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习题241求解下列微分方程：（1） ；解 方程组 有解.令，代入原方程得 ，这是齐次方程，令，则上述方程化为 .分离变量后积分得 .代回原变量，最后得原方程的通积分为 .（2） ；解 由，因此，令，则原方程化为 ，分离变量后积分得 ，代回原变量，得原方程的通积分为 .（3） ；解 这是的伯努里方程，令，代入原方程，化简得 ，这是线性方程，它的通解为 ，即 .显然有特解.2利用适当的变换，求解下列方程：（1） ；解 将方程改写为 .此方程为齐次方程.令，则方程化为.变量分离积分得.代回原变量，得原方程的通积分为.（2） ；解 将方程改写为 .令，则方程化为 ，即 .方程组 有解.令，代入原方程得 ，这是齐次方程，令，则上述方程化为 ，分离变量后积分得 .代回原变量，最后得原方程的通积分为 .（3） ；解 将方程改写为 .令，则方程化为 .方程组 有解.令，代入原方程得 ，这是齐次方程，令，则上述方程化为 ，分离变量后积分得 .代回原变量，最后得原方程的通积分为 .3. 求解下列微分方程:(1) ;解 这是黎卡提方程,它有特解,作变换 ， 于是有 .这是伯努里方程，令，则方程化为 ，解此线性方程得 ,故原方程的通解为 .(2) ;解 这是黎卡提方程,容易观察是方程的一个特解,作变换 ， 于是有 .这是伯努里方程，它有解，当时，令，则方程化为 ，解此线性方程得 ,故原方程的通解为 .此外还有特解.4试把二阶微分方程 （1）化成黎卡提方程.解 令 ，则，.代入（1），整理后得黎卡提方程 .5 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解 设所求曲面是由曲线旋转而成.取旋转轴为轴，轴的方向平行于光的反射方向，使点光源位于坐标原点（如图 ）.过曲线上任一点，作切线，它与轴的交角记为，由光的性质：入射角等于反射角，即，记与轴的交角为，则.由于，又，从而可得方程 ，解出，有 .作变换 ，方程化为.变量分离后积分，有.令，有 ，积分，得 ，代回原变量得 ，其中为任意常数，它
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