高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项.docx

高中数学讲义求展开式中的特定项知识内容1二项式定理二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： 二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是各项的次数都等于二项式的幂指数字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到几点注意通项是的展开式的第项，这里二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念设，则得公式： 通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值2二项式系数的性质杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和”二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：当时，的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等事实上，这一性质可直接由公式得到增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是，其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，）因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，等值时，的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项这两项的二项式系数相等并且最大，最大为二项式系数的和为，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题典例分析二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等）常数项【例1】 在展开式中，系数为有理数的项共有 项【例2】 的展开式中共有_项是有理项【例3】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例4】 的展开式中的常数项为_【例5】 二项式的展开式中的常数项为_，展开式中各项系数和为 （用数字作答）【例6】 若的展开式中的常数项为，则实数_ 【例7】 在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为 【例8】 在的展开式中，常数项是_（结果用数值表示）【例9】 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则 ，展开式中的常数项的值等于 【例10】 的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_（用数字作答）【例12】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 【例13】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）【例14】 的展开式中，常数项为15，则 【例15】 已知的展开式中没有常数项，且，则_【例16】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）A3个 B2 C1 D0【例19】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）【例21】 的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知的展开式的常数项是第项，则的值为（ ）A B C D【例23】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）【例24】 的展开式中，常数项为15，则 【例25】 展开式中的常数项为_（用数字作答）【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ）A3个 B2 C1 D0【例28】 展开式中的常数项为（ ）ABCD【例29】 求展开式中的常数项【例30】 的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）【例32】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 【例33】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）A B C D 【例34】 在的展开式中常数项是 ，中间项是【例35】 已知的展开式中没有常数项，且，则_【例36】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 【例37】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ）A B C D【例38】 若展开式中的二项式系数和为，则等于_；该展开式中的常数项为_【例39】 若的展开式中常数项为，则_，其展开式中二项式系数之和为_【例40】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A B C D有理项【例41】 求二项式的展开式中：常数项；有几个有理项（只需求出个数即可）；有几个整式项（只需求出个数即可）【例42】 的展开式中共有_项是有理项【例43】 二项式的展开式中：求常数项；有几个有理项；有几个整式项【例44】 已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列求；求展开式中的有理项【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ）A B C D【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则A1 B C D【例47】 的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ）A项B项C项D项【例48】 若（，为有理数），则（ ）ABCD系数最大的项【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列求的值；求展开式中系数最大的项【例50】 展开式中系数最大的项是第几项？【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_ A B C D【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项【例55】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：含的项；系数最大的项【例56】 设，的展开式中，的系数为求展开式中的系数的最大、最小值；对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数【例57】 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项【例58】 展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数和是：该二项展开式中第六项为；该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；当时，除以的余数是其中正确命题的序号是_（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 （用数字作答）【例61】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 【例62】 中，为正