = ( 1/9 )3= ( )4求极限= ( )5. ( )6, 则= ( )7，则= ( )8，则= ( )9方程所确定的隐函数的导数= ( )10曲线在对应点处的二阶导数= ( 3/4 )11= ( 2 )12如果函数，在处有极值，则( ). 13函数曲线在 ( 1 )处的切线与的切线平行.14设的一个原函数为，则()15求积分= ( )16求积分= ( 2 )17. = ( 0 )18积分= ( )19. 广义积分=（ 12 ）20曲线介于之间与轴所围面，绕轴旋转所得旋转体体积为（ 2 ）。二选择题（每小题3分，共15分）1. 函数在连续是函数在可积的（ A ）条件.B. 充分条件; B. 必要条件; C. 充分必要条件 D. 可去条件2. 、若函数在满足 则函数在（D） A、取得最大值 B、取得最小值 C、取得极大值 D、取得极小值3.下列积分正确的 B .(A) (B) (C) (D) 4.下列广义积分中, B 是收敛的;(A) (B) (C) (D) 5.下列等式中, C 是正确的.(A) (B) (C) (D) 三计算题（每小题5分，共15分）4 求极限解：= .2 .2= 0 .12. 求积分。解： = .2 =+ =.2 = .13. 计算抛物线与直线所围的图形面积及绕轴旋转的旋转体体积。解：先求交点，得，所求面积.2.3四、设函数在区间上连续,且,证明方程在(0, 1)内有且仅有一个根. （5分）证: 设, 则在上连续, 又 .2 据介值定理知存在,使, 即原方程在内有一个根. .1又因, 所以在单调递增, 因此在 .2内只有一个根.五、求的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（5分）解:1 1由上可知:函数的单调增区间为: (-,-1),(3,+); 函数的单调减区间为:(-1,3) 1函数的极大值点:(-1,8/3),极小值点(3,-8) 1凹区间为:(1,+),凸区间为:(-,1) 拐点为:(1,-8/3) 108高数A一、填空题（共50分 每空2分）1的定义域是 .2 34. . 5. 67当_3 时，函数在处连续8设函数在点处可微，则 9设，则 2_是的可去间断点10若，则 11. 若，则 12若，则 ， 13. 曲线在点处的切线方程为 .14. 函数的单调减区间为或，极大值为_1_15函数的图形的凸区间是1617181920设的一个原函数是，则21广义积分的敛散性是_收敛_ 2223. 由曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积二、计算题（共12分 每小题6分）1解： 2 解： 三、解答题（共12分 每小题6分）1 ，求解： 2已知是由方程所确定的隐函数，求解： 四、解答题（共12分 每小题6分）1 解： 2 解： 五、(6分) 证明：当时，证明：只需证明 令 ，在单调递增. ，当时，,即 六、 (8分) 设有曲线和直线记它们与轴所围图形的面积为，它们与直线所围图形的面积为问为何值时，可使最小？并求出的最小值解： 令，得 ，为最小值点 另解： 令，得 ，为最小值点 08高数B一、填空题（共50分 每小题2分）1的定义域是2 , 3 .4. . 5. 67设是连续函数，则 .8设函数在点处可微，则 9若要使在处连续，则必须补充定义10若，则 .11. .12若，则 ， 13. 曲线在点处的切线方程为 .14. 函数的单调减区间