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第十四章三角形第1节三角形的有关概念与性质14. 1三角形的有关概念知识点1：三角形的有关概念1 三角形的定义，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次联结组成的平面图形【注意】 三条线段必须不在同一直线上，2 三角形的基本元素(1) 符号：如图所示，三角形可以用符号表示为“ABC”，读法为“三角形ABC.(2) 顶点：点A、点B、点c称为三角形的三个顶点如图所示，顶点即为三角形两边的公共点.(3) 边：组成三角形的三条线段称为：三角形的边. 如图所示，ABC有三条边AB、BC、CA.(4) 内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角如图所示, BAC、ABC、ACB是ABC的三个内角(5) 外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.【例1】 如图所示：(1) 图中共有_个三角彤，其中以线段BC为一边的三角形是_，以EAD为一内角的三角形是_；(2) 在ABD中，BAD的对边是_，在ABE中，ABE的对边是_ (3) AB既是_中_ 的对边，又是_中_的对边，还是 _中_的对边.【分析】依据三角形的概念，从图形中去认识三角形的边与角，是解答本题的关键。在数三角形的个数时，要按照一定规律或顺序去找，做到不重不漏，图中小三角形有ABE,AED、EDC、BEC；由两个小三角形拼成的三角形有ABD、AEC、BCD ；由四个小三角形拼成的三角形有ABC. 所以图中共有8个三角形。【点拨】 数三角形的个数时，要按照一定的规律或顺序去数，否则就会重复或遗漏其方法有：(1)按照图形的形成过程（即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数）；(2)按照三角形的大小顺序去数；(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数；(4)还可以先固定一个顶点，变换另两个顶点去数；知识点2：三角形三边关系定理及推论1 定理及推论：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。2 定理及推论的作用：(1) 判断以a、b、c为边是否能组成三角形判断方法有两种： 当a+bc，b+ca，c+ab都成立时，能组成兰角形； 当la-bl ca+b时，可以构成三角形(2) 当已知两边时，可确定第三边长度的范围1两边之差 第三边 c，b+ca，a+cb这三个不等式，或一 一验证I倪la-clb，lc-bl a，la-blc这三个不等式，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较，或将最长边与短边之差与中间线段比较.【点拨】 判断三条线段能否构成三角形，关键看三条线段是否满足任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边.【例3】 小明想制作一个三角形铁丝架，现有两根铁丝，长度分别为3 cm，5 cm(1) 小明将如何选用第三根铁丝？能确定第三根铁丝的长度吗？能确定第三根铁丝的长度范围吗？(2) 如果第三根铁丝的长度要求是整数，小明有几种选择？【分析】 利用三角形的三边关系，已知两边求第三边，它的长度是不确定的，但可以求出第三边的取值范围只有当第三条边大于其他两边之差，且小于其他两边之和，三条线段才能围成三角形【点拨】 已知三角形中的两边a、b的长，第三边的取值范围是!a-blcBAD-ADP-DAF【点拨l 做题时要善于从图形中看出几何元素的多重身份，如ADF既是ABD的外角，又是ADF的内角；又是BAF与BAD的差，解题时要从不同的角度去观察，这样就会发现题中隐藏着的关系。知识点4：三角形的分类1. 按角分类三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形【注意】 锐角三角形指所有内角都是锐角的三角形；直角三角形指有一个内角是直角的三角形；钝角三角形指有一个内角是钝角的三角形2. 按边分类：三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形【注意】不等边三角形指三条边互不相等的三角形；等腰三角形是指至少有两条边相等；等边三角形指三条边都相等的三角形【例7】 根据条件，判断下列各三角形的形状(1) A=50，B=60 (2) A : B : C.=1 : 2 : 3.【分析】 (1)直接利用三角形内角和求第三个角，再按角的大小判断形状；(2)可设三个内角分别为x、2x、3x，再利用三角形内角和求角度，比较各角与90的关系来确定形状【点拨】三角形按角分，可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，所以在不知道具体角度时，应先求三个内角，通过与90比较大小来判断形状综合应用【例1】 如图所示，H为ABC的三条高AD，BE，CF的交点，则在HBC中，BC边上的高是_；在BHA中，BH边上的高是_；AF是_的高【分析】HBC中，BC边上的高是HD；BHA中，BH边上的高是AE；AF是AFH，AHC，AFC的高.【点拨】 本题考查的是三角形的高的定义，由定义可知三角形的高应是从顶点出发，画对边所在直线的垂线，垂线段为高【例2】 如图所示，AD是ABC的角平分线，过D作BA的平分线交AC边于E点，试证明ADE=DAE【分析】由已知条件AD是角平分线，有BAD=DAC，故要说明ADE=DAE，只需说明ADE=BAD,它们是一对内错角，故由两直线平行的性质可说明【例3】 在图中找出等腰三角形、正三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。【分析】 要解决该题需通过观察与测量相结合的方法【点拨】 题中的PEF既是直角三角形又是等腰三角形，我们把这一类三角形叫做等腰直角三角形 【例4】 已知如图所示为锐角三角形，图为直角三角形，图为钝角三角形请你分别画出三个三角形的高，并观察回答问题(1) 三条高是否交于同一点？(2) 这个交点的位置与三角形的形状有关吗？你能用语句进行总结吗？【分析】 根据三角形高线的概念画图，即过每个顶点向对边画垂线，再根据所画的图形总结交点的位置与三角形形状的关系【点拨】 因为直角三角形三条高的交点为直角顶点，所以有两条高与两直角边重合，即两直角边互为高；画钝角三角形的高是一个难点，认真体会定义的含义，借助三角尺画高会容易一些。【例5】 有三段粗细均匀且直径相等的钢筋长度分别为a ，b，x，且恰好围成一个三角形，其质量分别是20，30，P，求P的取值范围【分析】 因为钢筋的质量与长度成正比，所以可以将20，30，P分别看作是所围成的三角形的三边长度，即可解决问题【点拨】 解决本题的关键是“钢筋的质量与长度成正比”【例6】 草原上有四口油井，恰好位于四边形ABCD的四个顶点，如图所示，现在要建一个维修站M，试问M建在何处，才能使它到四个井口的距离之和MA+MB+MC+MD最小？.请说明理由【分析】 要使MA+MB+MC+MD最小，只要使MA+MC最小，且MB+MD最小即可，由此可以推断，M点既在线段AC上，又在线段BD上，即AC与BD的交点就是维修站M的位置。【点拨】 本题中，直接求MA+MB+MC+MD的最小值或者直接找M点显然很困难，通过转化的思想方法，将MA+MB+MC+MD的最小转化为MA+MC最小且MB+MD最小，由此确定维修站M应建在四边形ABCD的对角线AC与BD的交点处这种转化思想是数学上经常运用的一种数学思想方法，大家要注意体会这种思想方法的特点【例7】 如图所示，有一长方形分成颜色不同的四个三角形。绿色三角形的面积占长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米，求长方形的面积是多少？【分析】 大胆引入未知量，设而不解所列出的方程组，可用“整体”代入的数学方法求出长方形的面积。【例8】 在平面内，用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍。求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴的根数【分析】 设三角形三边分别用a，b，c根火柴，且abc，a=3c，那么a+b+c=100因此3c+b+c=100，b=100- 4c，又b+ca且ab，则有100-4c+c3c3c100-4c，解得cA，ACDB.【例3】 如图所示，AC、BD相交于0点，BE、CE分别平分ABD、ACD且相交于点E，已知A=70，D=40求E的度数【分析】 本题较为复杂由于图形不固定，所以要利用A = 70，D=40直接求E的度数是不可能的，可以将E作为BEN的一个内角，借助于角平分线的性质，利用BEN的外角BNC进行解答【点拨】 本题的解答体现了一种重要的数学思想“转化思想”；将求E的度数转化为求与其有关的曲其他角的度数，通过对其他角的求解，达到求E的度数的目的，在数学上，经常通过转化，将一些复杂的问题转化为我们能够理解的问题来解决【例4】 如图所示，已知CE为ABC外角ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E试说明BACB【分析】从图上看，BAC和B都在ABC中，不好比较它们的大小，而BAC是ACE的外角，所以，BACACE，ACE=ECD ，而ECDD又是EBC的外角，所以ECDB，根据不等式的传递性，可得出结论：BACB【点拨】 说明角的不等关系，经常利用“三角形的外角大于任何一个和它不相邻盼内角”知识点3：多边形的内角和与外角和1. 多边形的内角和定理，如图所示，在多边形内任取一点O，并把点O与多边形的各顶点联结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n180，再减去以O为顶点的内角，就可以得到n边形的内角和为(n-2) X180这种方法是将多边形问题转化为三角形问题来解决，这种转化是化归思想，是解决多边形图问题的基本思想2. 多边形的对角线从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共可引(n-3)条对角线，因而从n个顶点出发，一共可引n(n-3)条对角线，这些对角线每一条都重复一次，故n边形的对角线条数为12n(n-3)3. 多边形的外角和定理与四边形的外角和类似，多边形的外角和是指取多边形每一个顶点处的一个外角相加的和，多边形的外角和等于360，与边数的多少无关【例5】 求七边形内角和的度数.【例6】 任何一个凸多边形中，它的内角中最多有几个锐角？为什么？【分析】 可利用外角和为360解此题.【点拨】 由于多边形内角和随边数增加而增加，而外角和固定，所以在判断时应转化到判断外角的问题上来解题。【例7】 已知六边形ABCDEF中A=BC=D=E=F 试说明：AB+BC=FE+DE.【分析】 由各内角相等，可得各外角都等于60所以延长六边形的各边能得到等边三角形：PQR、PAF、BQC、EDR，在此基础上再利用等边三角形的各边都相等，即可说明结论.【点拨】 这是一个“补全图形”的例子，通过多边形每个内角都相等进而联想到每个外角都相等，由3606=60转化为构造特殊的等边三角形，进而探索出解题方法综合应用【例1】 如图所示，木马的两支柱AB,CD设计要求其交角为40，你如何检验它们是否符合要求？【分析】联结BD，如果ABD+CDB=180-40，则木马符合要求.【点拨】 取点连线构成三角形，根据三角形内角和为180，通过测量连线后的角可知要求设计的是否合格【例2】 五角星ABCDE，求A+B+C+D+E的度数【分析】 欲求A+B+C+D+E的度数，则可设法把它们转化为三角形的内角，联结BE，则因为BOE与COD的内角和都为180，且其中的一对内角COD=BOE，1+2=C+D，即求A+B+C+D+E，就是求A+CBA+1+2+AED，即求三角形ABE的内角和【点拨】 在计算三角形内角度数时，三角形内角和定理及其推论起着重要作用.【例3】 如图所示，(1) 如图所示，BD、CD分别是ABC、ACB的平分线，试探索A与D之间的关系；(2) 如图所示，BD、CD分别是ABC、ACB的外角的平分线，试探索A与D之间的关系；(3) 如图所示，BD是ABC的平分线，CD是ACB的外角的平分线，试探索A与D之间的关系【分析】 本题是一道典型的数学结论探索题，每一步的探索都应从条件出发，充分利用内角平分线和外角平分线的性质与特点，利用三角形内角和的性质进行计算或推导【点拨】 这三道探究的问题分别是两个内角平分线所成的角与第三个角之间的数量关系，两个外角乎分线所成的角与第三个角之间的数量关系，以及一个内角平分线与一个外角平分线所成的角与第三个角之间的数量关系通过对这些问题的探索与研究，我们可以清楚地看到，三角形内角和定理及三角形外角的性质在解决问题的过程中发挥了巨大的作用，准确地找到联系两个具有特定关系的角的“桥梁”，也是解决问题的关键这三道探索性问题也给出了三个常用的关于角平分线所成的角与原三角形角之间的一种固定关系.【例4】 已知一个多边形的每一个内角都等于和它相邻的外角的4倍，求这个多边形的边数【分析】 根据题意，多边形的内角和等于外角和的4倍，而任意多边形的外角和是360，因此可建立方程求解.【点拨】 本题应用了设未知数X的代数方法求出了多边形的边数，采用这种方法是最常见的解题思路，结合几何知识把问题转化为解方程；【例5】 如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的角度数，设最小的角是80，最大的角是100，求这个多边形的边数。【分析】 要求多边形的边数，可以通过求多边形的内角和来完成由已知各内角恰好是从80开始依次增加相同的角度数直到100，所以这个依次增加的角度数是解决本题的关键，必须设出这个关键量。【点拨】本题设出这个依次增加的角度数，只是把它作为解题的桥梁，而不必求出来.【例6】 如图所示，在六边形ABCDEF中，A=D，B=E，C=F。试说明AF与CD是否为平行线【分析】 如果AF与CD平行，则必有内错角相等或同位角相等或同旁内角互补，此题可引辅助线解题。【点拨】 引辅助线是解题关键【例7】 在ABC中，BD是AC边上的高，已知ABD=30，求A的值。【例8】 我们知道四边形的内角和为(4-2)180=360，现有一张长方形的桌子，锯掉一个角后，剩余的桌面所有内角的和是多少？第2节全等三角形14. 3全等二角形的概念与性质知识点1：全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形判断是否是全等图形，只需注意图形的形状和大小，不用管图形的位置，只要把它们叠合在一起，看看是否重合即可【注意】 全等图形并不一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系 全等图形也可以看作是把图形经过翻折、旋转、平移等变換而得到的图形，与原图形相比，它们只是位置发生了变化，而形状、大小都没有变；反过来；两个全等的图形经过这样的变换一定能够重合，例题1.判断下列图形中的两个图形是不是全等图形知识点2：全等三角形的定义和表示方法1 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角2 表示方法：如图中的ABC和DEF全等记作：ABCDEFB（“全等”用“”表示，读作“全等于”），其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应点，AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，A和D，B和E，C和F是对应角【例1】 如图所示，ABCEDF，请指出所有的对应边和对应角【例2】 已知：如图所示；ABCABC，AD、AD分别是ABC与AB C的中线求证：AD=AD知识点3：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例3】 如图所示，ABC,AEF，则对于结论：AC=AF；FAB=EAB；EF=BC；EABAB=FAC.，其中正确结论的个数是( ： )(A) 1个 (B)2个 (C) 3个 (D) 4个 【例4】 如图所示，C和D是两个全等三角形的对应顶点，且AOC与BOD是对应角，写出：(1)表示这两个三角形全等的式子；(2)对应相等的边，对应相等的角.【例5】 如图所示，已知ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB+AC2AD.知识点4：已知“角、角、边”画三角形如果已知三角形的六个元素的如下三个元素：“角、边、角”、“角、角、边”、“边、角、边”、“边、边、边”，那么这个三角形的形状和大小就可以确定了【注意】 已知“角、角、边”（即三角形的两角及其中一个角的对边）画三角，通常都把问题转化为：已知“角、边、角”画三角形的问题【例6】 画ABC，使BC=2 cm，A=50o，B=70o知识点5：已知“边、边、角”画三角形已知三角形六个元素中的“边、边、角”三个元素（即两边及其中一条边的对角）所画出的三角形的形状和大小不能 唯一确定。【例7】 画ABC，使AB=4 cm, BC=3 cm, A=45o【例8】 如图所示，在ABC中AB=AC，C= 90o，ABD旋转后能与ACE重合(1) ABD与ACE是否全等？(2) 联结DE后，ADE是什么三角形？为什么？综合应用：【例1】 如图所示，已知：ABDACE，求证：EBD=DCE.【例2】 已知ABCDEF，且A=52o，B=- 71o32，DE=8.5 cm，求F的度数与AB的长【例3】 如图，点D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，且ADECFE，请问B的补角是哪个角？为什么？【例4】 如图所示，已知ABCADE，且CAD= 10o，BD:= 25o, EAB=120o,求DFB和DGB的度数。 【例5】 如图，若AOD与COB全等，AO= CO，DO= BO，试问将 图AOD与COB怎样翻折，就可以重合【例6】 画ABC使A=60o，B= 40o，BC=4.5厘米【例7】 图是燕尾槽的横断面，要测出它的里口宽度BC的长，直接测量很难办到，请你想一个好办法【例8】 如图所示，若OADOBC，且0=65o，C=20o，则OAD=_ 【例9】 如图所示，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中，错误的是( )(A) ABCDEF (B) DEF=90o (C)AC= DF (D) EC= CF【例10】 如图所示，分别以RtABC的直角边AC，BC,为边，在RtABC外作个等边三角形ACE和BCF，联结BE，AF试说明BE=AF.思维误区本节知识在理解和运用中常见的错误有：在寻找全等三角形的对应边喝对应角时出错。例题：如图所示：已知ABEACD，12，BC，指出其他的对应边和对应角。解决疑难问题：1.图形分割成全等形例题1. 如图所示，图形ABCDEF是由5个形状、大小都相等的正方形拼在一起的硬纸板，试将这块硬纸板分割成4块全等的硬纸板 2.探究“边，边，角”满足什么关系时，画出的三角形的大小形状是确定的。例题2. 如图所示，已知A= 30o，AB=4cm，点B到AF的距离BH=2cm，当BC的值在什么范围时，画ABC大小形状是唯一确定的。 14. 4全等三角形的判定知识点1：“边角边”公理角形全等判定一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“SA. S”）【注意】 在找这三个元素时，一定要记准是两边和它们的夹角，而不是其中一边的对角【例1】 如图所示，已知CD=AB，若运用“S.A.S”公理判定ADCCBA，从图中可以得到的条件是_，需要补充的直接条件是_ 【例2】 如图所示，AB=AC，AD=AE.求证：ABEACD.知识点2：“角边角”公理角形全等判定二：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等（“角边角“A.S.A”）【注意】 在说明两个三角形全等时，如果已知元素是两个角和它们的夹边对应相等，直接能说明两个三角形全等，在实际解题过程中，我们一定要结合图形、牢记题设，努力找出能使两个三角形全等的条件，在说明时一定要加强对夹边的认识。如果知道两个三角形有两个角及一条边分别对应相等，则这两个三角形一定全等，这时应注意有两种不情况：一种情况是两个角及两角的夹边(ASA)；另一种情况是两个角及其中一角的对边，如图。 【例3】 如图所示，O是AB的中点，A=B，AOC与BOD全等吗？为什么？【例4】 如图所示，点D、E、F、B在同一直线上，AB/CD，AECF，且AE=CF，BD=10,BF=2,则 EF=_知识点3：“边边边”公理三角形全等判定三：三边对应相等的两个三角形全等（ “边边边”或“S.S.S”）。三边对应相等的两个三角形全等，这是唯一没有牵扯到角的三角形判定法，依此法，我们可以知道确定三边，就可以得到一个唯一的三角形，这正是三角形稳定性的体现，在实际的解题过程中，要根据已知条件，找出对应边，使它们相等，从而利用这个判定【例5】 如图所示，点B,E,C,F在同一条直线上，AB= DE，AC= DF ,BE=CF，那么ABCDEF吗？知识点4：三角形的稳定性当一个三角形的三边的长度一定时，这个三角形的形状、大小就能完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性【注意】 角形的这一性质在生活中有着广泛的应用例如马路上路灯的支架、桥梁的结构、房屋结构等 三角形的稳定性依据是“边边边”这一条件。【例6】 如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几匠何原理是（ ）(A) 三角形的稳定性 (B)两点之间线段最短 (C)两点确定一条直线 (D)垂线段最短 【例7】 如图所示的图形中，哪些图形具有稳定性？知识点5：“角角边”公理三角形判定四：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（ “角角边”或“A. A.S”）【注意】 此种判定法“A.A.S”和第二种判定法“A.S.A”可以互相转化，可以根据三角形的内角和定理得出，在“A.A.S”中，一个要看准两个角，再者看准一条边，这条边必须是两角其中一角的对边，此种判定法和“A.S.A”判定法互相融会贯通，了解其中的条件与联系，有助于我们解题.【例8】 如图1和图2所示，ABCABC，AD和AD分别是ABC和ABC的高，那么AD=AD吗？知识点6：“斜边直角边”公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等(H L)【注意】 “HL”只适用于直角三角形 “边边角”对于一般三角形不一定适用，但对于直角三角形却适用，这里的角一定是直角才行在平时的学习中，我们还发现“边边角”对于钝角三角形也适用，不过，这里的角一定是钝角才行 S. A.S、A. S.A、S.S.S、A. A. S在直角三角形中都适用【例9】 如图所示，在RtABC的斜边BC上截取CD =CA，过点D作DE BC交AB于E ，则有（ ）(A) DE=DB ( B) DE=AE (C)AE=BE (D)AE=BD【例10】 在RtABC和RtABC中，C=C= 90o，下列可根据所给条件能判定RtABCRtABC AC=AC , A=A ; AC=AC，ABAB，；ACAC，BC=BC，AB=AB，A=A(A)1 (B)2 (C)3 (D)4综合应用：【例1】 如图所示，BE、CD、AF相交于F，B=C，12求证：DF= EF.【例2】 已知：如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2求证：ABDACE.【例3】 求证三角形的一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等【例4】 如图所示，要在湖的两岸A,B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案1) 画出测量图案；2) 写出测量步骤；（测量数据用字母表示）3) 计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）【例5】 如图所示，在ABC中，M在BC上，D在AM，AB=AC，DB=DC.问BMCM吗？说明理由【例6】 如图所示，ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，ED、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，请说明BE=CF【例7】 一次某校请一位探险家作报告，探险家讲述了他们的一次经历：在一次高原探险中，他们来到了峡谷地带，在他们前进的方向上有一条比较宽的峡谷，为了越过峡谷，探险家们希望能测一下峡谷的宽度，在没有任何测量工具的情况下怎样才能大约知道峡谷的宽度呢？在困难面前，探险家们积极动脑想出了下面的办法：如图所示，从峡谷的对面选择一个参照物，他们发现在峡谷口不远处有一块大石块，于是一位探险家甲面向大石头站好，然后蹲下并调整登山用的手棒，手棒一头触地，并和地面垂直，使视线通过手棒的上端正好落在大石块的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，让另一位探险家乙顺着他的视线方向向前走，走到使视线落到探险家乙的脚处时停止；接着让探险家乙步测回来，这个距离就是峡谷的宽度，你能说明其中的道理吗？【例8】 如图所示，已知ABCABC，AD、AD分别是这两个三角形的BC和BC边上的中线问：(1)3AD=AD成立吗？为什么？(2)若AD，AD分别是这两个三角形的角平分线，AD=AD成立吗？为什么？(3)若AD、AD分别是这两个三角形的高，AD=AD成立吗？为什么？【例9】 已知：如图所示，C为BE上一点，点A,D分别在BE两侧，ABED，AB=CE,BC=ED求证：AC=CD.【例10】 已知：点O到A.BC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC(1) 如图，若点O在边BC上，求证：AB=AC(2) 如图，若点O在ABC的内部，求证：AB=AC(3) 若点O在ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示思维误区：本节知识在理解和运用中常见的错误有：1.对s.s.s.公理掌握不熟练而错用s.s.s公理，对三角形全等的各种判定方法不能灵活运用，不能分析条件，准确判断两个三角形是否全等。2.对A.S.A公理或A.A.S定理中“边”夫人内涵理解不清，对公理或定理错用。A.S.A公理或A.A.S定理中的边是指两对等角的夹边或其中一对等角的对边，只注意到必须有两对角相等，而忽略了对A.S.A公理或A.A.S定理中边的重视导致出错。认真分析全等三角形的条件，是避免出现错误的有效措施。3.误认为H.L公理适用一切三角形，而错用H.L公理。【例11】 如图所示，AE=AC，AB=AD，EAB=CAD求证：B=D【例12】 如图所示，点E、F在BC上，BE= CF，AB=DC，B=C，AF与DE相等吗？疑难问题我们知道，利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，就需要根据条件通过辅助线构造全等三角形，构造全等三角形的方法主要用翻折、旋转、平移。1 平移法构造全等三角形【例1】 如图所示，在四边形ABCD中，AC平分DAB，若ABAD，DC = BC.求证：B+D=180o2 翻折法构造全等三角形【例2】 如图所示，已知ABC中，AC=BC，ACB=90o，BD平分ABC 求证：AB=-BC+CD.3 延长法构造全等三角形【例3】 如图所示，在ABC中，C=2B，BAD=CAD求证：AB=AC+CD.第3节等腰三角形14. 5等腰三角形的性质知识点：等腰三角形的性质1 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）【注意】 等腰三角形性的质定理1的作用在于说明同一个三角形的两个底角相等【例1】 如图，在ABC中，AB =AC，D在BC上，且BD=AD，DCCA求：B的度数2 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边【注意】 等腰三角形的性质定理2，简称“三线合一”，其中三线是指顶角平分线、底边上的中线和底边上的高，在等腰三角形中，上述“三线”若出现“一线”，则其余“两线”也同时出现由“三线合一”的性质，我们还可三个真命题：(1) 等腰三角形的顶角平分线，垂直于底边，并且平分底边；(2) 等腰三角形底边上的中线，平分顶角，且垂直于底边；(3) 等腰三角形底边上的高，平分顶角，且平分底边；【例2】 如图所示，已知，AB=AC，D,E为线段BC上的点，且有AD=AE.求证：BD =CE.【例3】 如图所示，在ABC中，AB=AC，O是ABC内的一点，且OB=OC.求证：AO BC. 综合应用：【例1】 在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，根据下列条件。求各角的度数：(1) 有一个角是60o，求另外两个角的度数.(2) 有一个角是70o，求另外两个角的度数(3) 有一个角是90o，求另外两个角的度数【例2】 如图所示，AC=AD，BC=BD，AB、CD相交于点O，说出AO与CD垂直，CO与OD相等的理由【例3】 已知等腰三角形的一个内角为70o，求它一腰上的高与底边所夹的角的度数（请根据已知条件和结论要求画出示意图）【例4】 等腰三角形周长30 cm，(1) 若腰长x cm，则底边长_cm，x的取值范围_cm(2) 若底边长a cm，则腰长_cm，a的取值范围_cm【例5】 如图所示，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，BC=2CE，AD=AE，说明AE EC的理由【例6】 已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD，求证：AC【例7】 如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，1=2，3=4.求证：（1）ABCADC（2）BO=DO【例8】 小马虎的逻辑！若一个等腰三角形的一个角是另一个角的两倍，求这个三角形的三个内角的度数小马虎是这样解的：设这个等腰三角形的顶角为xo，根据已知底角为2xo，由三角形的内角和等于180o，得x+2x+2x=180o解方程，得x=36，则2x= 72，所以三个内角为36o、72o、72o，欲问如此解题理由？小马虎答，因为等腰三角形的底角大于顶角，请问小马虎的逻辑是否正确？说出你的理由疑难问题添做辅助线有时根据已知条件和给定的几何图形说理比较困难，可以在原来的图形上通过添做辅助线，把已知条件和需要说明的结论，相对集中到一起，给予解决。【例9】 如图所示，AB= CB, BAD=BCD，AD与CD是否一定相等，为什么？14.6等腰三角形的判定知识点：等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法有：一是定义；二是等角对等边；三是线段垂直平分线的性质【注意】 区分等腰三角形的性质与判别方法，在解题中不要混用【例1】 如图所示，在ABC中，BAC=90o，ADBC于D，BE平分ABC交AD于F求证：AEF是等腰三角形综合应用：【例1】 判断下列各题中用阴影表示的图形是否是等腰三角形，并说出理由。如图14-6-3所示，OC平分AOB，DE/OB如图14- 6-3所示，OC平分AOB，GFOA如图14-6-3所示，OC平分AOB，PQ/OC.如图14-6-3所示，OC平分AOB，RSOC【例2】 如图所示，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，E、F是垂足，AD、EF相交于点H(1) 说出AEF是等腰三角形的理由；(2) AD所在直线是否是等腰三角形AEF的对称轴？为什么？【例3】 第三问难倒了小马虎！小灵三问小马虎：D是ABC中BC边上一点，联结AD如图所示一问：若1=2，ADBC，D是垂足，那么ABC是等腰三角形吗？二问：若BD= DC,，ADBC，D是垂足，那么ABC是等腰三角形吗？三问：若1=2，BD=DC，那么ABC是等腰三角形吗？小马虎顺利地完成了第一、第二问的说明，却被第三问难倒了试问：你能完成前两问吗？能解决第三问吗？【例4】 如图所示，在ABC和DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=DB（1） 求证：ABCDCB（2） ABC的形状是_(直接写出结论，不需要证明)【例5】 文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图所示）她们对各自所做的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作ABC的角平分线AD”数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正”(1) 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；(2) 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程【例6】 如图所示，在ABC中，AB=AC.,D是AB边上的一点,DEBC，E是垂足，ED的延长线交CA延长线于点F，说出AFD是等腰三角形的理由【例7】 如图所示，ABC是一个三角形纸片，AB=AC，且B=72o(1) 你能否把ABC分割成三个等腰三角形的纸片？请画出分割图形；你能画出几种？(2) 如果将ABC分割成四个等腰三角形纸片，又可怎样分割呢？14. 7等边三角形知识点1：等边三角形的性质等边三角形是最特殊的三角形，它具有等腰三角形的所有性质，同时又有它本身所特有的性质：如三个角都是60o，三条边都相等，其他如高、角平分线、中线等都是相等的，等边三角形有特殊的对称性：是轴对称图形对称轴，且有三条对称轴【例1】 如图所示，P、Q是ABC的边BC上的两点，且BP= PQ= QC=AP=AQ，求BAC的度数知识点2：等边三角形的判定三角形的判定方法：1 三条边都相等2 三个角都相同3 有两个角是60o4 有一个角是60o的等腰三角形【注意】 对“有一个内角为60o”进行了分类讨论，这也是等腰三角形的特点决定的，等腰三角形的角分为两种：底角和顶角。所以，当问题涉及等腰三角形的内角时，要对这个内角是底角或顶角进行分情况讨论。【例2】 如图所示，在ABC中，ACB=120o，CD平分ACB，AE/DC，交BC的延长线于点E，试说明.ACE是等边三角形综合应用：【例1】 如图所示，在等边三角形ABC所在平面上找点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形【例2】 如图所示，ABC、ADE都是等边三角形，试问线段BD、CE相等吗？为什么？【例3】 如图所示，ABC是等边三角形，BD是AC边上中线，延长BC到E，使CE=CD，那么线段BD和DE相等吗？为什么？【例4】 如图所示，在ABC中，ACB=90oAEC和BCF都是等边三角形(1) 延长EC交F