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320 第六章 离散系统的 Z域分析 6 1 学习重点 1 离散信号 z域分析法 z 变换 深刻理解其定义 收敛域以及基本性质 会根据 z 变换的定义以及性质求常用序列的 z 变换 理解 z 变换与拉普拉斯变换的关系 2 熟练应用幂级数展开法 部分分式法及留数法 求 z反变换 3 离散系统 z域分析法 求解零输入响应 零状态响应以及全响应 4 z域系统函数 zH及其应用 5 离散系统的稳定性 6 离散时间系统的 z域模拟图 7 用 MATLAB进行离散系统的 Z 域分析 6 2 教材习题同步解析 6 1 求下列序列的z变换 并说明其收敛域 1 n 3 1 0 n 2 n 3 1 0 n 3 nn 3 1 2 1 0 n 4 4 cos n 0 n 5 42 sin n 0 n 知识点窍 本题考察z变换的定义式 逻辑推理 对于有始序列离散信号 nf其z变换的定义式为 321 0n n znfzF 解 1 该序列可看作 n n 3 1 0 1 0 3 1 3 1 3 1 n n n n nn zznnZzF 对该级数 当1 3 1 1 z时 级数收敛 并有 13 3 3 1 1 1 1 z z z zF 其收敛域为z平面上半经 3 1 z的圆外区域 2 该序列可看作 nn n n 3 3 1 0 1 0 333 n n n n nn zznnZzF 对该级数 当13 1 z时 级数收敛 并有 331 1 1 z z z zF 其收敛域为z平面上半经3 z的圆外区域 3 该序列可看作 nn n nnn 3 2 1 3 1 2 1 0 1 0 1 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 n n n n n nn n n n zzznnZzF 对该级数 当1 2 1 1 z且13 1 z时 级数收敛 并有 312 2 31 1 2 1 1 1 1 1 z z z z z z zF 其收敛域为z平面上半经3 z的圆外区域 322 4 该序列可看作 n n 4 cos 0 1 4 0 1 4 0 44 0 2 1 2 1 2 1 4 cos 4 cos n n j n n j n n njnj n n zeze zeez n n n ZzF 对该级数 当1 1 4 ze j 且1 1 4 z时 级数收敛 并有 12 2 2 1 4 cos2 4 cos 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 44 1 4 1 4 zz zz zz zz ez z ez z zeze zF jjjj 其收敛域为z平面上半经1 z的圆外区域 5 该序列可看作 n nn n nn n n 2 cos 2 sin 2 2 2 sin 4 cos 2 cos 4 sin 42 sin 12 22 12 2 12 2 1 2 cos2 2 cos 2 2 1 2 cos2 2 sin 2 2 2 cos 2 2 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 z zz z z z z zz zz zz z z n z n n nn ZzF n n n n 其收敛域为z平面上半经1 z的圆外区域 6 2 已知 1 n az z na n 21 z z nn 试利用z变换的性质求下列序列的z变换 1 2 n 2 0 6 n n 11 323 3 842 nnn 4 nn n 1 5 11 nn 6 11 nnn 7 11 2 nn 8 1 nnn 知识点窍 本题考察z变换的性质 逻辑推理 1 线性性质 z变换的线性性质表现为齐次性和可加性 即 若 zFnf zFnf 22 11 则 zbFzaFnbfnaf 2121 式中 a 和 b 为任意常数 2 移位特性 对于双边序列 nf 其右移 m 位后的单边z变换为 mnf m k km zkfzFz 1 对于单边序列 zFzmnmnf m 3 尺度变换 若 zFnf 则 nf乘以指数序列的z变换为 a z Fnfa n 4 初值定理 若 zFnf 且 zF z lim存在 则 nf的初值为 zFf z lim0 5 终值定理 若 zFnf 则若 nf的终值为 f nf n lim zFz z 1lim 1 6 卷积定理 若 zFnfzFnf 2211 则 nf1与 nf2卷积和的z变换为 zFzFnfnf 2121 解 1 1 n 根据 z 变换的移位特性 有 2 2 znZ 2 az z na n 则有 324 1 6 0 6 0 z z n 1 6 0 16 0 z z n n 根据 z 变换的线性 有 1 2 1 1 6 0 1 6 0 116 0 2 2 z z z z z z nZ n 3 1 z z n 根据 z 变换的移位特性 有 11 4 3 4 z z z z zn 11 8 7 8 z z z z zn 再根据 z 变换的线性 则有 1 2 11 2 1 842 7373 z zzz z z z z z z nnnZ 4 令 nnf n 1 1 则根据 az z na n 有 1 1 z z zF 所以 nnfnnnf n 1 1 根据 z 变换的微分性质 有 2 1 1 z z zF dz d zzF 5 21 z z nn 根据 z 变换的移位特性 有 2 2 1 1 1 1 11 zz z znnZ 6 令 11 1 nnnf 有 2 1 1 1 z zF 所以 nnfnnnnf 1 11 根据 z 变换的微分性质 有 3 3 1 1 2 1 1 2 z z z zzF dz d zzF 7 令 11 1 nnnf 有 2 1 1 1 z zF 所以 nfnnfnfnnnnf 111 2 111 325 根据 z 变换的微分特性和线性 有 3 23 11 1 1 1 1 1 2 z z zz z zFzF dz d zzF 8 1111 nnnnnnnnnf 21 z z nn 1 z z n 根据 z 变换的移位特性 有 21 1 11 z nnZ 1 1 1 z nZ 根据 z 变换的线性 有 0 1 1 1 1 1 22 zzz z zF 6 3 求下列象函数的z反变换 1 1 5 01 1 z 5 0 z 2 2 1 25 0 1 5 01 z z 5 0 z 3 az az 1 z 1 a 4 23 2 2 zz z 2 z 5 2 1 2 2 zz zz 2 z 6 25 05 0 2 zz z 5 0 z 7 1 1 2 z 1 z 8 11 2 zz z 1 z 知识点窍 本题考察z变换的反变换的方法 逻辑推理 求反变换通常有 3 种方法 1 幂级数展开法 将 F z展开成 n z 的级数 由 n z 的系数就是 f n的相应项 2 部分分式展开法 若 F z z 为有理分式 则可将 F z z 展开成部分分式 再乘以z 再利用常 用z变换进行反z变换 3 留数法 11 1 Re0 2 nn C i f nF z zdzs F z zn j 326 解 1 5 05 01 1 1 z z z zF 对上式取反变换 则有 nnf n 5 0 2 5 025 0 5 0 25 0 1 5 01 2 2 2 1 z z z zz z z zF 对上式取反变换 则有 nnf n 5 0 3 11 21 az K z K azz za z zF azFK z 01 11 2 12 a z zF azK a z 所以有 1 1 2 az a z a z zF 故有 a z z a a a az za azF 1 1 1 1 22 对上式取反变换 则有 naanan aa a nanf n n 12 2 1 11 4 212123 21 2 z K z K zz z zz z z zF 11 11 z z zF zK 22 22 z z zF zK 所以有 2 2 1 1 zzz zF 故有 2 2 1 z z z z zF 对上式取反变换 则有 nnnnf n nnn 121221 1 327 5 1212 1 2 1 3 21 2 2 2 z K z K z K zzz zz zzz zz z zF 2 1 01 z zFK 2 1 2 22 z z zF zK 11 13 z z zF zK 所以有 1 1 2 1 2 11 2 1 zzzz zF 故有 122 1 2 1 z z z z zF 对上式取反变换 则有 nnnnf n 2 2 1 2 1 6 25 05 025 05 0 21 z K z K zz z z zF 25 0 5 01 z z zF zK 125 0 25 02 z z zF zK 所以有 25 0 1 5 0 2 zzz zF 故有 25 05 0 2 z z z z zF 对上式取反变换 则有 nnnnf nn nn 21 2225 05 02 7 jz K jz K z K zzz zF 321 2 1 1 1 01 z zFK 2 1 2 jz z zF jzK 2 1 3 jz z zF jzK 所以有 jzjzzz zF 1 2 11 2 11 328 故有 jz z jz z zF 2 1 2 1 1 对上式取反变换 则有 n n nnjnjnnf n n 2 cos 2 1 2 1 8 11111 1 11 1 212 2 11 22 z K z K z K zzzz z zF 2 1 1 11 1 1 2 11 z z zF zK 4 1 1 12 1 1 2 12 z z zF z dz d K 4 1 1 12 z z zF zK 所以有 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 2 1 2 zzzz zF 故有 14 1 14 1 12 1 2 z z z z z z zF 对上式取反变换 则有 nnnnnnnf nn 4 1 1 4 1 2 1 1 4 1 4 1 2 1 6 4 若序列的z变换如下 求 0f 1 zF 12 2 zz z 2 z 2 zF 5 01 1 2 zz zz 1 z 3 zF 3 2 1 z zz 1 z 知识点窍 本题考察利用z变换求取序列的初值 逻辑推理 初值定理 若 zFnf 且 zF z lim存在 则 nf的初值为 zFf z lim0 解 329 1 1 23 1 1 lim 12 limlim0 2 2 zz zz z zFf zzz 2 1 5 05 0 1 11 1 lim 5 01 1 limlim0 2 2 2 zz zz zz zz zFf zzz 3 2 3 2 11 z z z zz zF 0 1 2 1 lim 1 limlim0 2 z z z z zFf zzz 6 5 若序列的z变换如下 能否应用终值定理 如果能 则求出 f 1 zF 3 1 2 1 1 2 zz z 2 zF 5 01 1 2 zz zz 3 zF 21 2 zz z 知识点窍 本题考察利用z变换求取序列的终值 逻辑推理 为了保证 f存在 只有当 n时 nf收敛才可应用 也就是说 其极点 必须限制在单位圆内部 在单位圆上只能位于1 z点且是一阶极点 否则 nf将随着 n而 无限地增长或者为不定值 终值定理 若 zFnf 则若 nf的终值为 f nf n lim zFz z 1lim 1 解 1 0 3 1 2 1 11 lim1limlim 2 11 zz zz zFznff zzn 2 2 5 0 1 lim1limlim 2 11 z zz zFznff zzn 3 zF收敛域为2 z 不满足应用终值定理的条件 故终值不存在 330 6 6 利用性质求下列序列的z变换 1 n n 2 cos 2 n n n 2 sin 3 n n n 2 cos 2 1 4 n i i 0 1 知识点窍 本题考察z变换的性质 逻辑推理 1 线性性质 z变换的线性性质表现为齐次性和可加性 即 若 zFnf zFnf 22 11 则 zbFzaFnbfnaf 2121 式中 a 和 b 为任意常数 2 移位特性 对于双边序列 nf 其右移 m 位后的单边z变换为 mnf m k km zkfzFz 1 对于单边序列 zFzmnmnf m 3 尺度变换 若 zFnf 则 nf乘以指数序列的z变换为 a z Fnfa n 解 1 2222 111 cos 2222 nn jj jnjn n f nneenenen 因为 n z an za 则有 22 22 nn jj jj zz enen zeze 由线性性质可得 2 22 2 2 2 2 2 22 22 2 cos 111 2 2221 2 cos1 1 2 jj jj jj zz ee zz zzz F z z zz zeze zz ee 2 令 n n nf 2 sin 1 则有 1 1 2 cos2 2 sin 2 2 1 z z zz z zF 331 所以 nnfn n nnf 1 2 sin 根据 z 变换的微分性质 有 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 z z z z zzF dz d zzF 3 令 n n nf 2 cos 1 则有 1 1 2 cos2 2 cos 2 2 2 2 1 z z zz zz zF 所以 nfn n nf nn 1 2 1 2 cos 2 1 根据 z 变换的尺度变换性质 有 14 4 2 2 2 1 z z zFzF 4 令 nnf n 1 1 则有 1 1 z z zF 所以 n i n i i ifnf 0 1 0 1 故根据时域部分求和性质 有 11 2 2 1 z z zF z z zF 6 7 试用卷积定理证明以下关系 1 mnfmnnf 2 nnnn 1 知识点窍 本题考察z变换的性质之一 卷积定理 逻辑推理 卷积定理 若 zFnfzFnf 2211 则 nf1与 nf2卷积和的z变换 为 zFzFnfnf 2121 332 证明 1 因 1 n 根据 z 变换的移位特性 有 m zmn 令 zFnf 则根据卷积定理有 zFzmnnf m 根据 z 变换的移位特性 可得 mnfzFzZ m 1 即有 mnfmnnf 2 令 nnfnf 21 则有 1 21 z z zFzF 2 2 21 1 z z zFzF 故有 1 1 1 1 1 22 21 z zz z z zFzF 即有 11 2 21 z z z z zFzF 对上式求反变换 有 nnnzFzFZ 21 1 根据卷积定理有 zFzFnfnf 2121 所以 nnnzFzFZnfnf 21 1 21 即有 nnnn 1 6 8 已知上题的结论 nnnn 1 试求 nn 的z变换 知识点窍 本题考察z变换的性质 逻辑推理 1 线性性质 z变换的线性性质表现为齐次性和可加性 即 若 zFnf zFnf 22 11 则 zbFzaFnbfnaf 2121 式中 a 和 b 为任意常数 2 卷积定理 若 zFnfzFnf 2211 则 nf1与 nf2卷积和的z变换为 zFzFnfnf 2121 333 解 令 nnfnf 21 则有 1 21 z z zFzF 所以 2 2 21 1 z z zFzF 令 nnnf 3 nnf 4 则有 1 4 z z zF 根据卷积定理 zFzFnfnf 2121 以及已知条件 nnnn 1 即 nfnfnfnf 4321 则可得 2 2 2143 1 z z zFzFnfnf 再由 z 变换线性可知 zFzFnfnf 4343 则有 2 2 2 4213 111 z z z z z z zFzFzFzF 即 21 z z nn 6 9 利用卷积定理 求下述序列的卷积 nhnfny 1 2 nnhnanf n 2 1 nnhnanf n 3 nbnhnanf nn 知识点窍 本题考察z变换的性质 卷积定理 以及反变换求法 逻辑推理 卷积定理 若 zFnfzFnf 2211 则 nf1与 nf2卷积和的z变换 为 zFzFnfnf 2121 解 1 nanf n 则有 az z zF 因 1 n 2 nnh 根据 z 变换的移位特性 有 2 zzH 334 所以 azz z az z zHzF 1 2 根据卷积定理 zHzFnhnfny 即有 azz zHzFzY 1 求其 z 变换 将 zY进行部分分式展开 可得 az K z K z K azzz zY 212 2 11 2 1 其中 az zY zK z 1 11 1 0 2 11 2 0 2 12 1 12 1 az zY z dz d K z 2 2 1 az zY azK az 所以有 azazazaz zY 111111 222 故 az z aaza zY 22 1111 对上式求反变换有 na a n a n a ny n 22 11 1 1 2 nanf n 则有 az z zF 因 1 z z n 1 nnh 根据 z 变换的移位特性 有 1 1 1 1 zz z zzH 所以 azz z zaz z zHzF 11 1 根据卷积定理 zHzFnhnfny 即有 azz z zHzFzY 1 求其 z 变换 将 zY进行部分分式展开 可得 335 az K z K azzz zY 21 11 1 其中 az zY zK z 1 1 1 1 1 1 1 2 az zY azK az 所以有 azazaz zY 1 1 1 1 1 1 1 故 az z az z a zY 1 1 11 1 对上式求反变换有 na a na a n a ny nn 1 1 1 1 1 1 1 3 nanf n 则有 az z zF nbnh n 则有 bz z zH 所以 bzaz z bz z az z zHzF 2 1 根据卷积定理 zHzFnhnfny 即有 bzaz z zHzFzY 2 求其 z 变换 将 zY进行部分分式展开 可得 bz K az K bzaz z z zY 21 其中 ba a z zY azK az 1 ab b z zY bzK bz 2 所以有 bzab b azba a z zY 11 故 bz z ab b az z ba a zY 对上式求反变换有 nba ba nb ab b na ba a ny nnnn 11 1 6 10 用z变换求下列齐次差分方程 336 1 11 019 0 ynyny 2 22 01 0221 yynynyny 3 31 00 0212 yynynyny 4 31 00 0221 yynynyny 知识点窍 本题考察用z变换求解系统响应的方法 逻辑推理 利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为 1 对给定的差分方程进行z变换 将时域内的激励 nf和响应 ny分别变换成z域内的激励 zF和响应 zY 2 对差分方程z变换后得到的代数方程求解 求得z域内的响应 zY 3 对 zY进行z反变换 即可求的得待求的时域响应 ny 解 1 对差分方程z变换 根据移位特性 可得 019 0 1 yzYzzY 则 1 9 01 19 0 z y zY 将初始条件 11 y代入 zY的式中 整理后可得 9 0 9 0 9 01 9 0 1 z z z zY 对 zY进行z反变换 可得 nny n 1 9 0 2 对差分方程z变换 根据移位特性 可得 02121 121 yyzzYzyzYzzY 则 21 1 21 12221 zz zyyy zY 将初始条件 22 01 yy代入 zY的式中 整理后可得 2 4 2 2 zz z zY 337 由此可得 2 88 4 36 221 Y zz zzzzz 即得 88 36 21 zz Y z zz 对上式求z反变换 即得 81 21 32 n n y nn 3 对差分方程z变换 根据移位特性 可得 02010 12 zYyzYzyzyzYz 则 2 010 2 2 zz zyzyzy zY 将初始条件 31 00 yy代入 zY的式中 整理后可得 122 3 2 z z z z zz z zY 对 zY进行z反变换 可得 21 n n y nn 4 对差分方程z变换 根据移位特性 可得 02121 121 yyzzYzyzYzzY 则 21 1 21 12221 zz zyyy zY 由给定的初始条件 31 00 yy确定所需的初始条件 1 y和 2 y 可以令差分方程中的 1 n和0 n 则有 02210 01201 yyy yyy 从中解出 4 3 2 2 3 1 yy 将初始条件 1 y和 2 y代入 zY的式中 整理后可得 122 3 2 z z z z zz z zY 338 对 zY进行z反变换 可得 21 n n y nn 6 11 画出图 6 1 所示系统的z域模拟图 并求该系统的单位响应和阶跃响应 图 6 1 知识点窍 本题考察系统z域模拟图的绘制方法 逻辑推理 首先由时域模拟图得到系统的差分方程 再由此求出系统的函数 根据系统的函 数的定义即可求出单位响应和阶跃响应 解 a 由 z 域模拟图可得 1 3 1 nynfny 即差分方程为 nfnyny 1 3 1 在零状态下对差分方程两边取 z 变换 得 zFzYz 1 3 1 1 故 zH zF zY 1 3 1 1 1 z Z 域模拟图 如图 6 2 1 求系统的单位响应 nh 1 z zY zF 3 1 图 6 2 339 已经求得系统函数 zH 求其 z 反变换即求得 nh 3 1 3 1 1 1 1 z z z zH 对上式取反变换即得单位响应 nnh n 3 1 2 求系统的阶跃响应 ng 当输入 nnf 时 有 1 z z zF 1 3 1 z z z z zFzHzG 将 zG进行部分分式展开得 1 3 1 1 3 1 21 z K z K zz z z zG 求出系数 2 3 2 1 21 KK 所以有 12 3 3 1 2 1 z z z z zG 取 zG的反变换即得阶跃响应 nnnng n n 33 2 1 2 3 3 1 2 1 b 由 z 域模拟图可得 nfnyny 5 01 在零状态下对差分方程两边取 z 变换 得 zFzYzzY 5 0 故 340 zH zF zY 5 0 1 z Z 域模拟图 如图 6 3 1 求系统的单位响应 nh 已经求得系统函数 zH 求其 z 反变换即求得 nh 5 0 1 z zH 将 zH进行部分分式展开 得到 5 05 0 1 21 z K z K zzz zH 求出系数2 2 21 KK 所以有 5 0 2 2 z z zH 对上式取反变换即得单位响应 nnnh n 5 022 2 求系统的阶跃响应 ng 当输入 nnf 时 有 1 z z zF 15 0 1 z z z zFzHzG 将 zG进行部分分式展开得 15 0 21 z K z K z zG 求出系数2 2 21 KK 1 z zY zF 2 1 图 6 3 1 z 341 所以有 1 2 5 0 2 z z z z zG 取 zG的反变换即得阶跃响应 nnnng n n 5 01225 02 6 12 已知系统的差分方程 输入序列和初始状态如下 试用z域分析法求系统的完全响应 1 0 510 5 11 n y ny nf nf nny 2 01 15 015 0 ynnfnfnfnyny 知识点窍 本题考察用z变换求解系统全响应的方法 逻辑推理 利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为 1 对给定的差分方程进行z变换 将时域内的激励 nf和响应 ny分别变换成z域内的激励 zF和响应 zY 2 对差分方程z变换后得到的代数方程求解 求得z域内的响应 zY 3 对 zY进行z反变换 即可求得全响应 ny 解 1 对差分方程两边取z变换 根据移位特性 可得 1 0 51Y zz Y zyF z 1 当输入 0 5 n f nn 时 有 0 5 z F z z 将初始条件 11 0 5 z yF z z 代入 1 式 即得 0 5 0 5 z Y z z 对其取反变换即得到系统的全响应为 1 0 5 n y nn 2 对差分方程两边取z变换 根据移位特性 可得 15 015 0 11 fzFzzFyzYzzY 2 当输入 nnf 时 有 1 z z zF 01 f 将初始条件 01 y 1 z z zF 01 f代入 2 式 有 342 1 5 0 1 5 0 1 zz z zYzzY 故有 15 01 1 5 0 1 1 z z z zz z zY 对上式取反变换即得到系统的全响应为 y nn 6 13 设系统的差分方程为 nfnynyny 2615 当 nnf 2 初始状态 22 31 yy时 求系统的响应 ny 知识点窍 本题考察用z变换求解系统全响应的方法 逻辑推理 利用z变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为 1 对给定的差分方程进行z变换 将时域内的激励 nf和响应 ny分别变换成z域内的激励 zF和响应 zY 2 对差分方程z变换后得到的代数方程求解 求得z域内的响应 zY 3 对 zY进行z反变换 即可求得全响应 ny 解 对差分方程z变换 根据移位特性 可得 zFyyzzYzyzYzzY 21615 121 当输入 nnf 2 时 有 1 2 z z zF 将初始条件 1 2 z z zF 22 31 yy代入上式 可得 1 2 23635 121 z z zzYzzYzzY 故有 21 65 321 365 321 18215 651 318 1 2 23 21 1 zz zz zzz zzz zzz zzz zz z z z zY 将上式进行部分分式展开 得到 343 2121 65 21 z K z K zz z z zY 求出系数4 1 21 KK 故 2 4 1 z z z z zY 对上式取反变换即得到系统响应 nnnny n n 2 2124 6 14 若一系统的输入 2214 nnnnf 系统函数为 zH 11 5 011 1 zz 试求系统的零状态响应 知识点窍 本题考察利用系统函数求解系统零状态响应的方法 逻辑推理 系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比 即 zs Yz H z F z 由此 可得 zs YzH z F z 再将其求z反变换即可得零状态响应 解 当输入 2214 nnnnf 时 则有 21 241 zzzF 已知系统函数 zH 可得系统的零状态响应的象函数为 5 01 24 241 5 011 1 2 21 11 zz zz zz zz zFzHzYzs 将上式进行部分分式展开 得到 5 015 01 24 321 2 z K z K z K zzz zz z zYzs 求出系数1 2 4 321 KKK 故 5 01 2 4 z z z z zYzs 对上式取反变换即得到系统的零状态响应 nnnnnny nn 5 0245 024 344 6 15 某数字系统的差分方程为 12212 017 0 nfnfnynyny 1 求系统函数 zH 2 求单位响应 nh 知识点窍 本题考察由差分方程求解系统函数的方法 逻辑推理 系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比 即 zs Yz H z F z 由此 可知 将差分方程两边按照零状态条件下进行z变换 然后求出响应和激励的z变换比值即为系统 函数 解 1 求系统函数 zH 在零状态下对差分方程两边取 z 变换 得 zFzzFzYzzYzzY 121 212 0 7 0 故有 zH zF zY 12 0 7 0 2 12 0 7 01 2 2 2 21 1 zz zz zz z 2 求单位响应 nh 已求得系统函数 zH 取其 z 反变换即求得 nh 将 zH进行部分分式展开得 4 03 04 03 0 12 12 07 0 12 21 2 z K z K zz z zz z z zH 求出系数2 4 21 KK 所以有 4 0 2 3 0 4 z z z z zH 对上式取反变换即得到系统的单位响应 nnnnh n nnn 4 03 0224 023 04 6 16 设一系统的差分方程为 nfnyny 1 3 1 1 试求单位响应 nh 345 2 若系统的零状态响应为 ny3 n nn 3 1 2 1 试求输入信号 nf 3 试判断该系统是否稳定 知识点窍 本题考察系统函数定义及系统是否稳定的判定的方法 逻辑推理 系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比 即 zs Yz H z F z 系统稳定的条件是其单位响应绝对可和 即 n h n 即其系统函数 H z全部极点必须位 于单位圆内 解 1 求单位响应 nh 在零状态下对差分方程两边取 z 变换 得 zFzYzzY 1 3 1 故有 3 1 3 1 1 1 1 z z z zH 对上式取反变换即得单位响应 nnh n 3 1 2 系统的零状态响应为 ny3 n nn 3 1 2 1 则有 3 1 2 1 3 z z z z zY 由求得系统函数 zH 则有 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 3 1 3 1 2 1 3 zz z z z z z z z zH zY zF 346 将 zF进行部分分式展开 得到 2 1 2 1 2 1 21 z K z K zz z zF 求出系数1 1 21 KK 故 2 1 1 z z zF 对上式取反变换即得输入信号为 nnnf n 2 1 3 由于 zH的极点为 3 1 1 z 它位于单位圆内 故该系统是稳定的 6 17 设离散系统输入为 nnf 时 零状态响应为 nny n 5 012 若输入为 nnf n 5 0 时 求系统的响应 该系统是否稳定 知识点窍 本题考察系统函数定义及系统是否稳定的判定的方法 逻辑推理 系统函数定义为系统零状态响应和激励的z变换之比 即 zs Yz H z F z 系统稳定的条件是其单位响应绝对可和 即 n h n 即其系统函数 H z全部极点必须位 于单位圆内 解 系统输入 nnf 时 有 1 z z zF 零状态响应为 nny n 5 012 即有 5 0 2 1 2 z z z z zY 故 5 0 1 5 0 12 2 1 5 0 2 1 2 zz z z z z z z z zF zY zH 347 若输入为 nnf n 5 0 则有 5 0 z z zF 故 25 05 05 0 1 z z z z z zFzHzY 对上式求 z 反变换 即得系统响应为 nnny n 1 5 0 由于系统函数 zH的极点为5 0 1 z 它位于单位圆内 故该系统是稳定的 6 18 某一离散系统的系统函数为 zH 112 23 2 2 zkz zz 为使系统稳定 常数 K 应满足什么 条件 知识点窍 本题考察系统是否稳定的判定的方法 逻辑推理 系统稳定的条件是其单位响应绝对可和 即 n h n 即其系统函数 H z 全