数字信号处理 第二版 第四章.pdf

1 第四章第四章 数字滤波网络数字滤波网络 Topics 4 4 1 1 数字滤波器结构的表示方法数字滤波器结构的表示方法 4 4 2 IIR2 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 4 4 3 FIR3 FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 2 4 4 1 1 数字滤波器结构的表示方法数字滤波器结构的表示方法 一 数字滤波器的概念一 数字滤波器的概念 数字滤波器 当输入 输出是离散信号数字滤波器 当输入 输出是离散信号 滤滤 波器的冲激响应是单位抽样响应波器的冲激响应是单位抽样响应 时 这时 这 样的滤波器称作样的滤波器称作数字滤波器数字滤波器 ny x n h n h n nhnxny 对其进行傅氏变换得对其进行傅氏变换得 e H e X e Y jjj 3 如下图示 如下图示 j H e c c j eX 0 j eY c c j eH 0 0 为矩形窗时的情形为矩形窗时的情形 图4 1 数字滤波器频响示意图 4 数字滤波器的实现方法 数字滤波器的实现方法 a a 利用通用计算机编程 即软件实现利用通用计算机编程 即软件实现 b b 数字信号处理器 数字信号处理器 DSPDSP 即专用硬件实现 即专用硬件实现 二 数字滤波器的系统函数与差分方程二 数字滤波器的系统函数与差分方程 1 1 系统函数 系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示一个数字滤波器的系统函数一般可表示 为有理函数形式 为有理函数形式 N k k M k k za zb zX zY zH k k 1 0 1 5 该式为该式为IIRIIR滤波器形式滤波器形式 若若 都为都为0 0时就是一时就是一 个个FIRFIR滤波器滤波器 2 2 差分方程差分方程 对于该系统对于该系统 也可用差分方程来表示 也可用差分方程来表示 k a H z X z Y z N k M k kk knxbknyany 10 6 描述常系数差分方程的三种基本运算 描述常系数差分方程的三种基本运算 加加 法 单位延迟 乘常数 法 单位延迟 乘常数 三 数字滤波器结构的表示法三 数字滤波器结构的表示法 1 方框图法 方框图法 单位延时单位延时 n x z 1 1 nx 乘常数乘常数 a y n ay n 1 nxny 1 ny nx 相加相加 7 例如 例如 2 1 021 nx b ny a ny a ny x n b0 y n 1 Z 1 Z 1 a 1 1 nya 2 a 2 2 nya 1 ny 2 ny 0 b x n 图4 2 一阶数字滤波器的结构方框图 8 2 2 信号流图法 信号流图法 信号流图是由连接节点的有向支路构成的一信号流图是由连接节点的有向支路构成的一 种网络 和每个节点相联系的是一个变量或节种网络 和每个节点相联系的是一个变量或节 点值 箭头的方向代表信号流动的方向 包括点值 箭头的方向代表信号流动的方向 包括 三种基本的运算 三种基本的运算 单位延时 单位延时 乘常数 乘常数 相加 相加 1 Z a 9 例如 例如 2 1 021 nx b ny a ny a ny 1 nx 2 1 21 nyanya 0 b 2 y n 3 5 4 1 Z 1 Z 1 ny 2 ny 1 a 2 a 2 2 nya 6 7 a1y n 1 图4 3 数字滤波器的信号流图表示 10 4 4 2 2 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 一 一 IIRIIR滤波器的特点滤波器的特点 1 1 单位冲激响应 单位冲激响应 是无限长的 是无限长的 2 2 系统函数 系统函数 在有限在有限Z平面 平面 上有极点存在 上有极点存在 3 3 结构上是递归型的 即存在着输出到输入 结构上是递归型的 即存在着输出到输入 的反馈 的反馈 h n H z0z 11 二 基本结构二 基本结构 1 1 直接 直接I I型型 直接由直接由IIRIIR滤波器的差分方程所得的网络结滤波器的差分方程所得的网络结 构 由构 由IIRIIR数字滤波器的时域方程数字滤波器的时域方程 M k k N k k knxbknyany 01 其系统函数为其系统函数为 0 1 1 M k k k N k k k b z Y z H zB z A z X z a z 12 式中 式中 可知 可知 实现了系统的零点 实现了系统的零点 实现了系统的极点 实现了系统的极点 其结构图如其结构图如4 4 4 4示 示 0 M k k k B zb z 1 1 1 M k k k A z a z B z A z 13 特点 特点 第一个网络实现第一个网络实现零点零点 即实现 即实现x n x n 加权延时加权延时 ny 1 nx nx z 1 z 1 z 1 2 nx 1 Mnx Mnx b0 b1 b2 b M 1 b M a1 a2 a N 1 a N 1 ny 1 Nny Nny 2 ny z 1 z 1 z 1 直直 接接 I I 型型 B z A z 图4 4 IIR数字滤波器的直接I型结构 14 第二个网络实现第二个网络实现极点极点 即实现 即实现y n y n 加权延时加权延时 2 2 直接 直接IIII型 正准型 型 正准型 对于对于直接直接I I型 型 即交换子系统即交换子系统 和和 顺序可得直接顺序可得直接IIII型型 结构 如图结构 如图3 3 5 5示 示 N k k knya 1 H zB z A zA z B z A z B z 0 knxb N k k 15 将图将图 a a 中间两部分的延迟单元合并得到图中间两部分的延迟单元合并得到图 b b B z 图4 5 IIR数字滤波器的直接II型结构 nx z 1 a1 a 2 1N a z 1 N a z 1 z 1 z 1 b0 b1 b2 bM 1 bM ny nx z 1 z 1 b0 b1 b2 bM 1 bM ny nx aN 1 N a z 1 a1 a 2 z 1 z 1 图 a 图 b 直直 接接 II 型型 A z B z A z 16 图图 a 中中 对上两式进行对上两式进行Z Z变换变换 M k k knxbny 0 N k k nxknxanx 1 1 0 N k k k M k k k XzXza zX z Y zXzb z 17 因此因此 它和直接它和直接II型具有相同的系统函数 型具有相同的系统函数 II型所型所 用延迟单元减少用延迟单元减少M M个 可节省存储器 个 可节省存储器 1 1 N k k k X z Xz a z 0 1 1 M k k k N k k k b z Y z H z X z a z 18 共同的缺点 共同的缺点 系数系数a ak k b bk k对滤波器性能的控制不直接 对对滤波器性能的控制不直接 对 极 零点的控制难 一个极 零点的控制难 一个a ak k b bk k的改变会影系的改变会影系 统的零点或极点分布 统的零点或极点分布 对字长变化敏感 对对字长变化敏感 对a ak k b bk k的准确度要求严的准确度要求严 格 格 不稳定 阶数高时 上述影响更大 不稳定 阶数高时 上述影响更大 19 3 3 级联型 串联 级联型 串联 先将一个先将一个N N阶系统函数的分子 分母都表达阶系统函数的分子 分母都表达 为因子形式 为因子形式 12 12 0 1 111 11 111 11 1 1 1 1 1 1 1 k kkk kkk M k k N k k k MM kk NN kk b z H Z a z p zq zq z A c zd zd z 20 其中 其中 p pk k为实零点 为实零点 c ck k为实极点 为实极点 q qk k q qk k 表表 示复共轭零点 示复共轭零点 d dk k d dk k 表示复共轭极点 表示复共轭极点 M MM M1 1 2M 2M2 2 N NN N1 1 2N 2N2 2 再将一阶共轭因子展开 构成实系数二阶再将一阶共轭因子展开 构成实系数二阶 因子 单实根因子看作二阶因子的一个特例 因子 单实根因子看作二阶因子的一个特例 则得则得 12 11 12 11 112 12 112 12 1 1 1 1 MM kk NN kk kkk kkk p zzz H zA c zzz 21 进一步完全分解成实系数的二阶因子 进一步完全分解成实系数的二阶因子 12 12 12 12 1 1 LL kk k kk kk zz H zAAHz zz 用若干一阶 二阶子网络用若干一阶 二阶子网络 级联构成级级联构成级 联结构滤波器 二阶子网络称为二阶基本节 联结构滤波器 二阶子网络称为二阶基本节 可用直接可用直接II型实现 型实现 其中 其中 L表示二阶节数表示二阶节数 若若M N N N为偶数为偶数 时 时 L N 2 N N为奇数时为奇数时L k Hz 1 2 N 22 当 当 M N 2M N 2 时 时 2 21 1 11 2 21 1 11 1 1 zz zz AzH L Hz 1 Hz A B 11 21 11 21 1 Z 1 Z nx 1L 2L 1L 2L 1 Z 1 Z ny 图4 6 级联结构滤波器 23 它表示一个基本二阶节 有它表示一个基本二阶节 有 A B 11 21 11 21 1 Z 1 Z nx ny 当 当 M N 4M N 4 时 时 2 22 1 12 2 22 1 12 2 21 1 11 2 21 1 11 1 1 1 1 ZZ ZZ ZZ ZZ AZH 图4 7 级联结构的二阶基本节 24 该式表示两个二阶节级联 该式表示两个二阶节级联 当当 M N 6 时 则有三个时 则有三个二阶节级联 即二阶节级联 即 2 23 1 13 2 23 1 13 2 22 1 12 2 22 1 12 2 21 1 11 2 21 1 11 1 1 1 1 1 1 ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ AZH A 11 21 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 11 12 22 12 22 13 23 13 23 nx ny 21 Z 1 1 Z 图4 8 六阶IIR滤波器的级联结构 25 特点 特点 简化实现 用一个二阶节 通过变换系数简化实现 用一个二阶节 通过变换系数 就可实现整个系统 就可实现整个系统 极 零点可单独控制 调整极 零点可单独控制 调整 各二阶节零 极点的搭配可互换位置 优各二阶节零 极点的搭配可互换位置 优 化组合以减小运算误差化组合以减小运算误差 可流水线操作可流水线操作 所用的存储器的个数最少所用的存储器的个数最少 缺点 缺点 二阶节电平难控制 电平大易导致溢二阶节电平难控制 电平大易导致溢 出 电平小则使信噪比减小 出 电平小则使信噪比减小 26 将系统函数展开成部分分式之和 可用并将系统函数展开成部分分式之和 可用并 联方式构成滤波器 联方式构成滤波器 4 4 并联型 并联型 12 110 1 1 1 1 1 1 1 1 N k N k NM k k k kk kk k k ZG ZdZd ZgB Zc A ZH kkkkk GcgBA 共轭 共轭 当当M NM N时 不包含时 不包含 项 项 M NM N时 时 k d k d NM k k k ZG 0 其中 其中 均为实数 均为实数 和和 复复 该项为该项为G G0 0 则则 表示为表示为 H z 27 12 1 01 0 112 11 12 1 1 NN kkk kk kkk Az H zG C zzz 上式表明 可用上式表明 可用 个一阶网络 个一阶网络 个二阶网络以个二阶网络以 及一个常数及一个常数 并联组成滤波器并联组成滤波器 1 N 2 N 0 G H z x n 1 Hz 2 Hz 1 2 N Hz y n 图4 9 并联结构 M N 28 1 1 2 01 0 12 1 12 1 2 0 1 1 N kk k kk N k k Z H ZG ZZ GHZ 0 12 kk 当当N N为奇数时 必定包含一个一阶节 即为奇数时 必定包含一个一阶节 即 当当M NM N时 将一阶实极点和共轭极点化成实系数时 将一阶实极点和共轭极点化成实系数 二阶多项式 二阶多项式 H Z H Z 可表为可表为 29 例 例 M N 3M N 3时 为奇数 故时 为奇数 故 1 010212 0 112 111222 123 11 Z H zG ZZZ H zHzHz 所以所以 123 HY ZHZH ZZX Z 30 其结构图如下 其结构图如下 1 H Z X Z 0 G 01 11 1 Z 12 22 1 Z 12 Y z nx ny 02 1 Z 2 HZ 2 HZ 图4 10 三阶IIR滤波器并联结构 31 并联型的特点 并联型的特点 系统实现简单 系统实现简单 极点位置可单独调整 极点位置可单独调整 运算速度快 可并行进行 运算速度快 可并行进行 各二阶网络的误差互不影响 总的误差小 各二阶网络的误差互不影响 总的误差小 对字长要求低 对字长要求低 缺点 缺点 不能直接调整零点 不能直接调整零点 32 三 三 转置结构转置结构 如果将原网络中所有支路方向加以倒转 且将如果将原网络中所有支路方向加以倒转 且将 输入和输出交换 其系统函数仍不改变 输入和输出交换 其系统函数仍不改变 原网络 原网络 0 b 1 a 2 a 1 N a N a 1 Z 1 b 2 b 1 M b M b nx ny 1 Z 1 Z 1 Z 33 转置后的网络转置后的网络 1 a 2 a 1 b 2 b 1 N a N a 1 M b 1 Z 1 Z ny nx 0 b M b 1 Z 1 Z 34 四 几种结构的比较四 几种结构的比较 直接直接I型和直接型和直接II型型 简单直观 但简单直观 但直接直接II型比直接型比直接I型节省延时型节省延时 单元 单元 直接型的主要缺点对滤波器的性能控制不直接型的主要缺点对滤波器的性能控制不 直接 容易出现不稳定或产生较大误差 直接 容易出现不稳定或产生较大误差 级联结构级联结构 可单独调整个别零极点对来改善滤波器的可单独调整个别零极点对来改善滤波器的 性能 能有效的减少有限字长效应 性能 能有效的减少有限字长效应 并联结构并联结构 只能独立的调整各极点的位置 不能单独只能独立的调整各极点的位置 不能单独 35 调整零点的位置 但并联结构的误差比级联结调整零点的位置 但并联结构的误差比级联结 构的运算误差小 运算速度快 构的运算误差小 运算速度快 例例3 3 5 5 已知系统的传输函数为已知系统的传输函数为 2 32 0 440 3620 02 0 40 180 2 zz H z zzz 123 123 0 440 3620 02 1 0 40 180 2 zzz H z zzz 画出直接画出直接II型 级联型和并联型结构流图 型 级联型和并联型结构流图 解 将原式写成解 将原式写成z z 1 1的有理分式 可得的有理分式 可得 36 与滤波器的系统函数标准形式比较可得与滤波器的系统函数标准形式比较可得 1 2 3 0 4 0 18 0 2 a a a 0 1 2 3 0 0 44 0 362 0 02 b b b b 37 则得到级联结构的流图 121 121 0 440 3620 02 1 0 80 51 0 4 zzz H z zzz 将上式写成级联的形式得将上式写成级联的形式得 38 则得到并联结构的流图则得到并联结构的流图 1 112 0 60 50 2 0 1 1 0 41 0 80 5 z H z zzz 再将再将H z H z 部分分式分解得部分分式分解得 39 4 4 3 FIR3 FIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构 一 一 FIRFIR滤波器的特点滤波器的特点 1 1 单位冲激响应 单位冲激响应h n h n 在有限个在有限个n n值处不为零 值处不为零 2 2 3 3 非递归结构 非递归结构 FIRFIR滤波器的输出响应可由卷积公式求得滤波器的输出响应可由卷积公式求得 0H zz 在处收敛 极点全部在处收敛 极点全部在Z 0Z 0处 处 1 0 N k knxkhny 40 则则对应的传输函数为对应的传输函数为 1 0 N n n H zh n z h n h n 为一个为一个N N点序列 点序列 Z 0Z 0处为 处为 N N 1 1 阶极点 阶极点 z 有 有 N N 1 1 阶零点 阶零点 41 1 Z 1 Z 1 Z h 0 h 1 h 2 h N 2 h N 1 nx ny 用转置定理可得另一种结构用转置定理可得另一种结构 1 0 N m mnxmhny 二 基本结构二 基本结构 1 1 横截型 卷积型 直接型 横截型 卷积型 直接型 图4 11 FIR 滤波器的横截型结构 42 2 2 级联型 级联型 串联型 串联型 N 2N 2 表示取表示取N 2N 2的整数部分 如的整数部分 如N 3N 3 N 2 1 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z h N 1 h N 2 h N 3 h 2 h 1 h 0 nx ny 将系统函数分解为二阶实系数因子的形式 将系统函数分解为二阶实系数因子的形式 1 0 2 1 2 2 1 10 N n N k kkk n ZZZnhZH 图4 12 图3 11的转置型结构 43 N N为偶数时 为偶数时 N N 1 1为奇数 这时因为有奇数个为奇数 这时因为有奇数个 根 所以根 所以 中有一个为零 中有一个为零 k2 当当N N为奇数时的结构如下 为奇数时的结构如下 zz zHN 2 21 1 1101 3 时 zz zX zY 2 21 1 1101 2 1 211101 nxnxnxny 44 一般情况 一般情况 01 11 21 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 02 12 22 2 1 N 2 2 N nx ny 特点 每节结构可控制一对零点 所需系数多特点 每节结构可控制一对零点 所需系数多 乘法次数 乘法次数 也多 也多 ik 图4 13 FIR 滤波器的级联型结构 45 3 3 线性相位型 线性相位型FIRFIR滤波器的对称结构滤波器的对称结构 若若FIRFIR滤波器的单位脉冲响应满足条件滤波器的单位脉冲响应满足条件 偶对称条件偶对称条件 奇对称条件奇对称条件 1 0 1 1 1 0 1 1 h nh NnnN h nh NnnN 则则FIRFIR数字滤波器具有线性相位特性 数字滤波器具有线性相位特性 46 线性相位滤波器的流图结构线性相位滤波器的流图结构 N N为偶数 为偶数 当当 满足满足偶对称偶对称条件时 则卷条件时 则卷 积求和可改写为积求和可改写为 1 0 2 11 0 2 2 1 2 1 00 2 1 0 1 1 1 N k NN kk N NN kk N k y nh k x nk h k x nkh k x nk h k x nkh Nkx nNk h kx nkx nNka mk再将 换成 1kNm 令 h n 47 1 2 1 0 N nNn n H zh n zz 其中 其中 表示偶对称 表示偶对称 表示奇对表示奇对 称 称 n n 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 n n 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 偶数 偶对称 偶数 奇对称 48 当当 满足满足奇对称奇对称条件 卷积求和可改写为条件 卷积求和可改写为 2 1 0 1 N k y nh kx nkx nNkb h n 由式由式 a b a b 画出下图示结构图画出下图示结构图 偶对称时取 1 奇对称时取 1 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 1 1 1 0 h