高考专题复习—解析几何的题型与方法(精髓版).doc

1 2015 届高三数学题型与方法专题七 解析几何届高三数学题型与方法专题七 解析几何 1 基础知识梳理基础知识梳理 班级 班级 姓名 姓名 例 例 1 1 已知直线的斜率是 直线过坐标原点且倾斜角是倾斜角的两倍 则直线 1 l 3 3 2 l 1 l 的方程为 2 lxy3 例 例 2 2 已知直线 的方程为且 不经过第二象限 则直线 的倾斜l 0 0 abcbyaxll 角大小为 B A B C D arctan a b arctan a b arctan a b arctan a b 例 例 3 3 与圆相切 且在两坐标轴上截距相等的直线有 B 1 2 1 22 yx A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 5 条 例 例 4 4 过点与坐标原点距离为 2 的直线方程是 与 3 2 P026125 yx2 x 例 例 5 5 直线斜率相等是的 D 21 l l 21 l l A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 例 例 6 6 直线 过点与以为端点的线段 AB 有公共点 则直线 倾斜l 3 2 P 3 1 2 3 BAl 角的取值范围是 4 3 2 arctg 例 例 7 7 将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点与点重合 若点与点 0 2 A 0 6 B 0 3 C D 重合 则点 D 的坐标为 5 28 5 1 D 例 例 8 8 抛物线 C1 关于直线对称的抛物线为 C2 则 C2的焦点坐标xy2 2 02 yx 为 2 5 2 例 例 9 9 已知点是圆外的一点 则直线与圆的位置关系 ba 222 ryx 2 rbyax 是 C A 相离 B 相切 C 相交且不过圆心 D 相交且过圆心 例 例 1010 若圆 O 上有且只有两点到直线的距离为 2 则 222 ryx 01543 yxl 圆的半径的取值范围是 r51 r 例 例 1111 二次方程表示圆的充要条件是0 22 FEyDxCyBxyAx 04 0 0 22 AFEDBCA 例 例 1212 已知圆 C 被轴截得的弦长是 2 被轴分成的两段弧长之比为 求圆心 C 的yx3 1 轨迹方程 12 22 xy 例 例 1313 直线 过定点与圆交于 A B 两点 则弦 AB 中点 N 的轨迹方l 0 4 M4 22 yx 程为 4 2 22 yx 10 x 例 例 1414 直线 过定点与圆交于 A B 两点 O 是坐标原点 则 AOBl 0 4 M4 22 yx 面积的最大值为 2 例 例 1515 已知 A 是圆上任意一点 点 A 关于直线0642 22 yaxyx 2 的对称点也在圆上 那么实数的值为 3 012 yxa 例 例 1616 已知动圆 C 与定圆 M 相切 且与轴相切 则圆心 C 的轨迹方1 2 22 yxy 程是 与 2 1 6 2 xy 2 3 2 2 yx 例 例 1717 已知 一动圆 I 过点 M 与圆 N 内切 3 0 M16 3 22 yx 1 求动圆圆心 I 的轨迹 C 的方程 2 经过点作直线 交曲线 C 于 A B 两点 设 当四边形 OAPB 的 2 0 QlOBOAOP 面积最大时 求直线 的方程 l 1 1 4 2 2 y x 2 由知 四边形 OAPB 是平行四边形 要使得四边形 OAPB 面积最大 则 OBOAOP OAB 的面积最大 注意变化中的定值条件 OAB 的面积是 AOQ 的面积与 BOQ 的面积之差 设 A 则 可在联立方程组时 消去变量 保留 设 2211 yxByx 12 AOB Syy xy 直线 的方程为 由 由 l2xmy 2 2 22 1 41 16120 4 2 y x mymy xmy 得 由韦达定理得 22 16 4 12 41 0mm 2 430m 知 则 1212 22 1612 4141 m yyy y mm 0 21 yy 12 AOB Syy 21 yy 令 那么 2 2 1212 22 43 44 41 m yyy y m 2 43 0 mt t 2 11 8882 16 4 2 168 8 t S t t t 当时等号成立 此时 即所求的直线方程为 16 t t 2 7 4 m 7 4 2 xy 例 例 1818 已知复数满足 则对应点的轨迹是 z4 2 2 izizz 以与对应点为端点的线段 i 2i 2 例 例 1919 设 P 是以为焦点的椭圆上的一点 若点 P 满足 21 F F 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 则椭圆的焦距与长轴的比值为 D 2 1 0 2121 FPFtgPFPF A B C D 2 1 3 2 3 1 3 5 例 例 2020 一直线 过椭圆的左焦点 被椭圆截得的弦长为 2 则直线 的方程l1 24 22 yx l C Mx y O N 1 x A B P O Qx y 3 2 x 例 例 2121 椭圆上有个不同的点 椭圆的右焦点为 F 数1 34 22 yx 2007 200721 PPP 列是公差为的等差数列 则的取值范围是 2007 3 2 1 nFPndd 1003 1 0 0 1003 1 d 例 例 2222 已知点 点 C 在直线上满足 则以 A B 为焦点 0 2 0 2 BA 1 yBCAC 过点 C 的椭圆方程为 1 26 22 yx 例 例 2323 一双曲线 C 以椭圆的焦点为顶点 长轴顶点为焦点 则此双曲线的方1 24 22 xx 程为 1 22 22 yx 例 例 2424 一双曲线与有共同渐近线且与椭圆有共同焦点 则此双1 3 2 2 y x 1 3 2 2 y x 曲线的方程为 2 1 3 2 2 y x 例 例 2525 若关于的方程有两个不等的实数根 则实数的取值范围是x 2 1 2 xkxk 10 k 例 例 2626 已知双曲线的方程为 P 是双曲线上的一点 F1 F2分别是它的两个1 169 22 yx 焦点 若 则 13 7 1 PF 2 PF 例 例 2727 椭圆和双曲线的公共焦点为 P 是它们的一个公1 26 22 yx 2 2 1 x y a 21 F F 共点 则 21 cosPFF 3 1 cos 21 PFF 例 例 2828 双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点 且满足 1 1 2 2 ny n x PFF 21 则 的面积为 1 21 PFPF 22 n 21F PF 例 例 2929 抛物线的焦点坐标是 准线方程是 2 4xy 16 1 0 例 例 3030 已知抛物线的焦点为 对称轴为 且过 M 3 2 16 1 y 1 1 Fxy 则此抛物线的准线方程为 0105 yx 例 例 3131 直线 过抛物线的焦点与抛物线交于 A B 两点 若 A B 两点到轴的距lyx4 2 x 离之和等于 3 则这样的直线 有 B l A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 不存在 例 例 3232 直线 过抛物线的焦点与抛物线交于 A B 两点 O 是抛物线的顶点 则 ABO 的形l 4 状是 C A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定与抛物线的开口大小有关 例例 33 33 求证 过抛物线焦点的所有弦长的最小值是 0 2 2 ppxyp2 分析 分析 本例的证明方法很多 设其焦点弦为 AB 则由抛物线的定义知 2211 yxByxA 当且仅当时等号成立 此时直 2 1212 222 4 p ABxxpx xppp 21 xx 线 AB 与对称轴垂直 例 例 3434 已知点 M 是椭圆的一条不垂直于对称轴的弦 AB 的中点 O 是坐标原1 2 2 2 2 b y a x 点 设 OM AB 的斜率分别为 则 C 21 k k 21 kk A B C D 2 2 b a 2 2 a b 2 2 a b 2 2 b a 例 例 3535 设直线 过椭圆的右焦点 与椭圆相交于 A B 两点 O 是坐标原点 l1 4 2 2 y x 当 OAB 的面积最大时 求直线 的方程 l 分析 分析 由题可设直线 代入椭圆方程中得 l3 myx 设 可得 OAB 的面积 S 0132 4 22 myym 2211 yxByxA 可得 2 3 2 3 2121 yyyy 6 1 9 1 1 32 4 1 32 4 4 4 12 2 3 2 2 22 2 222 2 m m m m mm m S 则当时 S 有最大值为 1 此时直线 方程为 31 2 ml32 yx 例 例 3636 设点 P 为双曲线上的动点 F 是它的左焦点 M 是线段 PF 的中点 则1 4 2 2 y x 点 M 的轨迹方程是 14 2 5 22 yx 例 例 3737 已知椭圆的焦点是 P 是椭圆上的一个动点 如果延长 21 F F 到 Q 使得 那么动点 Q 的轨迹是 A PF1 2 PFPQ A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 例 例 3838 已知直线 过点 双曲线 C 1 若直l 1 1 M1 3 2 2 y x 线 与双曲线有且仅有一个公共点 求直线 的方程 2 若直线与双曲ll 线的右支有两个不同的交点 求直线 斜率的取值范围 3 是否存在直线 使其与双曲ll 线的有两个不同的交点 A B 且以 AB 为直径的圆过坐标原点 若存在求出此直线的斜率 不存在说明理由 分析 分析 1 当直线 与轴垂直时 直线满足题义 当直线 与轴不垂直时 设直线lx1 xlx 方程为 联立得方程 1 1 xky0 42 1 2 3 222 kkxkkxk 当时 方程 是一次方程 直线 与双曲线有一个公共点 此时直线 方程为03 2 kll F1 F2 P Q x y O 5 当时 由 得 所以满足题义的 1 31 xy03 2 k02448 k2 k 直线 为 l 1 31 012 1 xyyxx 2 直线 与双曲线的右支有两个不同的交点 则方程 有两不等的正根 由 l 知且 得或 k2448 0 2 k 0 3 42 0 3 1 2 2 2 21 2 21 k kk xx k kk xx 23 k3 k 3 若以 AB 为直径的圆过坐标原点 则 设 即0 OBOA 2211 yxByxA 0 2121 yyxx0 1 1 1 2 2121 2 kxxkkxxk014 2 kk 满足 32 k 2 k 例 例 3939 倾角为的直线 过抛物线的焦点 F 与抛物线交于 3 lxy4 2 A B 两点 点 C 是抛物线准线上的动点 1 ABC 能否为正三角形 2 若 ABC 是钝角三角形 求点 C 纵坐 标的取值范围 分析 分析 1 直线 方程为 由可得l 1 3 xyxy4 2 若 ABC 为正三角形 则 由 3 32 3 1 32 3 BA 3 CAB 那么 CA 与轴平行 此时 又 与 3 AFxx4 AC 3 16 2 3 1 3 AB AC AB 矛盾 所以 ABC 不可能是下正三角形 2 设 则 1 mC 3 32 3 4 32 4 mCBmCA 不可以为负 所以不为钝角 2 3 32 mCBCAACB 若为钝角 则 则 得CAB 0 BACA 3 38 3 8 BA0 32 3 38 3 32 m 3 310 m 若角为钝角 则且 C B A 不共线 可得且 ABC 0 ABCB 3 32 m36 m 综上知 C 点纵坐标的取值范围是 3 310 3 32 36 36 Fx y A B C O 6 2015 届高三数学题型与方法专题七 解析几何届高三数学题型与方法专题七 解析几何 2 典型题型方法典型题型方法 班级 班级 姓名 姓名 一 轨迹问题一 轨迹问题 例例 1 1 如图 已知圆如图 已知圆 C C 1 1 设 设 M M 为圆为圆 C C 与与轴左半轴的交点 轴左半轴的交点 2 1 x 2 y 2 rrx 过过 M M 作圆作圆 C C 的弦的弦 MNMN 并使它的中点 并使它的中点 P P 恰好落在恰好落在轴上 轴上 1 1 当 当 2 2 时 时 yr 求满足条件的求满足条件的 P P 点的坐标 点的坐标 2 2 当 当 1 1 时 求 时 求 N N 的轨迹的轨迹 G G 方程 方程 r 3 3 过点 过点 Q Q 0 0 2 2 的直线 的直线 与 与 2 2 中轨迹 中轨迹 G G 相交于两个不同的点相交于两个不同的点l A A B B 若 若 0 0 求直线 求直线 的斜率的取值范围 的斜率的取值范围 CA CB l 解 1 由已知得 当 2 时 可求得 M 点的坐标为 1 0 r 设 P 0 则由 1 得 1 b MPCP kk 2 b 所以 1 即点 P 坐标为 0 1 b 2 设 N 由已知得 在圆方程中令 0 xyy 得 M 点的坐标为 1 0 由 1 得 1 r MPCP kk r 2 b 因为点 P 为线段 MN 的中点 所以 1 2 又 1 xr 2 bybx 所以点 N 的轨迹方程为 4 0 2 yxx 3 设直线 的方程为 2 M N lykx 1 x 1 y 2 x 2 y 消去 得 4 0 xy kxy 4 2 2 y 22x kxk 44 直线 与抛物线 4 0 相交于两个不同的点 A B l 2 yxx 32 16 0 得 kk 2 1 又因为 0 0 CA CB 1 1 21 xx 21y y 5 0 12 0 21 2 1 xxk 12 21 xxk 2 kk 7 0 或 12 综上可得 0 或 12 kkk 2 1 k 例例 2 2 如图 已知椭圆如图 已知椭圆的焦点和上顶点分别为的焦点和上顶点分别为 22 22 1 0 xy Cab ab 1 F 2 FB 我们称我们称为椭圆为椭圆的特征三角形的特征三角形 如果两个椭圆的特征三角形是相似的 则称这两如果两个椭圆的特征三角形是相似的 则称这两 12 FBF C 个椭圆是个椭圆是 相似椭圆相似椭圆 且三角形的相似比即为 且三角形的相似比即为 椭圆的相似比椭圆的相似比 1 1 已知椭圆 已知椭圆 和和 判断 判断与与是否相似 如果相是否相似 如果相 2 2 1 1 4 x Cy 22 2 1 164 xy C 2 C 1 C 似则求出似则求出与与的相似比 若不相似请说明理由 的相似比 若不相似请说明理由 2 C 1 C 2 2 已知直线 已知直线 与椭圆与椭圆相似且半短轴长为相似且半短轴长为的椭圆的椭圆 1l yx 1 Cb 的方程 在椭圆的方程 在椭圆上是否存在两点上是否存在两点 关于直线关于直线 对称 若存对称 若存 b C b CMNl 在 则求出函数在 则求出函数的解析式的解析式 f bMN 3 3 根据与椭圆 根据与椭圆相似且半短轴长为相似且半短轴长为的椭圆的椭圆的方程 提出你认为有价值的相似椭的方程 提出你认为有价值的相似椭 1 Cb b C 圆之间的三种性质 不需证明 圆之间的三种性质 不需证明 解 解 1 椭圆与相似 因为的特征三角形是腰长为 4 底边长为的等腰 2 C 1 C 2 C32 三角形 而椭圆的特征三角形是腰长为 2 底边长为的等腰三角形 1 C3 因此两个等腰三角形相似 且相似比为 2 1 2 椭圆的方程为 假定存在 则设 所在直线 b C 0 1 4 2 2 2 2 b b y b x MN 为 中点为 则 yxt MN 00 xy 1 4 2 2 2 2 b y b x txy 0 485 222 btxtx 所以 中点在直线上 所以有 5 5 4 2 0 21 0 t y txx x 1yx 3 5 t 22 2 12 40100 20 4 425 39 5 559 b xxb 2 12 4505 210 593 f bMNxxbb 3 椭圆的方程为 两个相似椭圆之间的性质有 b C 0 1 4 2 2 2 2 b b y b x 1 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方 2 分别以两个相似椭圆的顶点为顶 8 点的四边形也相似 相似比即为椭圆的相似比 3 两个相似椭圆被同一条直线所截得 的线段中点重合 4 过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比 二 最值问题二 最值问题 例例 3 3 已知椭圆 已知椭圆常数常数 m m n n且且 m nm n 1 n y m x 22 R 1 1 当当 m 25 n 21m 25 n 21 时时 过椭圆左焦点过椭圆左焦点 F F 的直线交椭圆于点的直线交椭圆于点 P P 与与 y y 轴交于点轴交于点 Q Q 若若 求直线求直线 PQPQ 的斜率 的斜率 FP2QF 2 2 过原点且斜率分别为 过原点且斜率分别为 k k 和和 的两条直线与椭圆的两条直线与椭圆的交点的交点k 1k 1 n y m x 22 A A B B C C D D 按逆时针顺序排列 按逆时针顺序排列 A A 位于第一象限内 位于第一象限内 试用 试用 k k 表示四边形表示四边形 ABCDABCD 的面积的面积 S S 3 3 求 求 S S 的最大值 的最大值 解 解 1 椭圆 设 P1 21 y 25 x 22 0 2 F t 0 Q y x 00 00 y 2 xFP t 2 QF FP2QF 2 t y 3x y2t 2x 22 0 0 0 0 5 214 2 t k 5 218 t1 21 y 25 x 2 0 2 0 2 2 根据椭圆的对称性知四边形 ABCD 为矩形 设 0y 0 x y x A 1111 设与椭圆方程kxy l mnmynx 22 nmk mn xmnxmknx 2 1 222 1k nmk kmn4 yx4Skxy 2 1111 3 当 1k k n mk mn4 S 1 m n nm m n k k n mk 时时 即即 9 又 上上单单调调递递增增 在在 1k k n mk 1k 0nm k n mk nm mn4 S1k nm mn4 S max 时时 当当 例例 4 4 已知直线 已知直线 L L1 1 y kx 1y kx 1 与双曲线与双曲线的左支交于的左支交于 A A B B 两点 两点 1yx C 22 1 1 1 求 求 k k 的取值范围 的取值范围 2 2 直线 直线 L L 经过点经过点 P P 2 2 0 0 及线段 及线段 ABAB 的中点的中点 Q Q CDCD 是是 y y 轴上的一条线段 对任意的轴上的一条线段 对任意的 直线直线 L L 都与线段都与线段 CDCD 无公共点 试问无公共点 试问 CDCD 长的最大值是否存在 若存在 求出这个最大值 长的最大值是否存在 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明下由 若不存在 请说明下由 解 1 2k1 则 y xQAB 2 中中点点设设 2 2 k1 1 y k1 k x 令 2x 2kk2 1 y l 2 8 17 4 1 k 2 2 2kk2 2 b 0 x 2 2 上上是是减减函函数数在在2 1k 8 17 4 1 k 2 k g 2 即1 1 g k g 2 g22 2b22b 或或 与直线 l 无公共点的线段 CD 长的最大值是 24222 三 参数的取值范围三 参数的取值范围 例例 5 5 已知椭圆已知椭圆C C的中心在原点 焦点在的中心在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点 的四边形是一个面积为的四边形是一个面积为 8 8 的正方形 记为的正方形 记为 Q Q 求椭圆 求椭圆 C C 的方程的方程 设点 设点 P P 4 0 过点 过点 P P 的直线的直线l与椭圆与椭圆 C C 相交于相交于 M NM N 两点 当线段两点 当线段 MNMN 的中点落在正方形的中点落在正方形 Q Q 内内 包括边界 时 求直线 包括边界 时 求直线l的斜率的取值范围 的斜率的取值范围 解 依题意 设椭圆 C 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 焦距为2c 由题设条件知 椭圆 C 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5510 G F2F1 B1 B2 M N 10 的方 22 1 84 xy 点 P 的坐标 4 0 显然直线l的斜率k存在 所以直线l的方程为 4 yk x 如图 设点M N的坐标分别为 1122 x yxy线段MN的中点为 G 00 xy 由 22 4 1 84 yk x xy 得 2222 12 163280kxk xk 由 2222 16 4 12 328 0kkk 解得 22 22 k 因为 12 x x是方程 的两根 所以 2 12 2 16 12 k xx k 于是 12 0 2 xx x 2 2 8 12 k k 00 2 4 4 12 k yk x k 因为 2 0 2 8 0 12 k x k 所以点G不可能在y轴的右边 又直线 12 FB 11 FB方程分别为2 2 yxyx 所以点G在正方形Q内 包括边界 的充要条件为即 2 22 2 22 48 2 1212 48 2 1212 kk kk kk kk 00 00 2 2 yx yx 亦即 2 2 2210 2210 kk kk 解得 3131 22 k 此时 也成立 w w w k s 5 u c o m 故直线l斜率的取值范围是 3131 22 例例 6 6 如图 在以点 如图 在以点为圆心 为圆心 为直径的半圆为直径的半圆中 中 是半圆是半圆O 4AB ADBODAB P 弧上一点 弧上一点 曲线 曲线是满足是满足为定值的为定值的30POB C MAMB 动点动点的轨迹 且曲线的轨迹 且曲线过点过点 MCP 建立适当的平面直角坐标系 求曲线 建立适当的平面直角坐标系 求曲线的方程 的方程 C 设过点 设过点的直线的直线 l l 与曲线与曲线相交于不同的两点相交于不同的两点 DCEF 若若 的面积不小于的面积不小于 求直线 求直线 斜率的取值范围斜率的取值范围 OEF2 2l 解法 1 以O为原点 AB OD所在直线分别为x轴 y轴 建立平面直角坐标系 则A 2 0 B 2 0 D 0 2 P 依题意得 MA MB PA 1 3 11 PB AB 4 曲线C是以原点 2222 23 12312 2 为中心 A B为焦点的双曲线 设实半轴长为a 虚半轴长为b 半焦距为c 则 c 2 2a 2 a2 2 b2 c2 a2 2 曲线C的方程为 21 22 22 yx 解法 1 依题意 可设直线l的方程为y kx 2 代入双曲线C的方程并整理得 直线l与双曲线C相交于不同的两点E F 06kx4x k1 22 0 1 64 4 01 22 2 kk k 33 1 k k k 1 1 1 1 33 设E x y F x2 y2 则由 式得x1 x2 于是 2 21 2 k1 6 xx k1 k4 EF 21 2 xxk1 1 322 14 1 2 2 2 21 2 21 2 k k kxxxxk 而原点O到直线l的距离d 2 1 2 k S DEF 1 322 1 322 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k EFd 若 OEF面积不小于 2 即 S OEF 则有 2 22 解得 22 0222 1 322 24 2 2 kkk k k 综合 知 直线l的斜率的取值范围为 1 1 1 1 22 解法 2 依题意 可设直线l的方程为y kx 2 代入双曲线C的方程并整理 得 1 K2 x2 4kx 6 0 直线l与双曲线C相交于不同的两点E F 0 1 64 4 01 22 2 kk k 33 1 k k k 1 1 1 1 33 设E x1 y1 F x2 y2 则由 式得 x1 x2 12 1 322 1 4 2 2 2 21 2 21 k k k xxxx 当E F在同一支上时 如图 1 所示 S OEF 2 1 2 1 2121 xxODxxODSS ODEODF 当E F在不同支上时 如图 2 所示 S ODE ODFOEF SS 2 1 2 1 2121 xxODxxOD 综上得S OEF 于是 由 OD 2 及 式 得 S OEF 2 1 21 xxOD 1 322 2 2 k k 若 OEF面积不小于 2 则有即 22 2 OEF S 22 022 1 322 24 2 2 kkk k k 解得 综合 知 直线l的斜率的取值范围为 1 1 1 1 22 四 探索性问题四 探索性问题 例例 7 7 已知等轴双曲线 已知等轴双曲线 222 C xya 0a 的右焦点为 的右焦点为F O为坐标原点为坐标原点 过过 F作一条渐近线的垂线作一条渐近线的垂线FP且垂足为且垂足为P 2OP 1 1 求等轴双曲线 求等轴双曲线C的方程 的方程 2 2 假设过点 假设过点F且方向向量为且方向向量为 1 2d 的直线的直线l交双曲线交双曲线C于于A B两点 求两点 求 OA OB 的值 的值 3 3 假设过点 假设过点F的动直线的动直线l与双曲线与双曲线C交于交于M N两点 试问 在两点 试问 在 x轴上是否存在定点轴上是否存在定点P 使得 使得PM PN 为常数为常数 若存在 求出点若存在 求出点P的坐标 若不存在 的坐标 若不存在 试说明理由 试说明理由 解 1 设右焦点坐标为 0 F c 0c 因为双曲线 C 为等轴双曲线 所以其渐近 13 线必为yx 由对称性可知 右焦点F到两条渐近线距离相等 且 4 POF 于是可知 OPF 为等腰直角三角形 则由2OP 2OFc 又由等轴双曲线中 22 2ca 2 2a 即 等轴双曲线C的方程为 22 2xy 2 设 11 A x y 22 B xy为双曲线C与直线l的两个交点 因为 2 0 F 直线l的 方向向量为 1 2d 直线l的方程为 2 2 2 12 xy yx 代入双曲线C的方 程 22 2xy 可得 2 22 422316180 xxxx 于是有 12 12 16 3 6 xx x x 而 12121212 422OA OBx xy yx xxx 1212 10 5816 3 x xxx 3 假设存在定点 0P m 使PM PN 为常数 其中 11 yxM 22 yxN为直线 l与双曲线C的两个交点的坐标 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为 2 xky代入 22 2xy 可得0 24 4 1 2222 kxkxk 由题意可知 1 k 则有 1 4 2 2 21 k k xx 1 24 2 2 21 k k xx 于是 2 1212 22PM PNxmxmkxx 22 21 2 21 2 4 2 1 mkxxmkxxk 21 2 1 1 4 1 2 21 2 4 1 2 4 1 24 1 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 mm k m m k km mk k mkk k kk 要使PM PN 是与k无关的常数 当且仅当1 m 此时1PM PN 当直线l与x轴垂直时 可得点 2 2 M 2 2 N 若1 m 1PM PN 亦为常数 综上可知 在x轴上存在定点 1 0 P 使1PM PN 为常数 例例 8 8 已知直线已知直线220 xy 经过椭圆经过椭圆 14 22 22 1 0 xy Cab ab 的左顶点的左顶点 A A 和上顶点和上顶点 D D 椭圆 椭圆C的右顶点为的右顶点为B 点 点S为椭圆为椭圆 C上位于上位于x轴上方的动点 直线 轴上方的动点 直线 AS BS与直线与直线 10 3 l x 分别交于分别交于 M N两点 两点 I I 求椭圆 求椭圆C的方程 的方程 求线段 求线段 MNMN 的长度的最小值 的长度的最小值 当线段 当线段 MNMN 的长度最小时 在椭圆的长度最小时 在椭圆C上是否存在这样的点上是否存在这样的点T 使得 使得TSB 的面积的面积 为为 1 5 若存在 确定点 若存在 确定点T的个数 若不存在 说明理由的个数 若不存在 说明理由 解法一 I 由已知得 椭圆C的左顶点为 2 0 A 上顶点为 0 1 2 1Dab 故 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 直线 AS 的斜率k显然存在 且0k 故可设直线AS的方程为 2 yk x 从而 10 16 33 k M 由 2 2 2 1 4 yk x x y 得 2222 14 16164kxk xk 0 0k0yxS Rk0 1 轴轴上上方方 位位于于又又由由图图示示知知 设 11 S x y则 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k w w w 即 2 22 284 1414 kk S kk 又 2 0 B 直线 SB 的斜率 由 1 2 4 10 3 yx k x 得 10 3 1 3 x y k k4 1 2 k41 k82 k41 k4 2 2 2 101 33 N k 故 161 33 k MN k 又 1611618 0 2 33333 kk kMN kk 当且仅当 161 33 k k 即 1 4 k 时等号成立 w w w k s 5 1 4 k 时 线段MN的长度取 最小值 8 3 15 由 可知 当MN取最小值时 1 4 k 此时BS的方程为 6 44 2 20 5 55 xysBS 要使椭圆C上存在点T 使得TSB 的面积等于 1 5 只须T到直线BS的距离等于 2 4 所以T在平行于BS且与BS距离等于 2 4 的直线上 设直线 l 0lxyt 则由 2 2 42 t 解得 3 2 t 或 5 2 t 4y4x 03y2x2l 2 3 t 1 22 时时 当当 T 0 0 5x12x5 2 有有两两个个 4y4x 05y2x2l 2 5 t 2 22 时时 当当 T 0 0 21x20 x5 2 没没有有 综上 存在两个 T 16 2015 届高三数学题型与方法专题七 解析几何 届高三数学题型与方法专题七 解析几何 3 巩固提高 巩固提高 班级 班级 姓名 姓名 一 填空题一 填空题 1 若过点与的直线的倾斜角为钝角 则实数的取值范围是 1 1 aaP 2 3 aQa 1 2 2 直线 的倾斜角的取值范围是 01 1 2 yaxRa 4 3 3 方向向量为 且过点的直线 的方程是 3 4 d 1 1 Al0134 yx 4 过点且一个法向量为的直线的点法向式方程为 2 3 2 3 n 02233 yx 5 已知直线的一个法向量为 实数 2 1 3 2 yx 2 aana 5 4 a 6 直线 的一个方向向量 则直线 与的夹角大小为 l 1 2 d l02 yx 结果用反三角函数值表示 10 103 arccos 7 直线和直线垂直的充要条件是 或01 12 yaax033 ayx0 a 1 a 8 已知直线 2 1 0 和 2 3 0 R 若与 1 laxya 2 lxya 1 a 1 l 平行 则 1 2 2 la 9 直线 1 310lxy 2 50lx 则直线 1 l与 2 l的夹角为 6 10 平面上三条直线210 10 0 xyxxky 如果这三条直线将平面划分 为六部分 则实数k的取值集合为 0 1 2 17 11 若直线 被圆 截得的弦最短 l1 2 xkyC0242 22 xyxAB 则直线的方程是 AB03 yx 12 在平面直角坐标系xOy中 圆C的方程为 22 8150 xyx 若直线 2ykx 上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆C有公共点 则k的 最大值为 4 3 13 在平面直角坐标系xOy中 O为坐标原点 定义 11 P x y 22 Q xy两点之间的 直角距离 1212 d P Qxxyy 已知 1 0 B 点M为直线20 xy 上 的动点 则 d B M的最小值为 3 14 过抛物线的焦点作弦 点 且 xy8 2 AB 11 yxA 22 yxB10 21 xx 则 14 AB 15 如图 在平面直角坐标系中 椭圆 被围xOy1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 于由条直线 所围成的矩形内 任取椭圆上一点 4ax by ABCDP 若 则 满足的一个等式是OBnOAmOP mRn mn 2 1 22 nm 16 椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为 1 则 2 2 1 1 x yt t t 2 17 过抛物线xy4 2 焦点的直线交抛物线于A B两点 若10 AB 则AB的中点 P到y轴的距离等于 4 18 已知点 2 2 0Q及抛物线 2 4 x y 上一动点 00 P xy 则 0 yPQ 的最小值为 2 19 点是函数图像上的任意一点 点 则两点之间距 yxQ1 2 2 x y 0 5 PPQ 离的最小值是 11 AB CD O y x 18 20 设 F 为抛物线的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若 2 4yx 0FAFBFC 则 FAFBFC 21 过双曲线的右焦点 F c 0 的直线交双曲线于 M N 两点 交y轴于 P 1 2 2 2 2 b y a x 点 点 M N 分所成定比分别为 则有为定值类比双曲线这一结 PF 1 2 21 2 2 2 b a 论 在椭圆 a b 0 中 为 1 2 2 2 2 b y a x 21 二 解答题 1 已知椭圆的焦点坐标为 长轴等于焦距的 2 倍 P 1 0 1 求椭圆的方程 2 矩形的边在轴上 点 落在椭圆上 PABCDAByCDP 求矩形绕轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值 y 解 1 椭圆的方程为 2 记 1 43 22 yx yxD xyS 4ABBC2 侧 由 得 当 343 2 43 1 2222 xy yxyx 3 xy 34 侧 S 2 1 43 22 yx 即 时取到 2 6 x2 y 2 1 求以为渐近线 且过点的双曲线的方程 02 yx 2 72 A 2 求以双曲线的顶点为焦点 焦点为顶点的椭圆的方程 AB 3 椭圆上有两点 为坐标原点 若直线 斜率之积为 求证 BPQOOPOQ 5 1 为定值 22 OQOP 解 1 设双曲线方程为将代入 得 得 22 4yx 0 2 72 20 双曲线 A 1 520 22 yx 19 2 椭圆的顶点为 焦点为 椭圆 B 0 5 0 20 5 2 b1 525 22 yx 3 设 由 得 同理kkOP k kOQ 5 1 1 525 22 yx kxy 15 25 2 2 k x 15 1 25 2 2 2 k k OP 可得 15 125 5 2 2 2 k k OQ30 15 30150 2 2 22 k k OQOP 3 已知 椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 过点 0 aA 0 bB的直线倾斜角 为 6 原点到该直线的距离为 2 3 1 求椭圆的方程 2 斜率大于零的直线 过 0 1 D与椭圆交于E F两点 若DFED2 求直线EF的方程 3 是否存在实数k 直线2 kxy交椭圆于P Q两点 以PQ为直径的圆过点 0 1 D 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解 1 由 3 3 a b 22 2 3 2 1 2 1 baba 得3 a 1 b 所以椭圆方 程是 1 3 2 2 y x 2 设 EF 1 myx 0 m 代入1 3 2 2 y x 得022 3 22 myym 设 11 yxE 22 yxF 由DFED2 得 21 2yy 由 3 2 2 221 m m yyy 3 2 2 2 2 221 m yyy得 3 1 3 2 2 2 2 mm m 1 m 1 m 舍去 直线EF的方程为 1 yx即01 yx 3 将2 kxy代入1 3 2 2 y x 得0912 13 22 kxxk 20 记 11 yxP 22 yxQ PQ 为直径的圆过 0 1 D 则QDPD 即 0 1 1 1 1 21212211 yyxxyxyx 又2 11 kxy 2 22 kxy 得0 13 1412 5 12 1 2 2121 2 k k xxkxxk 解得 6 7 k 此时 方程0 存在 6 7 k 满足题设条件 4 已知点 2 0 2 0 MN 动点P满足条件2 2PMPN 记动点P的轨迹 为W 1 求W的方程 2 过 0 2 N作直线l交曲线W于 A B两点 使得 AB22 求直线l的方程 3 若从动点P向圆C 22 4 1xy 作两条切线 切点为A B 令 PC d 试用 d 来表示PA PB 并求PA PB 的取值范围 解 1 由2 2PMPN 知点P的轨迹是以 2 0 2 0 MN 为焦点 实轴 长为2 2的双曲线 即设22 2 242 2 2acacb 所以所求的 W的方程为 22 2xy 2 若 k 不存在 即 x 2 时 可得 A 2 2 B 2 2 AB 22 满足题意 若 k 存 在 可设 l y k x 2 联立 2 2 22 yx xky 0244 1 2222 kxkxk 由题意知 0 01 2 k Rk 且1 k 设 A x1 y1 B x2 y2 则 AB 2 1 a k 即 2 2 2 1 1 88 k k k 22 k 0 即 l y 0 所以直线 l 的方程为 x 0 或 y 0 3 22 cos 1 1 2sin PA PBPA PBAPBdAPO 21 2 22 2 2 1 1 2 1 1 2 dd d dd 又 2222222 4 2 4 28182 2 1010dxyyyyyy 则PA PB 22 2 22 1 2 2 3 dd d dd 2 10d 2 2 2 3f dd d 在 10 是增函数 21 1037 105 f d 则所求的PA PB 的范围为 1 7 5 5 已知椭圆 常数 点是上的动点 是右顶点 定点 2 2 2 1 x Cy m 1m PCM 的坐标为 若与重合 求的焦点坐标 A 2 0 MAC 若 求的最大值与最小值 3m PA 若的最小值为 求的取值范围 PA MAm 解 椭圆方程为 左 右焦点坐标为2m 2 2 1 4 x y 4 13c 3 0 3 0 椭圆方程为 设 则3m 2 2 1 9 x y P x y 2 22222 891 2 2 1 33 9942 x PAxyxxx 时 时 9 4 x min 2 2 PA 3x max 5PA 设动点 则 P x y 2222 22222 222 124 2 2 1 5 11 xmmm PAxyxxmxm mmmm 22 当时 取最小值 且 且 解得xm PA 2 2 1 0 m m 2 2 2 1 m m m 1m 112m 2015 届高三数学题型与方法专题七 解析几何 届高三数学题型与方法专题七 解析几何 4 能力提升 能力提升 班级 班级 姓名 姓名 1 已知曲线 y 与直线 x y m 0 有两个不同的交点 则 m 的取值范围是xx2 2 0 21 2 若椭圆的一个焦点是 则的值是 12 22 kykx4 0 k 32 1 3 直线的倾斜角的范围是 05cos yx 4 3 4 4 已知直线和互相垂直 则实08 41 23 yaxa01 4 25 yaxa 数的值为 0 1 a 5 已知函数在内时 的值有正有负 则实数的取值 54 1 axay 2 0 xya 范围是 4 5 2 1 6 若直线 y a x 与 y x a a 0 有两个公共点 则 a 的取值范围是 1 8 已知 AB 是椭圆的长轴 若把该长轴等分 过每个等分点作 0b 0 a 1 b y a x 2 2 2 2 n AB 的垂线 依次交椭圆上半部分于点 设左焦点为 则 1n21 P PP 1 F BFPF PFAF n 1 lim 11n1111 n a 9 在坐标平面内 与点 A 1 2 距离为 1 且与点 B 3 1 距离为 2 的直线共有 2 条 10 过圆内一点 5 3 有k条弦的长度组成等差数列 且最小弦长为数列xyx10 22 的首项 最大弦长为数列的末项 若公差 则k的取值不可能是 A 1 a k a 2 1 3 1 d A 4 B 5 C 6 D 7 23 11 已知两定点 如果动点满足 则点的轨迹所包围 2 0 1 0AB P2PAPB P 的图形的面积等于 B A B C D 4 8 9 12 在圆 22 260 xyxy 内 过点 0 1 E的最长弦和最短弦分别是AC和BD 则 四边形ABCD的面积为 B A 5 2 B 10 2 C 15 2 D 20 2 13 若直线yxb 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围是 D A 1 2 2 12 2 B 12 3 C 1 12 2 D 1 2 2 3 14 P 是双曲线的右支上一点 M N 分别是圆 x 5 2 y2 4 和 x 5 22 xy 1 916 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最大值为 D A 6 B 7 C 8 D 9 15 已知有相同两焦点 F1 F2的椭圆和双曲线 P 1 1 2 2 my m x 0 1 2 2 ny n x 是它们的一个交点 则 F1PF2的形状是 B A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 随变化而变化nm 16 如果方程组表示的图形是双曲线 那么的取值范围是 C 1 12 22 k y k x k A B C 或 D 1 k2 k1 k2 k21 k 17 已知之间满足 1 方程表示的曲线经xy 22 2 10 4 xy b b 22 2 10 4 xy b b 过一点 求b的值 2 动点 x y 在曲线 b 0 上变化 求 1 3 2 1 4 2 22 b yx x2 2y的最大值 3 由能否确定一个函数关系式 如能 22 2 10 4 xy b b yf x 求解析式 如不能 再加什么条件就可使之间建立函数关系 并求出解析式 xy 解 1 2 2 31 101 44 bb b 2 根据得 22 2 10 4 xy b b 2 2 2 4 1 y x b 2 222 2 22 4 24 124 44 ybb xyyybyb bb 2 2 max 422 4 b bbxyb 当时 即时 22 2 max 424 44 bb bbxy 当时 即0时 2 2 max 24 2 404 4 b b xy b b 24 3 不能 如再加条件就可使之间建立函数关系 xy0 xy 解析式 2 2 2 2 1x0 10 x b y x x b 不唯一 也可其它答案 18 设有抛物线C y x2 x 4 通过原点O作C的切线y mx 使切点P在第一象限 2 9 1 求m的值 以及P的坐标 2 过点P作切线的垂线 求它与抛物线的另一个交点Q 3 设C上有一点R 其横坐标为t 为使 OPQ的面积小于 PQR的面积 试求t的取值范围 解 设点P的坐标为 x1 y1 则y1 kx1 y1 x1 4 2 1 x 2 9 代入 得 k x1 4 0 因为点P为切点 所以 k 2 16 0 得 k 2 1 x 2 9 2 9 或k 当k 时x1 2 y1 17 当k 时 x1 2 y1 1 2 17 2 1 2 17 2 1 因为点P在第一象限 故所求的斜率k P的坐标为 2 1 2 1 2 过 P点作切线的垂线 其方程为 y 2x 5 代入抛物线方程 得 x2 x 9 0 设Q点的坐标为