申请留学的策略.doc

申请留学的策略摘要本文主要研究了如何用数学的方法来分析解决生活中一个非常普通的问题申请留学和录取学生的策略问题。通过对问题的分析建立了几个简单的数学优化模型，同时搜集到一些调查数据代入后，对之求解，从而得出了学校应发“offer”的最优数量和学生申请学校个数的最优解。首先根据问题一，我们能确定发放offer数量B的范围即，从题中我们找到了影响B的两个重要因素1）由学校的知名度决定其愿意去该学校的概率为；2）接到offer以后再申请签证的过程中，拒签率为。通过假设将模型简化后得到。然后针对问题二我们运用数理统计的概念，以费用最低和能成功录取为目标，建立了一个多目标规划模型 ，根据相应的条件代入，即得到了申请学校的个数。最后我们使用MATLAB软件将算得的数据与现实中真是的数据相比较，发现存在一些差距，通过分析我们找到引起误差的一些原因，主要是假设和变量因素导致。尽管存在着一些不足，不过就问题中的条件和要求而言，本模型的实用性和适用性非常广泛。它的绝大部分量都是通过调查得来的，强烈地依赖于现实中的数据，而且对于类似的问题也可以同样用数字代入而极其方便的获得相应的决策。我们还将模型进行推广，在普通的学生升学与学校招生的问题，毕业生应聘与公司招聘问题上也可以使用这一普遍模型。总而言之，任何事物都存在两面性。模型考虑的因素越多就越接近于实际情况，但是，它的指导意义和可模拟性也就越差。所以，模型可以适当地改进，但是不应该过多地考虑不太必要的因素。【关键词】：初等模型，最优化模型，有约束多目标规划一、问题重述当下选择出国留学学生越来越多，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请签证费。当所申请的学校发来”offer”时，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但有两个因素必须考虑（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。因此，学校实际发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。然而学校知名度不同，选择去的人数比例也会不同。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校就没有办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。当前的情况为：（1）学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。（2）学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。（3）签证被拒的比例在上升。（4）所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。现假设奖学金经费C确定，求对学校来说发多少封“offer”才最佳。对学生来说应该向多少个学校提出申请才能使申请过程中的所有费用（申请的学校越多，费用越高）最低，同时还能去一个理想的学校。二、问题及背景的分析本文的问题实际上时利用建立优化模型的数学方法解决实际问题：即在给定的限制因素下，求出一个最优解。针对问题一，在学校奖学金经费C确定的情况下，考虑引起出现无效“offer”的各种因素（比如学生的偏好，顺利拿到签证的概率等），使学校发出适量的“offer”满足学校的生源平衡。针对问题二，在学校录取学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定的条件下，由于学生资金有限，为了达到申请成本最低，同时又能使学生上一所理想的学校，这就要求提供最优申请学校的数量。三、符号说明与模型假设1.符号说明：表示第所学校最终决定发放的“offer”封数；表示第所学校总奖学金经费；表向第所学校提交申请的总人数；表示第所学校向每个被录取的留学生发放的奖学金数量；表示学生对第所学校的“offer”的接受率（即收到学校的“offer”后，愿意去该第所学校的概率。）；表示从开始申请到签证始的第天的拒签率；为01变量，当取0时，表示该学生未向第所学校交纳申请费，当取1时，表示该学生向第所学校交纳申请费，；表示某个学生向第所学校提交申请时，向其交纳的申请费用，；表示某个学生向多个学校提交申请时交纳的总费用；表示某个学生在向多个学校递交申请的情况下，能最终获得录取的概率；上述大部分符号在模型建立以及模型的求解的过程中看作已知量，其实是可以通过民政部门以及办理出国留学生的单位获取的，因此通过模型求解可以求学校发出“offer”的最佳数量以及学生提交申请的最佳数量，即求的最优策略。2.基本假设：（1） 一个学校只能向一个已交纳申请费得学生发一封“offer”。（2） 对每个学校来说，学生个体间具有无差别性，（即每个递交申请的学生都是平等的给提，无好坏、优秀的区别）。（3） 假设签证被拒签的比例随时间推移而上升。（4）学校发出的每封“offer”学生都能收到。四、模型建立与求解问题1：由题意可以知：当奖学金经费定为C的学校向每个被录取的留学生发放奖学金的数额为m时，则理论上该学校最大也是最理想的录取人数为；设学生接收到学校发来的offer后，由学校的知名度决定其愿意去该学校的概率为，而且；接到offer以后再申请签证的过程中，拒签率为（现假设为一常量）；B表示学校实际向学生发出的offer数量；D表示已向该所学校交纳申请费得学生的总人数；再者所有学校都必须先交申请费，再决定是否发放offer，则由以上可以确定B的范围：；由此可知，知道B为学校最终发放offer的数量，而在整个学生录取的过程中，导致某些收到offer后又没向学校报到的因素有以下两个：1、 学生收到了多封offer故没去报到（即学校的知名度产生影响）。2、 由于签证因素导致收到了offer却没能去报到。考虑到这两个因素影响所有实际的录取人数应该表示为。而最佳的offer发放方案就是要求：，且在数值上尽量的靠近；考虑B和间的关系：当增大时，发出offer会录取的比例提高，那么B取值应该趋向于；当减少时，随着offer会录取的比例的减少，B的取值应该趋向于D，以保证满足学校生源。根据此可得： （1）式， （2）式，因此由（2）式可得到，代入（1）式得到： 即： 解得： （*）又有： 经过调查，将取得的数据代入上面的（*）式可以解出B的值，再由条件：的限制，可以判别B值合理性是否成立，符合则保留，否则，舍去。这样，就可以将第一问的问题解决。因为拒签率在逐天上升而不是个常量，故应该对进行更详细的分析，令可交纳申请费得天数为第一天交纳申请费时的拒签率为，依次类推，第天时拒签率为，对取平均值，将代入（*）式得：即当奖学金经费C确定后，学校应该发放offer的数量。我们借助MATLAB软件，计算结果如下当除奖学金经费外，其他值都为合理的常数时，可以得到一定范围内奖学金经费的值与最终决定发放offer的数量的相关性。拒签率=0.15 申请人数=300 奖学金数目=15000奖学金经费取值在500000至3000000之间 程序如下：m=15000b=0.15d=300c=500000:20000:3000000l=m*d*(1-0.15)q=4*(1-0.15)*m*(c*d-c.*c/m)k=l*l-qj=sqrt(k)w=l-jz=l+ju=2*m*(1-0.15)g=w./uf=z./uplot(c,f)plot(c,g)xlabel(奖学金经费);label(发放offer数); 经计算结果分析，f的值随奖学金经费的增加反而减小，与现实情况明显不符合，g的值更为合理当除申请人数外，其他值都为合理的常数时，可以得到一定范围内申请人数的值与最终决定发放offer的数量的相关性。拒签率=0.15 奖学金经费=1000000 奖学金数目=15000奖学金经费取值在150至500之间 程序如下：m=15000b=0.15c=1000000d=120:5:500l=m*d*(1-0.15)q=4*(1-0.15)*m*(c.*d-c*c/m)k=l.*l-qj=sqrt(k)w=l-jz=l+ju=2*m*(1-0.15)g=w./uf=z./uplot(d,f)plot(d,g)xlabel(申请人数);label(发放offer数);经计算结果分析，f的值一直在随着申请人数的增加而增加，没有减缓或者倒退的迹象，相比较g的值更为合理当除每位学生奖学金数量外，其他值都为合理的常数时，可以得到一定范围内每位学生奖学金数的值与最终决定发放offer的数量的相关性。拒签率=0.15 申请人数=300 奖学金经费=1000000每位学生奖学金数取值在10000至35000之间 程序如下：b=0.15d=300c=1000000m=10000:100:35000l=m*d*(1-0.15)q=4*(1-0.15)*m.*(c*d-c*c./m)k=l.*l-qj=sqrt(k)w=l-jz=l+ju=2*m*(1-0.15)g=w./uf=z./uplot(m,g)plot(m,f)xlabel(每位学生奖学金数量);label(发放offer数);经计算结果分析，g的值更为合理问题2：表示学生向第个学校提交申请时，向其交纳的申请费用。则该学生向学校提交申请而需要交付的总费用可以表示为；（或）被第所学校拒绝签证的概率为： 所以被所有的学校都拒绝签证的概率为：那能够被录取的概率就应该为：若要满足题目中的要求，则需要使得总费用达到最小，；而且能够被录取的概率达到最大，这样我们就得到一个多目标规划： 学生一般比较注重录取率，所以我们觉得费用和录取率这两个目标大致三七开，则该问题的数学模型为： 然后,将经过调查得来的数据代入模型中,再利用MATLAB工具对模型法进行求解便可以得出最优解和最优值. 用MATLAB对模型直接求解。相关值都为合理的常数时，可以得到一定范围内学生发出申请数与申请成功和申请总费用的关系拒签率=0.15 申请人数=300 录取人数=100平均每份申请的费用=150投放申请数量在1至20之间申请总费用=平均没烦恼申请费用申请数量呈现线性关系学校拒绝签证的概率为： q=1-(100/(300+1) 所以被所有的学校都拒绝签证的概率为： qn那能够被录取的概率就应该为: 1-qn 学生一般比较注重录取率,所以我们要求使录取率在70%以上经计算得到申请数量要在3份以上若要满足题目中的要求，则需要使得总费用达到最小；而且能够被录取的概率达到最大，这样我们就得到一个多目标规划： 我们觉得费用和录取率这两个目标大致三七开，则该问题的数学模型为： 0.7录取概率的上升值0.3费用超过预期值得比例0根据现在出国留学生的家庭状况，我们假设每位学生出国留学申请费用的预期值为1000。程序如下：b=0.15d=1:1:20g=d*150q=1-(100/(300+1)p=q.df=1-pplot(d,g)plot(d,f)由以上两份图像我们可以得到，申请总费用与申请数呈线性增加的关系。录取概率也与申请数量呈正相关，而且当申请数量增加的量一定是，越后面录取概率的增加量越小。下图为当申请数在1至20时，对应的录取概率的值由建立的数学模型可以得到：当0.7录取概率的上升值0.3费用超过预期值得比例0时，会选择增加申请数量当0.7录取概率的上升值0.3费用超过预期值得比例0当申请数量=4时，增加一份申请后：0.7录取概率的上升值0.3费用超过预期值得比例=0.70.066-0.30.150结果即为：当预期申请费用=1000时，申请数量=4最合理同理，当相关量发生变化时，我们也可以由此方法得到申请数量的合理值。五、模型的误差分析、检验与修正2010年哈弗本科总申请人数是29114人，录取了2175人，其中1663人报道了。其中留学生占11%。哈弗本科学生共有在校学生6375人，其中去年共有4439人申请奖学金，其中有4147人获得奖学金，平均每人获得奖学金41468美元/年，留学生中83%获得奖学金。将上述数值代入模型中：m=41468b=0.15c=m*1663*0.11*0.83d=29114*0.11l=m*d*(1-b)k=l2-4*m*(1-b)*(c*d-c*c/m)u=2*m*(1-b)w=l+sqrt(k)z=l-sqrt(k)f=w/ug=z/uf=w/u结果为：f = 3.0222e+003g = 180.3089由现实数据我们得到哈佛2010年发放给留学生的offer数约等于200。.显然，g的值更加符合现实情况。 由模型得到的理论值与实际值相差20份，说明与实际情况还是比较符合的。通过数据代入得到的B和学生申请学校的个数与真实的数值相比较，得出了以下几点会引起误差的因素和原因：对于问题一：拒签率不是一个常量，在深入分析中，我们假定它是随时间的推移逐渐上升，但不确定其随天数的增加是呈何种函数分布发生变化，本文中用了算术平均来计算拒签率的均值，但也可能要利用积分或加权平均来得到更精确的数，这会使误差在一定范围内减小。对于问题二：1）在假设中我们预先假定学校发出的每一份“offer”学生都能准确无误地收到，但考虑到现实情况，我们无法避免出错的可能性（尽管概率很小）。因而发放的数量不一定等于实际收到的数量，这需要一定的改进。然而这个准确率往往很难估计，也给计算带来一定的麻烦。2）在上述过程中我们假定学生一般比较注重录取率，因而将费用和录取率这两个目标大致三七开，但现实情况可能不是这个比率，也许要根据不同国家留学生的价值观来相应进行调整。六、模型的评价、推广和改进本模型的问题在于，它是在于学校的奖学金费C确定，且直接由经费确定录取留学生的数量，又以学校的知名度决定学生愿意去该所学校的概率和接到offer后在申请留学签证过程中的拒签率为决策变量的情况下作出的分析，而学校的知名度又是一个变化且很难精确确定的数字，而且个人的喜好更是难以确定的，随时可以因各种因素的影响而变化，所以说模型的可信度（即接近实际情况的程度）是一个值得注意的问题。现实中的影响因素可能会远远多于上述列出的因素。不过就问题中的条件和要求而言，本模型的实用性和适用性非常广泛。它的绝大部分量都是通过调查得来的，强烈地依赖于现实中的数据，而且对于类似的问题也可以同样用数字代入而极其方便的获得相应的决策。比如说，普通的学生升学与学校招生的问题，毕业生应聘与公司招聘问题.一些相应的匹配问题都适用这种或类似模型。因此该模型具有很高的可塑性和参考价值。当然，这里考虑的因素还是太少，过于简单。比如说，很有可能没有人对某个学校提