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简单的线性规划问题 问题情境 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天8h计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 问题1 用不等式组表示问题中的限制条件 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由已知条件可得二元一次不等式组 1 问题2画出不等式组所表示的平面区域 如图 图中的阴影部分的整点 坐标为整数的点 就代表所有可能的日生产安排 x x 2y 8 0 y x 8 4 0 4 设工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 求z的最大值 几何画板 问题 3 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 变形 问题可以转化为 与不等式组 1 确定的平面区域有公共点时 在区域内找一个点P 使直线经过点P时截距最大 形成概念 y x 4 8 4 3 o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数 因为它是关于变量x y的一次解析式 又称线性目标函数 满足线性约束的解 x y 叫做可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 统称为线性规划问题 一组关于变量x y的一次不等式 称为线性约束条件 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解 可行域 可行解 最优解 深化概念 问题1 上述问题中 若生产一件甲产品获利3万元 生产一件乙产品获利2万元 又该采用哪种生产安排 利润最大 问题2 有上述过程 你能得出最优解与可行域之间的关系吗 例5 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物A和食物B多少kg 分析 将已知数据列成表格 应用举例 解 设每天食用xkg食物A ykg食物B 总成本为z 则 目标函数为z 28x 21y x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 M M点是两条直线的交点 解方程组 得M点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 答 每天食用食物A143g 食物B约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 由图知 当直线z 28x 21y经过可行域上的点M时 截距最小 即z最小 解线性规划问题的步骤 2 移 在线性目标函数所表示的一族平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程组求出最优解 4 答 作出答案 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 直线x y 12经过的整点是B 3 9 和C 4 8 它们是最优解 作出直线L x y 0 目标函数 z x y A 3 6 7 8 当直线L经过点A时z x y 11 4 x y 12 解得交点B C的坐标B 3 9 和C 4 8 但它不是最优整数解 作直线x y 12 答 略 画可行域 平移L 找交点及交点坐标 调整优解法 1 满足哪些条件的解才是最优解 2 目标函数经过A 3 6 7 8 时Z的值是多少 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少 例6 在上一节例3中 各截得这两种钢板多少张可得所需A B C三种规格成品 且使所用钢板张数最少 例3 要将两种大小不同的钢板截成 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 今需要 三种规格的成品分别为15 18 27块 用数学关系式和图形表示上述要求 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 经过可行域内的整点B 3 9 和C 4 8 且和原点距离最近的直线是x y 12 它们是最优解 作出一族平行直线z x y 目标函数Z x y 打网格线法 在可行域内打出网格线 当直线经过点A时z x y 11 4 但它不是最优整数解 将直线x y 11 4继续向上平移 1 2 1 2 18 27 15 9 7 8 反馈练习 2 设x y满足约束条件 则 的最大值是 A 3B 4C 3D 4 2 的最小值是 A 3B 4C 3D 4 1 下列目标函数中 Z表示在y轴上截距的是 A B C D 3 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h 2h 加工1件乙设备所需工时分别为2h 1h A B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h 如何安排生产可使收入最大 解 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为z 则目标函数为Z 3x 2y 满足的条件是 当直线经过点M时 截距最大 Z最大 解方程组 可得M 200 100 答 生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 X Y O 400 200 250 500 M Z 3x 2y变形为它表示斜率为 在y轴上的截距为 随z变化的一族平行直线 归纳小结 一 知识点 1 线性规划问题中的基本概念 2 用图解法解决简单