南京师范大学_高等数学_期末试卷20套.doc

南京师范大学南京师范大学 高等数学高等数学 下册下册 期末考试试卷期末考试试卷 1 61 6 学时学时 学号学号 姓名姓名 班级班级 成绩成绩 一 填空题 8 32 4 1 为单位向量 且满足则 a b c 0abc a bb cc a AAA 2 曲线绕 轴旋转所得的曲面方程为 2 0 yx z x 3 设函数 则 22 zxxyy 2z x y 4 球面在点处的切平面方程为 222 9xyz 1 2 2 5 设二次积分 则交换积分次序后得 I 1 00 x Idxf x y dy 6 闭区域由分段光滑的曲线 围成 函数在上有一DL P x yQ x yD 阶连续偏导数 则有 格林公式 7 微分方程的特解可设为 22 x yyye 8 微分方程的通解为 31 dy x dx 二 选择题 15 35 1 设积分区域由坐标面和平面围成 则三重积 D236xyz D dv A 6 B 12 C 18 D 36 2 微分方程的阶数是 34 30y yyyx A 1 B 2 C 3 D 4 3 设有平面和直线 则 与 L 的夹 210 xyz 116 112 xyz L A B 6 4 C D 3 2 4 二元函数在点处满足关系 f x y 00 xy A 可微 指全微分存在 可导 指偏导数存在 连续 B 可微可导连续 C 可微可导 且可微连续 但可导不一定连续 D 可导连续 但可导不一定可微 5 设无穷级数绝对收敛 则 3 1 1 n p n n A B C D 1p 3p 2p 2p 三 计算题 30 6 5 1 设函数可微 求 uf x y z 22 zxy u x u y 2 已知方程确定函数 求 222 43xyyz zz x y zz xy 和 3 求幂级数的收敛域 21 1 2n n n x 4 将函数展开为 的幂级数 1 ln 1 x f x x x 5 求微分方程的通解 2 21 0 x dyxyxdx 四 求函数的极值 8 22 4 2f x yxyxy 五 计算 其中 D 是由直线所围7 2 D yx d yx 2yx 2y 及 成的闭区域 六 求旋转抛物面和锥面围成的立体的8 22 6zxy 22 zxy 体积 期末考试试卷期末考试试卷 2 62 6 学时学时 一 填空题 7 2 4 8 1 已知直线过点 则直线方程为 3 2 4 P 6 3 2 Q 2 函数的定义域是 22 22 ln 9 4 xy f x y xy 3 设函数 则全微分 22 23xy ze dz 4 在内 幂级数的和函数为 1 1 246 1xxx 5 幂级数的收敛半径 1 1 2 n n n x n R 6 设 C 是在第一象限内的圆 则cosxt sinyt 0 2 t C xyds 7 微分方程的通解为 8 160yyy 二 选择题 36 18 1 下列方程表示的曲面为旋转曲面的是 A B 22 1 49 xy 22 2 23 xy z C D 22 zxy 222 24xyz 2 设 则在点处函数 00 0 x fxy 00 0 y fxy 00 xy f x y A 连续 B 一定取得极值 C 可能取得极值 D 全微分为零 3 下列无穷级数中 绝对收敛的是 A B C D 2 1 3 sin 2 n n n 1 1 1 n nn 1 1 1 n n n 2 2 11n n n 4 设积分区域 则二重积分 22 3D xy 3 D dxdy A B 9 3 C D 3 9 5 微分方程的一个特解为 2 2 35 x yyye A B C D 2 5 9 x e 2 5 3 x e 2 2 x e 2 5 2 x e 6 D 是点为顶点的三角形区域 在 D 上连续 0 0 1 0 1 1 f x y 则二重积分 D f x y d A B 11 00 dxf x y dy 11 0 x dxf x y dy C D 1 00 x dxf x y dy 1 00 y dyf x y dx 三 计算题 24 6 4 1 已知 求函数 在点处的偏导数 1 x yzxy z 1 1 P zz xy 和 2 设 具有二阶导数 求 22 zf xy f 2z x y 3 判断级数的敛散性 如果收敛 指出是绝对收敛还是条 2 1 1 1 n n n 件收敛 4 将函数展开为 的幂级数 2 ln 1 f xx x 四 求微分方程的通解 7 2 30 xy dxxdy 五 某厂要用铁板作成一个体积为的有盖长方体水箱 问8 3 2m 当长 宽 高各取多少时 才能使用料最省 六 计算下列积分 1 计算 其中 D 是由抛物线和直线所7 2 D yx d 2 yx 2yx 围成的闭区域 2 设积分区域由上半球面及平面所围成 8 22 1zxy 0z 求三重积分 zdxdydz 期末考试试卷期末考试试卷 3 63 6 学时学时 一 填空题 8 4 32 1 设 则与 同时垂直的单位向量为 2 2 1 a 4 5 3 b a b 2 面上的抛物线绕 轴旋转所得旋转曲面方程为 yoz 2 2zy z 3 若在区域上恒等于 1 则 f x y 22 14Dxy D f x y dxdy 4 设 则其驻点为 22 4 f x yxyxy 5 级数收敛 则 的取值为 1 3 n n q q 6 设而则全导数 sin zuvt cos t ue vt dz dt 7 微分方程的通解为 sin0 y yex 8 设函数 则 1 xzy 1 1 dz 二 选择题 15 35 1 过点 2 8 3 且垂直于平面的直线方程是2320 xyz A B 2 2 8 3 3 0 xyz 283 123 xyz C D 283 123 xyz 283 xyz 2 若函数由方程所确定 则 yy x z x y xyze y x A B C D 1 1 y x xy 1 y xy 1 yz y 1 1 yxz xy 3 二元函数在处的偏导数 和存在 zf x y 00 xy 00 x fxy 00 y fxy 是函数在该点全微分存在的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条 件 4 积分更换积分次序后为 y y dx y x fdy 1 0 A B 1 0 1 0 dyyxfdx x x dyyxfdx 1 0 C D 2 1 0 x x dyyxfdx x x dyyxfdx 2 1 0 5 设 而无穷级数收敛 则下 12nn Saaa 0 1 i ain 1 n n a 列说法不正确的是 A B 存在 lim0 n n a lim n n S C D 为单调数列 lim0 n n S n S 三 计算题 3 6 18 1 曲面上哪一点的切平面平行于平面 22 4zxy 2210 xyz 并写出切平面方程 2 讨论级数的敛散性 若收敛 指出是条件收敛还 1 1 1 21 1 2 n n n n 是绝对收敛 3 将函数展开为的幂级 2 1 22 f x xx 1 x 四 求微分方程的通解 7 2 2 x yyye 五 在所有对角线为的长方体中 求最大体积的长方7 2 3 体 六 计算 其中 D 是由直线 及曲线所7 2 2 D x d y 2x yx 1xy 围成的闭区域 七 计算 其中 D 是由圆及直线7 arctan D yd x 2222 1 4xyxy 所围成的第一象限部分 0 yyx 八 计算曲线积分 其中积分路线 C7 2322 6 63 C xyy dxx yxydy 是由点到点的直线段 1 2 A 3 4 B 期末考试试卷期末考试试卷 4 64 6 学时学时 一 填空题 6 4 24 1 过点并且平行于面的平面方程为 3 2 1 zox 2 平面和的夹角为 280 xyz xoy 3 设 其中为可微函数 则 222 uf xyz f u x 4 交换积分次序 2 24 02 x x dxf x y dy 5 设 为常数 若级数收敛 则 a 1 n n ua lim n n u 6 微分方程的通解为 5 60yyy y 二 选择题 15 35 1 设 和 是向量 则 a b 2 abab A B a b 3a b C D b a 22 3aa bb 2 在内 幂级数的和函数为 1 1 246 1xxx A B C D 2 1 1x 2 1 1x 2 1 1x 2 1 1x 3 二元函数的极小值点是 3322 339zxyxyx A B C D 1 0 1 2 3 0 3 2 4 下列微分方程中 是可分离变量的微分方程为 A B 0 x yxyx y ee dxeedy ln xy dx dy C D 3 0 xdyyx dx 42 2 dyxy dxxy 5 设是沿椭圆 的逆时针路径 则线C cos sin 02 xat ybtt 积分 C ydxxdy A A 0 B 2 C D ab 2 ab 三 计算题 36 6 6 1 求过点 2 0 1 且与直线垂直的平面方程 321 232 xyz 2 设 求 cossin x zeyxy z x 2z x y 3 设 求 ln0 xz zy zz zy xy 4 讨论级数的敛散性 若收敛 指出是条件收敛还是 1 1 1 21 n n n 绝对收敛 5 求幂级数的收敛半径和收敛区间 2 1 3 n n x n 6 求微分方程的通解 tan yy y xx 四 设某工厂生产某产品的数量与所用的两种原料 A B 的数S 吨 量 吨 之间的关系式 现用 150 万元购置原料 x y 2 0 005S x yx y 已知 A B 原料每吨单价为 1 万元和 2 万元 问怎样购进两种原料 才能使生产的数量最多 7 五 计算 其中 D 是由直线与抛物线所围成的闭 2 D x yd yx 2 yx 区域 7 六 计算二重积分 为圆所包围的第一象限 22 xy D Iedxdy D 22 1xy 中的区域 6 七 计算三重积分 其中为三个坐标面几平面12dxdydz 所围成的闭区域 1xyz 5 期末考试试卷期末考试试卷 5 65 6 学时学时 一 填空题 6 2 4 4 1 已知和则与平行的单位向量为 1 2 2 2 M 2 1 3 0 M 12 M M 2 函数在点处沿从点到点的方向的方向 22 zxy 1 2 1 2 2 23 导数为 3 级数的和为 1 1 1 n n n 4 幂级数的收敛半径 1 1 n n nx R 5 微分方程的特解形式可设为 3 69 1 x yyyxe 6 设积分区域 则 222 1xyz dV 二 选择题 34 12 1 方程在空间直角坐标系中表示的图形是 22 0yz A 原点 B 圆 C 圆柱面 D 直线 2 设可微 则 uf xyz u x A B df yz dx x fx y z C D fx y z yz df dx 3 下列级数中 收敛的级数是 A B 12 1 1 n n 1 1 sin n n n C D 1 8 7 n n n 1 1 1 n n n 4 函数驻点个数为 22 6 4 zxxyy A 6 B 5 C 4 D 3 三 计算题 36 6 6 1 求通过 轴和点 4 3 1 的平面方程 x 2 已知 求 xyzxyz dz 3 设 求 ln y zxxy z x z y 4 求微分方程的通解 4 3 x dy xyx e dx 5 求微分方程满足初始条件的特解 2 12xyxy 00 1 3 xx yy 6 将函数在处展开成幂级数 ln 4 f xx 1x 四 从斜边之长为 的一切直角三角形中 求有最大周长的直角三角l 形 7 五 计算累次积分 0 sin y x dydx x 7 六 求旋转抛物面与平面所围成的立体的体积 V 22 4zxy 0z 7 七 利用格林公式计算曲线积分 其中 24 536 L xydxyxdy A 为三顶点分别为 的三角形的正向边界 L 0 0 3 0 3 2 7 期末考试试卷期末考试试卷 6 66 6 学时学时 一 填空题 48 1 设点 A B 则 210 3 0 4 BC 115 AB BC A 2 球面方程的球心坐标为 球半 222 220 xyzxz 径为 3 曲面在点的切平面方程为 22 zxy 1 1 1 2 2 2 4 设 则 grad 222 f x y zxyz f 1 1 2 5 设 则全微分 xy ze 2 1 dz 6 设 L 是抛物线上点与点 B 之间的一段弧 则 2 yx 0 0 1 1 L yds 7 幂级数的收敛半径 1 n n x n R 8 的特解可设为 56 x yyyxe 二 选择题 35 1 下列三元数组中 可作为向量的方向余弦的是 A 2 12 3 33 B 1 1 1 22 C 1 1 1 2 3 D 2 1 3 3 2 2 设 则 xy z xy z y A 2 2 x xy B 2 1 xy C 1 xy D 2 2 y xy 3 幂级数的收敛域为 1 1 1 2 n n n x n A A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 2 4 二元函数在点处的两个偏导数与存 zf x y 00 xy 00 x fxy 00 y fxy 在是函数在该点处可微的 充分而非必要条件 必要而非充分条 A B 件 充分必要条件 既非充分又必要 C D 条件 5 连续 更换积分次序 f x y 2 2 0 y y dyf x y dx A 4 0 2 x x dxf x y dy B 2 2 0 x x dxf x y dy C 4 2 0 x x dxf x y dy D 2 0 2 x x dxf x y dy 三 求点在平面上的投影 6 1 2 0 210 xyz 四 设 其中具有二阶连续偏导数 求 6 2 uf xxy f 2 uu xx y 五 求函数的极值 6 332 327f x yxyxy 六 求微分方程满足初始条件的特解 6 ln x xyy x ye xe 七 判断级数的敛散性 若收敛 求其和 6 1 1 1 n n n 八 求下列积分 1 计算二重积分 其中 D 由圆及7 arctan D y Idxdy x 22 1xy 与所围成的第一象限区域 22 4xy 0yx y 2 计算曲线积分 其中 是以 8 3332 3 L Ixy dxyxydy A L 0 0 O 为顶点的三角形边界 沿逆时针方向 1 0A 0 1B 九 应用题 8 求由曲面和围成的立体的体积 22 2zxy 22 432zxy 期末考试试卷期末考试试卷 7 67 6 学时学时 一 选择题 35 1 直线与平面所成的角为 11 221 xyz 223xyz 0 A 2 B 3 C 4 D 2 点是函数的驻点 有连续的二阶偏导数 00 xy f x y f x y 00 xx Afxy 则在取得极小值的充分条件 0000 xyyy BfxyCfxy f x y 00 xy 是 A 2 ACB 0 A0 B 2 ACB 0 A0 C 2 ACB 0 A0 D 2 ACB 0 A0 3 曲面在点 1 1 1 处的切平面方程为 22 zxy A225 xyz B223xyz C 111 221 xyz D 111 221 xyz 4 一阶微分方程是 sin dy yx dx 可分离变量的微分方程 齐次方程 A B 齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程 C D 5 级数 为不等于零的常数 1 1 1 2 n n k n k 绝对收敛 发散 条件收敛 敛散性与 有关 A B C Dk 二 填空题 4 8 1 设平行四边形两邻边为 则该平行四边形的23 aijk bjk 面积为 2 曲面与平面的交线在面上的投影曲线方程为 22 zxy 1yz xOy 3 设 则在处 222 23326f x y zxyzxyz 1 1 1 xyz fff 4 改变二次积分的积分次序 2 22 12 x x x dxf x y dy 5 设 L 是由围成的区域的正的边界 则 2 1yxy 3342 43 L x yx dxx yx dy A 6 微分方程的通解为 x y dy e dx 7 已知微分方程的特征方程的两个根 则该 0ypyqy 12 2 3rr 微分方程为 8 在内 幂级数的和函数为 1 1 2468 1xxxx 三 已知平面 经过两点且垂直于给定的平面 7 1 1 1 0 1 1 PQ 求平面 的方程 0 xyz 四 已知且具有二阶连续偏导数 求 8 zf xy xy f u v 2 zz xx y 五 解方程 7 dy xy dx 六 1 设区域 D 由抛物线及直线围成 求 D 的 8 2 2yx 4yx 面积 A 2 计算 其中 D 由圆周围成的区 8 22 4 D xydxdy 22 2xyx 域 七 求幂级数的收敛半径和收敛区间 7 1 21 1 2 n nn n x n 八 造一个无盖的长方体水槽 已知它的底部造价每 平方米为 8 18 元 侧面造价为每平方米 6 元 设计的总造价为 216 元 问 如何选择长方体水槽的尺寸 才能使水槽的容积最大 期末考试试卷期末考试试卷 8 68 6 学时学时 一 填空题 5840 1 x y 2 0 sin lim xy y 2 设都是单位向量 且满足 则 a b c 0abc a bb cc a 3 则 22 ln zxy dz 4 设 L 是曲线上从点到的一段弧 则 2 2yxx 0 0 O 2 0 A L ydxxdy 5 幂级数的收敛区间为 1 1 n n x n 6 函数在点的梯度为 222 ln uxyz 1 2 2 M 7 交换积分次序 2 00 x dxf x y dy 8 方程的通解为 20 xdyydx 二 选择题 35 15 1 曲线在面上的投影曲线是 222 1 1645 230 xyz xz xOy A 22 441270 0 yzz x B 22 20241160 0 xyx z C 22 441270yzz D 22 20241160 xyx 2 二元函数在点处成立的关系是 f x y 00 xy 可微 指全微分存在 可导 偏导数存在 连续 A 可微可导连续 B 可微可导且可微连续 但可导不一定连续 C 可导连续 但可导不一定可微 D 3 设曲线 L 是从点到的直线段 则 1 0 A 1 2 B L xy ds 0 2 A2 2 B C D2 4 微分方程具有以下形式的特解 32 x yyye A x yAe B x yAxB e C x yAxe D x yABe 5 下列级数中收敛的是 A 1 1 3 n n B 1 1 n n n C 1 1 1 n n n n D 1 1 1 n n n 三 求过直线和点 0 0 0 的平面方程 6 L 32 32 xy z 四 求 7 1 y zxy 2 zz xx y 五 求在约束条件下的极值 6 22 5zxy 1yx 六 计算 D 是由 围成的区域 6 D ydxdy 2 2yx 2x 七 计算 其中是由曲面及围成的闭区域 6 2dv 22 2xyz 2z 八 将函数展开成的幂级数 7 1 f x x 3 x 九 求微分方程满足初始条件的特 7 2 21 0 x dyxyxdx 1 0 x y 解 期末考试试卷期末考试试卷 9 69 6 学时学时 一 选择题 35 1 在空间直角坐标系下 方程的图形表示 350 xy 通过原点的直线 垂直于 轴的直线 A Bz 垂直于 轴的平面 通过于 轴的平面 Cz Dz 2 设是由方程确定的函数 则 zz x y 0 z exyz z x A 1 z z B 1 y xz C 1 z x z D 1 y xz 3 设 L 是 D 的正向边界 则 12 23xy 2 L xdyydx A 1 2 3 0 A B C D 4 交错级数 1 11 n n nn 绝对收敛 发散 条件收敛 可能收敛 A B C D 可能发散 5 下列微分方程中可分离变量的方程的是 A 2 yxy B 2 xdxdyy dxdy C 22 xydxyxdy D x y yxe 二 填空题 48 1 已知两点 间的距离为 17 则 4 7 1 A 6 2 Bzz 2 设 在点处 22 252f x y zx yxyzxyz 1 1 1 2 f x y 3 设函数 则的驻点为 22 2f x yxyy f x y 4 D 是由围成 则化成极坐标下的累次积分 22 2xyy D f x y dxdy 为 5 微分方程的通解为 23yy 6 幂级数的收敛区间为 1 2 1 1 1 n n n x n 7 设区域 D 则二重积分 22 14xy D dxdy 8 幂级数在区间的和函数为 0 n n x 1 1 三 用拉格朗日乘数法求周长为 20 的矩形面积最大的一个 7 四 设 求 7 ln xz zy zz xy 五 求旋转抛物面在点的切平面及法线方程 8 22 1zxy 2 1 4 六 计算 其中 D 是直线围成的图 8 2 D xy dxdy 1 0 0 xyxy 形 七 求幂级数的收敛区间 并求其和函数 7 0 1 n n nx 八 解微分方程通解 8 2331yyyx 九 计算积分 其中为平面和坐标面所 8 xyd 1 1 1xyz 围成的第一卦限内的闭区域 期末考试试卷期末考试试卷 10 610 6 学时学时 一 填空 4 8 1 直线和直线之间的夹角 1 13 141 xyz L 2 3 221 xyz L 2 函数在点沿向量的方向导数 322 21zxx yxy 1 2 P34lij P z l 3 设则 sin xy ze dz 4 计算 其中 L 是抛物线上点到点的一段弧 L yds 2 yx 0 0 O 1 1 B 5 改变二次积分的积分次序 2 2 0 y y dyf x y dx 6 已知级数的前 项部分和 则 1 n n u n 2 1 n n s n n u 7 函数展开成 的幂级数是 2xf x x 8 微分方程的特解为 2 0 0 x x o tydtxy y 二 选择题 3 5 1 已知为的一个解 则 x ye 20yayy a 1 2 A0 B C1 D 2 曲面在点处的切平面方程为 22 zxy 1 1 2 A A40 xyz B2220 xyz C2260 xyz D0 xyz 3 二元函数在点处存在偏导数是在该点连续的 f x y 00 xy 充分必要条件 充分而不必要的条件 A B 必要而不充分的条件 既不充分也不必要的条件 C D 4 设区域 D 由围成 化成极坐标下的累次积分 22 2xyy D f x y d 为 A 2sin 00 cos sin df rrrdr B 2cos 00 cos sin df rrrdr C 2sin 2 00 2 cos sin df rrrdr D 2cos 00 cos sin df rrrdr 5 下列级数中 绝对收敛的是 A 1 1 1 1 n n n B 1 1 2 1 2n1 n n n C 1 2 1 1 1 1 n n n D 1 1 1 1 1 n nn 三 1 设 其中具有二阶连续偏导数 求 7 2 y ufx y x f 2 uu xx y 2 求幂级数的收敛域 7 1 3 n n x n 四 将函数展开成 的幂级数 6 ln 1 f xx x 五 求的通解及满足初始条件的特 6 44yy 1 0 00 yy xx 解 六 判定级数的敛散性 若收敛 是条件收敛还是绝 6 2 1 1 1 n n n 对收敛 七 用铁板制作一个容积为 3的无盖长方体水箱 问当水箱 7 3 32m 的长 宽 高分别为多少米时用料最省 八 求由曲面所围成的立体的体积 7 22 1zxyz 九 计算曲线积分 其中 L 为有向折线 7 L Iydxyx dy ABO 其中 A B O 三点依次为 方向 1 1 0 1 0 0 ABO 期末考试试卷期末考试试卷 11 611 6 学时学时 一 选择题 3 5 15 1 母线平行于 轴的柱面方程是 z A B 22 2xyx 22 xyz C D 22 4xz 22 4yz 2 函数在点处 22 4 f x yxyxy 2 2 A 有极小值 B 有极大值 C 无极值 D 是否有极值无法判 断 3 当 时 则围成区域的是 1 D dxdy D A 轴 轴及 B 及 xy220 xy 1 2xx 3 5yy C D 1 1 2 xy 22 1xy 4 设级数收敛 则级数 1 n n u 1 n n u A 必收敛 且收敛于的和 B 不一定收敛 1 n n u C 必收敛 但不一定收敛于的和 D 一定发散 1 n n u 5 微分方程的通解为 cossinydyxdx A B sincosxyC cossinxyC C D cossinxyC cossinyxC 二 填空题 4 6 24 1 函数的驻点为 22 2 f x yxyxy 2 平面和面的夹角为 280 xyz xoy 3 设且可微 则 x y zf fdz 4 设与 平行 且 则 22aijk b 36a b b 5 若幂级数在处条件收敛 则该级数的收敛半径 1 3 n n n a x 1x R 6 微分方程的通解是 2 1 1 y y xxx 三 计算题 7 428 1 设是由方程所确定的隐函数 求 zf x y 2 sin 0 z exyxz x z 2 求微分方程满足初始条件的特解 2yy 00 0 1 xx yy 3 求幂级数的和函数 1 1 n n nx 4 选择适当的坐标系 计算二重积分 由 22 ln 1 D xyd D 与坐标轴围成的第一象限的部分 22 1xy 四 7 已知 求证 arcsin yx z xy 0 zz xy xy 五 8 求过点且与直线 垂直相交的直线 2 1 3 P 1 l 72 352 xyz 的方程 l 六 8 计算三重积分 其中为三个坐标面及平面 zdxdydz 所围成的闭区域 1 zyx 七 1 5 证明曲线积分在 3222 2cos 1 2 sin3 L xyyx dxyxx ydy 面上与路径无关 xOy 2 5 计算 为抛物线上由点到的一段弧时的L 2 2xy 0 0 1 2 积分值 期末考试试卷期末考试试卷 12 612 6 学时学时 一 选择题 3 5 15 1 设 且 则 4 2ab 4 2a b a b A B C 2 D 2 24 2 2 2 2 函数在偏导存在与可微的关系是 zf x y 00 xy A 偏导存在一定可微 B 可微则偏导未必存在 C 偏导存在一定不可微 D 可微则偏导一定存在 3 二次积分交换积分次序后可以化为 2 1 00 x x dxf x y dy A B sin 2 00 cos sin df rrrdr sin 2 00 cos sin df rrdr C D cos 2 00 cos sin df rrrdr cos 2 00 cos sin df rrdr 4 微分方程是 cos 1 sin0 x ydxeydy A 可分离变量的微分方程 B 齐次方程 C 一阶线性微分方程 D 二阶微分方程 5 设级数收敛 其和为 则的和为 1 n n a 1 2 1 3 2 1 4 n n n n n a A 1 B C D 10 7 4 7 2 二 填空题 4 6 24 1 设是围成的平面区域 将二重积分D 2 4 0 0yyxxx 化成先对 后对 积分的二次积分为 D f x y dxdy xy 2 直线与直线的夹角为 1 5 18 2 y Lxz 2 6 23 xy L yz 3 函数在点处沿从点到点的方向的方向导 2y zxe 1 0 P 1 0 P 2 1 Q 数为 4 微分方程的通解是 30 xyy 5 是数项级数收敛的 条件 lim0 n n a 1 n n a 6 设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 L 2 1yx 22 L xyds 三 计算题 1 6 已知 求 22 xyzxy u x 2 6 求过点 和的平面 的方程 1 2 1 4 M 2 1 3 2 M 3 M 0 2 3 3 6 设具有连续偏导数 且 求全微分 f u v 2 2 xy zfxye dz 4 6 讨论级数的敛散性 若收敛 指出是条件收敛还 1 1 1 1 3 n n n n 是绝对收敛 5 7 设是由所围成的平面区域 又二重积D 0 0yxa yx 0a 分 求 的值 68 D ydxdy a 6 7 求幂级数的收敛半径和收敛域 1 1 2 n n n x n 7 7 求微分方程满足初始条件的特解 3 2yy 1 0 0 yy 四 应用题 1 8 在抛物线求一点 使其到直线的距离最短 2 yx 20 xy 2 8 求由旋转抛物面与平面围成的空间立体的体 22 zxy 4z 积 期末考试试卷期末考试试卷 13 613 6 学时学时 一 选择题 3 5 15 1 方程表示旋转曲面 它的旋转轴是 222 330 xyz A 轴 B 轴 C 轴 D 轴xyzx 或 轴 y 2 已知的两个偏导数存在 且 则 f x y 0 0 xy fx yfx y A 当 不变时 随 的增加而减少 y f x yx B 当 不变时 随 的增加而增加 y f x yx C 当 不变时 随 的增加而增加 x f x yy D 上述论断均不正确 3 下列级数中 绝对收敛的级数是 A B 1 1 1 1 n nn 1 1 2 1 21 n n n n C D 1 2 1 1 1 1 n n n 1 1 1 1 1 n nn 4 下列各式中是二阶微分方程的是 A B 22 0 x yyy 22 0 x yy C D 2222 0 xydxxydy 245 5 1yyy 5 设区域 函数在闭区间上连续 则 22 1D xy f u 0 1 22 D fxyd A B 1 0 2 f r rdr 1 0 4 f r rdr C D 1 2 0 2 f rrdr 1 0 2 f r dr 二 填空题 4 8 32 1 设且 则 zuv cos t ue vt dz dt 2 已知两点和 则与方向相同的单位向量 1 2 2 2 M 2 1 3 0 M 12 M M 为 3 当 满足 时 级数收敛 x 1n n nx 4 L 为曲线一周 则 22 20 xyx L ds A 5 当 时 级数条件收敛 1 1 1 1 1 n p n n 6 微分方程的通解是 690yyy 7 设 则 3 sinzxy 2z x y 8 设是由所围成的平面区域 则二重积分 D 22 14xy D dxdy 三 计算题 1 7 求过点且与两平面 1 3 2 P 都垂直的平面方程 0623408432 zyxzyx和 2 6 设 求 2242 3 xy zxy z x 3 6 设方程确定隐函数 求全微分 z exyz zz x y dz 4 6 将函数展开 的幂级数 并指出展开式成立的区间 1 2x x 5 7 求微分方程的通解 cos sin 1x yx y 四 7 设是平面上由和所围成的有界区域 Dxoy2 1yx 1yx 试求二重积分 2 sin D ydxdy 五 7 利用柱面坐标计算三重积分 其中是由曲面zdxdydz 与平面所围成的区域 22 zxy 1z 六 7 在周长为常数的一切矩形中 求面积最大的矩形 a0 a 期末考试试卷期末考试试卷 14 614 6 学时学时 一 选择题 3 5 15 1 0 0 3 lim 21 1 x y xy xy A 0 B 3 C 6 D 2 曲面与平面的交线在面上的投影曲线方程为 22 20yzx 3z xoy A B 2 29 0 yx z 2 29 3 yx z C D 2 29yx 2 20yx 3 交换积分次序后为 ln 10 ex Idxf x y dy A B ln 10 ex Idyf x y dx 1 0 y e e Idyf x y dx C D 1 0 y e e Idyf x y dx ln 01 xe Idyf x y dx 4 设微分方程的特征方程的根为 则此方程的通 0yayby i A B 12 xx c ec e 12 ix cc x e C D 12 cossincxcx 12 cossin x ecxcx 5 设幂函数在处收敛 则此级数在处 0 n n n a x 2x 4 3 x A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛 性不能确定 二 填空题 4 7 28 1 设 则 2 ln zxxy dz 2 已知点 则上的投影 2 0 1 1 2 0 1 1 1 ABC CACB 在Pr CA jCB 3 函数在点处沿的方向导数等于 422 3uzxzxy 1 1 1 1 2 2 l 4 曲线在点处的切线方程为 2 2 xy zx 1 1 1 5 当满足 时 级数绝对收敛 p 1 0 1 1 n p n n 6 设是由围成的平面区域 将二重积分化D 22 2xyx 22 D f xyd 成极坐标系下的二次积分 7 微分方程的通解是 2 2 20 d sds s dtdt 三 计算题 1 6 求过且与两平面和平行的直线 0 2 4 P 1 21xz 2 32yz 方程 2 6 求函数的极值点及极值 33 3f x yxyxy 3 6 设是由方程所确定的隐函数 求 zf x y 22 22 z xyxyze z y 4 6 将函数展开成的幂级数 x f xe 2 x 5 7 求微分方程满足初始条件的特解 32xyxy 1 1 x y 四 计算下列积分 1 7 设是由轴 所围成的平面区域 计算二重积分D yx y 1y 2 D y dxdy 2 7 计算 其中是由上半球面与抛物面Izdxdydz 22 2zxy 围成的空间区域 22 zxy 3 6 计算曲线积分 其中 是由直线 23 1 2 3 L x yy dxxx dy A Lyx 围成的逆时针方向的闭折线 2yx 1x 五 6 设 证明 0 1 y zxxx 1 2 ln xzz z y xx y 期末考试试卷期末考试试卷 15 615 6 学时学时 一 选择题 3 5 15 1 设向量 则与满足条件 时 才有 2 5 1 1 3 2 ab 与 轴垂直 ab z A B C D 2 2 3 5 3 5 2 设可微函数在点处取得极小值 则下列结论正确的 f x y 00 xy 是 A 在处的导数等于零 0 f xy 0 yy B 在处的导数大于零 0 f xy 0 yy C 在处的导数小于零 0 f xy 0 yy D 在处的导数不存在 0 f xy 0 yy 3 幂级数的收敛域为 2 1 1 21 nn n nx A B C D 1 1 1 1 1 1 1 1 4 用待定系数法求方程的特解时 可设特解 2 56 x yyyxe A B 2 x yaxb e 22 x yxaxb e C D 2 x yx axb e 22x yax e 5 22 2xy dxdy A B C 4 D 2 2 二 填空题 4 6 24 1 设 则 2 xy f x yx ye 1 2 y f 2 设 则 y x ze dz 3 设 其中为可微函数 则 22 zf xy f zz yx xy 4 平面上的曲线绕 轴旋转所得旋转曲面方程为 xoz 0 x zex z 5 将展开成为 的幂级数 则 2 x ye xy 6 微分方程的通解是 0yy 三 计算题 1 6 求过点且通过直线的平面方程 3 1 2 A 43 521 xyz 2 6 设是由方程所确定的隐函数 求 zf x y 20 xyz eze dz 3 6 设 求 04 222 zzyx 2z x y 4 6 计算 其中是由抛物线及直线所围成的 D yd Dxy 2 2 xy 区域 5 7 求幂级数的收敛域 1 2n n n x n 四 7 已知点及点 且曲线积分 0 0 O 1 1 A A 22 cossin cossin OA Iaxyyx dxbyxxy dy 与路径无关 试确定常数 并求 a bI 五 7 求方程的解 2 0 x f xtf t dtx 六 应用题 7 214 1 7 求表面积为 体积最大的长方体的体积 2a 2 7 求由曲面及所围成的立体的体积 22 2zxy 22 62zxy 期末考试试卷期末考试试卷 16 616 6 学时学时 一 选择题 3515 1 下列命题中 正确的是 A 2 a aa B 如果 则必有或 0a b 0a 0b C 如果 且 则必有 0a a ba c bc D abca ba c 2 在点处的切平面方程为 22 zxy 1 1 2 A B 40 xyz 0 xyz C D 2210 xyz 2220 xyz 3 已知 则 2 ln zxy 2z x y A B C D 22 2 x xy 22 x xy 22 x xy 22 1 xy 4 二次积分交换积分次序后为 2 1 0 x x dxf x y dy A B 1 0 y y dyf x y dx 1 00 y dyf x y dx C D 1 0 y y dyf x y dx 1 00 y dyf x y dx 5 级数满足 1 2 1 1 1 n p n n A 时 条件收敛 B 时 绝对收敛 1p 1 0 2 p C 时 绝对收敛 D 时发散 1 2 p 1 0 2 p 二 填空题 4624 1 设向量 则 aij bjk a b a b 2 设函数 则全微分 23 zx y dz 3 曲面与平面的交线在坐标面上的投影曲线方程 22 zxy 1yz xOy 为 4 其中 22 sin D xy dxdy 2222 4Dxy 5 级数的收敛半径为 0 1 2 nn n n x 6 其中的曲线 L ds A 22 1L xy 三 计算题 1 求过 1 0 1 且平行于和的平面方程 5 1 1 2 0 1 1 2 设 求全导数 5 32 4 sin tytxez yx dt dz 3 求 其中 D 由曲线围成 6 D xydxdy 2 2 xyxy 4 求 其中是由曲面及所围成7 zdv 22 2yxz 22 yxz 的闭区域 5 利用格林公式 计算 其中 为7 224 356 L xydxxydy A L 三顶点分别为的三角形正向边界 0 0 3 0 3 2 6 判定级数的敛散性 如果收敛 是绝对收敛 6 1 1 1 1 1 n nn n 还是条件收敛 7 求微分方程的通解 5 2x y ye 8 求微分方程满足初始条件 的6 034 yyy6 0 y10 0 y 特解 四 应用题 72 1 求由曲面与所围立体的体积 7 22 zxy 22 1zxy 2 要造一个容积为的长方体容器 已知底部造价是侧面造价7 0 V 的 3 倍 指每单位面积 若容器无盖 问怎样定尺寸可使造价最 低 期末考试试卷期末考试试卷 17 617 6 学时学时 一 选择题 3515 1 设向量 则 2aijk 49bijk A B C D a b ab ab ab 2 函数的定义域是 2222 41 lnarcsinz xyxy A B 22 14 x yxy 22 1 x yxy C D 22 04 x yxy 2222 14 x y xyxy 或 3 已知 都可微 则 uf t x y xs t ys t u t A B ffx txt ffy tyt C D fx y ttt ffxfy txtyt 4 22 22 1 xy xyd A B C D 3 2 4 5 下列级数发散的是 A B 1 1 9 10 n n 1 1 2 1 n n C D 11 1 11 23 nn n 4 3 1n n 二 填空题 4624 1 0 0 lim 1 1 x y xy xy 2 则全微分 222 ln uxyz 1 1 1 du 3 在点 1 1 沿方向的方向导数为 2 2 yxyxf 2 1 l 4 交换积分次序 2 22 0 y y dyf x y dx 5 曲线在点处切线方程为 22 1 xtyt zt 1 0 1 6 设C为分段光滑的任意闭曲线 和为连续函数 曲线积分 x y C x dxy dy A 三 计算题 1 设向量 求 5 1 3 2 a 3 2 1 b a b a b 2 设 又 求和 5 sin u zev uxy vxy z x z y 3 求 其中由围成 6 D xy d D 2 xyxy 4 利用格林公式 计算曲线积分 其中7 23 1 2 3 L x yy dxxx dy A 是由直线围成的三角形的正向边界 L 2 1yx yx x 5 求幂级数的收敛域 6 2 2 1 31 32 33 nn nn n xxxx nn 6 将函数展开成的幂级数 并确定收敛域 6 1 5x 2x 7 求微分方程的通解 6 1dyx dxxy 8 求微分方程满足初始条件 的特6 096 yyy 0 2y 0 2 y 解 四 应用题 72 1 设有一个物体 占有空间闭区域7 在点处的密度为 01 01 01 x y zxyz x y z 计算该物体的质量 x y zxyz 2 要制造一个无盖的长方体水槽 已知它的底部造价为每平方7 米 18 元 侧面造价均为每平方米 6 元 设计的总造价为 216 元 问 如何选取它的尺寸 才能使水槽容积最大 期末考试试卷期末考试试卷 18 618 6 学时学时 一 选择题 3515 1 为共线的单位向量 则它们的数量积 a b a b A B 11 C D 0cos a b 2 二元函数的偏导数和存在是全微分存在的 zf x y z x z y A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 3 设 则 1ln 32 zyxu 1 1 1 xyz uuu A B 3 2 3 C D 1 2 3 2 4 当 D 是下列哪个围成的区域时 二重积分 1 D dxdy A 轴 轴及 B xy220 xy 11 23 xy C 轴 轴及 D 轴 轴及 xy4 3xy xy2xy 5 下列级数中收敛的是 A B 1 1 2 n n 1 1 n n n C D 1 1 1 n n n n 1 1 1 n n n 二 填空题 4624 1 已知两点和 则和方向一致的单位向量 4 0 5 A 7 1 3 BAB e 2 过点且与平面平行的平面方程为 1 1 2 A 3210 xyz 3 设 则函数在点处的全微分 222 f x y zxyz 1 1 2 df 4 22 22 1 xy xy d 5 曲面在点处的切平面方程为 22 4zxy 1 1 2 6 幂级数的收敛半径 收敛域为 0 n n nx R 三 计算题 1 已知A 1 2 3 B 1 0 1 C 1 1 1 求 5 BCAB BCAB 2 设具有一阶的连续偏导数 求 5 f cos sin yx exxfz z x 3 求 其中 D 由两坐标轴及围成 6 32 D xy d 2 yx 4 利用柱面坐标计算三重积分 其中是由曲面7 22 xydv 及所围成的闭区域 22 2xyz 2z 5 判断级数是否收敛 如果是收敛的 是绝