浅论布劳维尔的逻辑与哲学思想——兼与维特根斯坦比较.docx

Y71322学枝代码：10246学号：022016029後旦大擎硕士学位论文浅论布劳维尔的逻辑与哲学思想一一兼与维特根斯坦比较院系：哲学系专业：逻辑学姓名： 勾金华 指导老师： 昂扬副教授 完成日期：2005年5月18日摘要中文摘要自现代逻辑产生之初，它就与数学及语言有着密不可分的关系，对这两对关系持有 不同观点的逻辑学家，往往也会有非常不同的逻辑观及哲学观。布劳维尔是20世纪伟大的数学家、哲学家，他提出的直觉主义数学及直觉主义逻 辑继弗雷格和罗素的古典逻辑形式系统之后影响极为广大和深远。在众多的非古典逻辑 中，“直觉主义逻辑拥有一种独一无二的地位：它是迄今建立的唯一正被相当大一群干 练的科学家实际使用着的逻辑。它也是唯一已被推广到命题逻辑的量词逻辑之外而用来 叙述数学的某些部分的逻辑。头一个想出一种不同寻常的逻辑的乌卡谢维奇曾希望有一 大会m几种象菲欧几何那样被人实际使用的逻辑。 看来，直觉主义逻辑是唯一还有 机会实现乌卡谢维奇计划的一个。”1本文主要介绍了布劳维尔的逻辑思想包括逻辑与数学的关系、对逻辑公理方法的批 评和他对语言及其作用的看法；重点介绍了布劳维尔关于否定、双重否定律和排中律的 观点，以及布劳维尔观点的哲学基础，并在此基础上将布劳维尔与同时代的维特根斯坦 作了一个比较。国内逻辑学界对布劳维尔的介绍并不多，本文的目的旨在简要介绍布劳维尔的思想 观点，希望能够起到抛砖引玉的作用。关键词数学否定时问直觉建构语言1数学基础研究二十年P12波兰安德热依莫斯托人斯基著，郭世铭陈安捷修庆云译，康 宏逵校，华中工业学院出版社出版1983年版AbstractModern logiC iS nearlY relative to mathematiCS and 1anguage Since it csifle into beingAnd logicians always have different logical views and philosophiC views in terms of their different opinions to the two couples 0nnect 1 0nsLuitzen Egbertus Jan Brouwer was a great mathematiCian，phi osopher and 109iCianHe initiated intuitionism which has very farreachingnfluence in the academeWhatS more，it iS the only one of nonclassical which has already spread to quantifier logiC and iS still used by a lot of logiCians ti 1l now 7lhiS paper demonstrated BrouwerS iogical opinions including the relations between logic and mathematiCS，the criticisms to formuli sm and hiS standpoints about languageMoreover，the emphases are hiS viewpoints of negation and the refutation of PEMBesidesthere iS a compare between Brouwer and Wittgensteinto show that Brouwer has influenced Wittgenstein to a certain extentAs there are not SO many introduction about Brouwer the purpose of thi S paper j S to arose more diSCUSSion about intuitionismKey wordsMathematicSNegationTimeIntui LjonConstructLanguage月lJ吾现代逻辑是从莱布尼茨开始的。在莱布尼茨所处的十七世纪，许多人提出了构造人 工语言的建议，其目的是为了方便交流且可以更迅速地传达思想。莱布尼茨亦不例外， 他对构造理想的人工语言十分感兴趣，并且，他的某些想法和观点对日后形式语言的构 造有很大的帮助：首先，传统的三段论推理不是理想的人工语言。虽然莱布尼茨尊重传统的三段论逻 辑，并在很大程度上受到了它的制约，但他仍然认为并不是所有的推理都能够划归为三 段论，诸如表示关系之间的推理。他认为理想语言应该有一个保证它为真F终极和完全 的“字母表”，应考虑到一切可能的组合。此外，他还主张“一切真的命题(甚至包括 单称命题)都是实质上同一的命题”2。其次，莱布尼茨注意到包括三段论在内的逻辑同代数、几何等有某些相似，他曾试 图把逻辑表示成一种演算，在这一尝试中应用到了排列组合理论，并且他构造出了同一、 包含等的演算。最后，他认为“可能构造一种符号系统，这种系统可以作内涵的解释或者作外延的 解释”3。虽然由于囿于三段论中对属性的探讨，使得他没能正确深入地考虑关系，也使得他 没能构造一个理想的语言系统，但他的想法却给了后继者两点启发：一是可以根据命题 的为真或为假将它们划分为两类不同的命题；二是构造理想语言应以其“字母表”即形 成规则为出发点。当时几何学和代数的发展同样对现代逻辑的发展起了重要的促进作用： 首先，几何学从少量普通概念和公设可以推出之前的一切发现，这对逻辑公理方法的发明和使用提供了启示。 其次，非欧几何的发现，使得人们更加关注这一系统的一致性，以及欧氏几何和非欧几何之问的对应关系。 最后，代数为构造逻辑演算提供了可以效仿的模型。由此可见，白现代逻辑产生之初，它就与数学和语占有着密不可分的联系。弗雷格 和罗素的经典逻辑体系早已得到了逻辑学界的认可。它在逻辑学中的地位类似于欧氏几 何在几何学中的地位。同样，逻辑学中亦有类似非欧几何的非经典逻辑，布劳维尔的直 觉主义就是非经典逻辑巾影响最为广大和深远的一支。布劳维尔是荷兰人，1881年出生，他在小时候就表现出了聪颖的天资，他在16岁2逻辑学的发展威廉涅尔、玛莎涅尔台著张家龙洪汉鼎译，商务印书馆1995年版P433 lq L I437的时候就已几乎全优的成绩学完了小学和中学的全部课程，并且进入阿姆斯特丹大学学 习数学与科学，他的数学天赋与对数学的热情在那里得到了展现。他的师长及同学很快 就发现了他的天赋，并会邀请他这个大学新生加入各种学习社团。只是由于害羞和矜持， 他不愿意与同学交流也不愿受到师长的过多的影响。另外，他对于宗教也有自己独特的 看法，他认为宗教只是个人对于上帝存在的确信，而教会教堂等有组织的宗教则不过是 对麻木的大众的统治。布劳维尔一生著述颇多，有很多并没有发表，在他发表的文章中， 比较重要的有直觉主义和形式主义、意识、哲学和数学、数学基础、逻辑原则 的不可靠性、数学、真理和实在等等。布劳维尔的直觉主义其影响是十分深刻的， 这里我想讲两件小事：1926年，布劳维尔的家一度成为数学家聚会的场所，像冯诺依 曼等著名的数学家都曾到他那罩找寻灵感；并且希尔伯特的学生H魏尔在研究了布劳 维尔的直觉主义之后，也卢称要加入布劳维尔的行列。布劳维尔的直觉t义最为主要的观点就是构造性方法：即在数学中我们应该只接受 构造性证明。由此，直觉主义的两个特点就足：不承认逻辑中的排中律原则和不承认实 无穷而是承认潜无穷。本文将对非经典的直觉主义即布劳维尔的逻辑及哲学观点作一个 简要的介绍，并在文章的最后通过对维特根斯坦前后其|观点的比较来说明布劳维尔对维 特根斯坦的影响，从而体现出由于持有对数学与逻辑及语言与逻辑关系的不同观点，必 将导致逻辑观点上的巨大差别：而一旦接受同一套逻辑符号与规则，二者所构造出的逻辑体系又刁i会是天差地别的。由对这两对关系的不同看法而引起的两个派别逻辑丰义与直觉主义观点之间的差别，是贯穿本文始末的主要线索之一。此外，在介绍哲学家的观点时，我大量地引用了他们的原文，这样做主要是基于以 下考虑：即使哲学大师本人的经典论述不是最为简洁和最为明晰的，但仍是其观点最为 权威的表述，也是最能体现他本意的表述。由于水平有限，为避免因理解错误出现词不 达意的情况，本文中没有过多的复述。第一章布劳维尔的逻辑思想布劳维尔是直觉主义数学与逻辑的创始人，不同于主张数学可以归约为逻辑的逻辑 丰-义，他认为数学不可以归约为逻辑，数学是逻辑的基础；不同于主张逻辑公理化方法 的形式主义，他认为公理化方法在很人程度上是逻辑的桎梏；此外，他对于语占的作用、 逻辑的性质也有自己独特的观点。布劳维尔这些独辟蹊径并且能够自圆其说的观点对于 逻辑学的发展有很大的价值，但国内学术界对这些观点介绍得比较少，本文就将从这些 观点入手，对布劳维尔的思想做一个介绍。11逻辑与数学的关系：逻辑依赖于数学，逻辑关系是对数学关系的反映、是应用数学的视角从语占的大厦 中抽取出来的数学结构，它属于数学的一个层次。另一方面，逻辑依赖于语言的结构， 可以分为理论的逻辑和实践的逻辑，随着人们语言的发展，将来逻辑有可能丧失它现在 的地位。粗略地说，正是由于对于逻辑与数学的关系的不同看法，区别出了逻辑主义与直觉 主义：前者试图把数学归约为逻辑；后者则认为逻辑依赖于数学，且数学中使用的概念 和方法必须限制在最初等和最直观的范围内。虽然在我们表达数学思想的时候，都会采用诸如三段论之类的链条形式，从一个性 质有理有据地推出另一个性质，但这并不能表明数学依赖于逻辑，相反，逻辑依赖于数 学。因为：(1)从表面上看，三段论很接近人平常的逻辑思维形式，并且逻辑中似乎已经包含了这样的三段论形式，但实质上荠不是这样，而是有另一种结构一数学结构一通过某种关系定义了这种三段论结构： “实际的情况是这样的：一开始，人们按照某种必然关系的一部分建立起一种结构，随即试图通过这种结构进行推理，通过同义反复，这些产生了一个有条件的系统， 可以作为建构反映必然关系的结构的起点。”4 其中，“必然关系”是数学关系，建立起来的结构是逻辑结构，它们之间是反映与被反 映的关系。之所以将通过三段之类的逻辑结构进行推理而产生的系统称为有条件的系 统，是因为这样的系统不是处于最基础的、不可导出的地位，而是建立于数学的基础之 上的。按照数学关系的不同部分可以建立起不同的结构，即不同的推理关系，那么这些不4L，_E,Brouwer Collected Works，P72，Edited By Heyting，North-Holland Publishing Company-Amsterdam Oxford同的推理关系之间是否会相互矛盾呢?布劳维尔说道：“这一点上，我简单地觉察到这 种结构不能继续下去，因为这样的结构不能适应于给定的基本结构。”5也就是说，由于 这些不同的推理关系都是被给定的数学结构所定义的，数学结构是不可能自相矛盾的， 所以按照它的不同部分而建立起来的不同的推理关系之间也不可能会相互矛盾。(2)布劳维尔利用数学中的集合(在语言中可作为谓语表属性)对所有的人都是会死的， 苏格拉底是人， 苏格拉底是会死的。这一经典三段论进行了具体分析，他认为这个三段论反映了数学中部分与整体的关系： “是”这一形式表达了主语与谓语的部分(即没有、一个或多个)之间的某 种关系，上文的三段论就可以用数学的方式来表达：一个元素如果能以“人”这一集合 作谓语，那么它就能以“会死的”这一集合作谓语；这样，属于前一个集合的苏格拉底 自然也属于后一个集合。因此，可以说三段论形式的逻辑推理是数学推理的变形。在 1907年的数学基础一文中，布劳维尔列举了数学的8个不同层次6，现在我挑选其中的三条：。(1)最基本的是直觉主义系统的纯粹的建构，对它们的应用即是以数学的视角观 察世界的生活；(2)第二序的数学系统，抽取出反映数学系统的符号体系，即形式逻辑符号体系： (3)第=三序的数学系统：对形式系统一致性等所做出的说明。其中的第二序的数学系统就是现代逻辑的形式系统。 布劳维尔对逻辑也进行了分层：应用数学视角的观察而抽取出的逻辑推理称为“理论的逻辑”，理沦逻辑只是从莱布尼茨才开始尝试发明并使用的普遍的数学语言：应用 理论逻辑进行推理则是“实践的逻辑”。这两个阶段的逻辑都是对数学的应用，统称为 “经验的科学”。但是，我们却不能反过来说数学推理是逻辑推理，因为二者与语言有不同的关系： 三段论和其它逻辑原则更多地依赖于语言的逻辑结构，因为逻辑是人们应用数学的视 角，对表现在语言结构中的数学结构的抽取和提炼；对于数学来说则不是这样，虽然我 们必须借助于语言来表述数学知识，但是，真正的数学基础却只能依靠直接的直觉来建 构，而不是依赖于语言的结构：“那种认为我们不是通过直觉而是通过语言结构获得关于数学知识的观点是错误LJEBrouwer Collected WorksP73，Edited By Heyting，North-Holland Publishing Compaqy-Amstcrdam Oxford P76|百j土二p94的，认为这就是数学基础之所在的观点则是错上加错。”7 此外，因为逻辑对语言结构的依赖，随着时间的发展及语言的演变，逻辑推理有可能失去它现在在文明人们语言中的地位。 总之，在关于逻辑与数学的关系上，布劳维尔的观点是：“数学不依赖于逻辑；实践的逻辑和理论的逻辑都是数学应用的不同部分。 关于世界的逻辑推理只有同投射 到(projected on)世界的数学体系联系在一起的时候，才是可靠的。”8数学是布劳维 尔全部逻辑及哲学的基础。12布劳维尔对语言及其作用的看法 尽管语言在人的记忆和交流中起到了重要的作用，但是由于它具有不稳定性和隐秘性，使得依赖于语言结构的逻辑不能成为数学的基础。 直觉主义的重要标志之一就是将语言和思维分离丌来、认为作为公共交流之用的语言远不足以表达个人独特的思维，布劳维尔的语义理论也体现了这一点，他认为，对于 有局限性的血肉之躯人来说，语言作为“记忆的辅助物”和“交流媒介”发挥了重 要的正面作用，但语言有两大特点，即不稳定性和隐秘性，它们是语言的负面特征。语言的不稳定性。“人们关于语言的本质持有一种完全的误解，即认为词语不仅是 事物的名称，而且隐含了类似其本质的实体，它是永远不变地存在的，不仅独立于语言， 而且独立于人类的因果的关注(causal attention)，这就是所谓的概念。”。实际上是， 词语，即概念，只是主体任意地赋予事物的名称，根本不是什么永远不变的实体。在概 念的实质性上，他既反对柏拉图的“理念论”，也不赞成亚里士多德的“实体晚”，每个 人的概念体系都是互不相同的，都是主体任意赋予的。人们之所以将某一个概念赋予某 一件事物，在很大程度上不是必然的，而仅仅是一个偶然的选择。所以在理想状态下， 过去和现在的思想是一个有序的整体，“假如人有无限的记忆能力，他会通过自己的纯 数学系统用相同的词标识不变的固定元素或元素之间的关系。”但是在现实生活中，人 们没有如此强大的记忆功能，过去与现在的联系往往是任意的，不能保证人们现在所记 起的事物就是它的本来面目，这种过去与现在之间的“不一致”的联系，是造成语言不 稳定的重要原因。这使得语言在发挥“记忆辅助物”和“交流媒介”的功能时，不能避 免错误：“数学语言的作用只能是帮助记忆数学结构或其构建方式的辅助物，或许 刈大多数实际目的来说是足够的，但是它远不足以避免错误。”可见，语言的不稳定性7L,(EBrouwer Collected Wor舡，P75，Edited By Heyting，NorthHolland Publishing Company-AmsterdamOxford8同P999 Brouwerintuffionism Walter P van Stigt Amsterdam：New York：NorthHolland P425。川：P427是由于人们对概念选择的偶然性、并且人的记忆能力的有限性，使人的概念体系不可能 具有一贯的连续性而保持一致。语言的隐秘性。语言的隐秘性主要源于以下两点：(1)语言的私人性。在语言的音 形意联系方面，只有当主体创造出他的“对象”，并将它与音形联系起来，语言才能继 续存在下去，因此，对于某 对象，与它相应的音形的选择是任意的。“有时他们根本 不能真正地就本人而言地互相了解对方。”“另一方面，即使接受公共的音形系统，语言 的私人性仍然是存在的，由于每个人的成长环境各不相同，对于同一个概念尤其是抽象 概念，不同的人会有不同的理解。(2)私人交流的歧义性。人们用语言交流的目的是为 了引起他人的共鸣：“通过音形等方式，想使别人唤起与他们一样的推理和数学构造。“” 但是因为不同的个人主体有不同的数学建构，所以实际情况并不是这样的：“即使是在 最为严格的科学及建构的基础概念上，两个人对于同样的词也会有不同的想法。”“也 即每个人的概念体系都不同于其它人的概念体系，就像在进行翻译时，不可能将一种语 言文字完全精确地翻译成为另外一种语言文字。由于逻辑反映了数学的结构，所以在一定程度上逻辑是可靠的；但是逻辑不能离丌 语言而存在，由于语言的不稳定性和隐秘性，逻辑又是不可靠的。数学具有严密性且非 常可靠，它彳i可能归约为逻辑、以逻辑为基础。因此，布劳维尔反对逻辑主义。以上我们介绍了布劳维尔关于语言的观点，对于逻辑语义理论中最为重要的问题之 一：什么是真，布劳维尔认为：“带有界限和独特形式的自我显现就是真。在任何地方， 真总是在无处不在；最原始的真无论它在何处显现亦是如此。”“这个对于真的界定是模 糊的，他不是从外延上而是从内涵上界定真，这里的真是指存在。真又分为“内在的真” 和“先验的真”。前者：“指导人们透过世界的界限和人类不断的欲望看到永恒的公正。 指导人们看透矛盾和利益等由禁锢他们的欲望而产生的现象。”后者则：“指导人们远 离恐惧和欲望，达到智慧、喜悦的个人生活的境晁。”可见，这里的真是哲学意义上的 真而不是形式逻辑学意义上的真。对于什么是真理，布劳维尔认为语言所指向的只有现 实，“真理就存在于现实，也就是现在和过去意识的经验 7，即现在正在存在和过去曾 经存在的真实。以上两点，即布劳维尔关于数学与语言的看法，在布劳维尔逻辑观点的形成中起着、lJ EBrouwer Collected Works 1P6，Edited By Heyting，North-Holland Publishing Company-Amsterdam Oxford12 I目上P731 3q E P614同卜P71 5 H h P716 l叫卜P7”转引自Brouwefs intuiionism Walter P van Stigt Amsterdam：New York：NoahHolland P210非常熏要的作用。如前言所介绍的，正是由于对数学与逻辑的关系的不同看法，将逻辑 主义与直觉主义区分开来：也正是由于对语言作用看法的转变，造成了维特根斯坦前后 期观点的迥异，这也是我将布劳维尔关于语言的观点放在论文最开始来介绍的原因。13逻辑的性质 何为逻辑或者说逻辑的性质是什么?对于这个问题，西方许多著名的逻辑学家都曾作过论述：亚里士多德认为，逻辑是获取真正可靠的知识的方法、工具，只有掌握这种方法， 我们才能进行科学和哲学研究，他称逻辑为分析学；后人将他论述逻辑的著作称为工 具论。弗雷格认为，“逻辑以特殊的方式研究真这一谓词，真一词表明逻辑。 “真 是逻辑研究的目标，“发现真是所有科学的任务，逻辑却是要认识实真的规律。 9弗雷 格还认为，也可将逻辑称为“规范科学”，他认为逻辑的任务是“仅仅说明对所有思维领域都有效的最普遍的东西。”也就是说，逻辑是对思维规律的研究，即研究推理对“真” 这一谓词的保持，这里的真是指命题的外延，即命题的取值。罗素认为，逻辑即是以句子为原始材料的构造。他认为自己的逻辑就是原子的。罗 素认为逻辑在哲学中占有非常重要的地位，“哲学中最根本的是逻辑，反映一个学派特 点的应当是它的逻辑，而不应当是它的形而上学”“，他将自己的哲学称为“逻辑原子 主义”。布劳维尔认为，逻辑是科学的推理，纯逻辑是科学的抽象。 那么什么是科学呢?首先，科学是从现象群中抽取出的数学结构。科学有两个不同层次：其一是简单的数学观点，即从现象群中观察到的数学结构；其二是有目的的行动， 即包括应用、延伸现象和超过所观察到的现象的范围的实际应用等这样些对知识的 “精明的(cunning)”应用。即科学理论和科学应用。这种区分不只是对科学的好坏的区分，也不只是对“为科学而研究科学”还是“为 结果而研究科学”的区分；它是一个“合法性的标准”，是J下当实践的界线，即主体具 有的直觉的能力使得他可以从对外部世界的观察中抽取出科学理论，而将理论应用于实 际则不是主体直觉能力的运用。将它与句劳维尔的“主体的数学观”联系起来，它就是 科学中的“主体的外部世界的分界线”，它区分了具有直觉的主体和能够被知觉到的主 体的外部世界。”弗雷格哲学论著选辑P179 王路译 王炳文校 商务印书馆1994年版9 HP11320蚓上P17921逻辑与知识P393伯兰特罗素著苑莉均译张家龙校商务印书馆 1996年版10其次，从科学中抽象出“纯逻辑”。纯逻辑属于科学，是科学的第一个层次。在这 里，布劳维尔再次重申了逻辑与数学的联系和区别：逻辑是“语言中的数学 在语言 的大厦中观察到的数学结构 逻辑就是观察这痤大厦的结构，而这些语言大厦的元素 足与数学的结构和关系相伴随的 ”。语言可以记录数学及其结构，即可以有与数 学平等的语言记录。逻辑是从语言中抽取出的数学结构，是推理的科学。纯逻辑不同于 逻辑推理，纯逻辑是科学理论，推理则是科学应用，纯逻辑介于数学和推理之问。逻辑 和逻辑推理不能离开语言而存在，而数学则是建立在直觉的基础之上，可以离开语言存 在，直觉是人与生俱来的能力，语言则不是，所以逻辑不是人类普遍本质的属性。那么，语言与科学是什么样的关系呢?第一层次的科学是在现象中观察到的逻辑结 构，在理想的状念下，这是“理想的语言文字的记录”，这样依赖于语言结构而存在的 逻辑就是科学的推理，可以认为三段论和其它一些逻辑原则在逻辑语言的推理中是合理 的。科学要建立在逻辑的基础之上，即科学必须符合逻辑。最后，逻辑原则的应用。逻辑原则不能作为研究的出发点，因为这些原则不是原始 产生的，而是对数学结构的归纳，这也是布劳维尔反对公理方法的原因之一。这里需要 明确界定下“研究的出发点”，我认为这里的研究不是对某1一个体系及其性质的研究， 而是指对数学及全部科学的性质的研究，所以，这个起点必须是最为基本的、具有不可 导出性的。可见，虽然同是处于现代逻辑的大背景下，布劳维尔与弗雷格和罗素的观点有很大 的不同，这些不同的根源在于他们对数学与逻辑及语言与逻辑的关系有不同的看法，这 些不同也导致了他们在逻辑语义及语法理论上的差别。总之，在布劳维尔的理论中，由直觉构建起来的数学是最为根本和基础的，科学是 运用数学的视角从现象(包括语言)中抽取的数学的结构，纯逻辑是科学的第个层次， 在科学中应该运用逻辑进行推理。语言对于数学来说并不是必须的，但是对于逻辑和其 它科学来说则是必须的。数学及逻辑和科学的顺序是：最底部是数学，其上是纯逻辑， 然后逻辑推理，再上面是应用逻辑进行推理的其它科学。14对公理方法的批评；公理方法是现代数学及逻辑的主要方法，其原理是由几条公理(目前流行的公理系 统足三条公理)作为整个逻辑系统的推理前提，根据特定的推理规则，逐步推出系统的 其它定理及推论。由于这些公理隐含地规定了系统的全部定理及推论，故又称之为系统 的隐定义。布对公理方法的理解是：“这种结构的目的是为了表明如果去掉其中的某一公理，”L,，EBrouwer Collected Works I，P94，Edited By tleyting，North-Holland Publishing Company-AmsterdamOxford会导致哪些性质依然存在、哪些性质不再存在。它还有一个特别的目的，即使通过这种 方法得到的逻辑系统的公理数目最少化。”布劳维尔对公理方法的批评有以下四点： (1)公理方法破坏了系统的结构。这罩的系统并不是用公理方法建立起来的形式系统，而是在直觉的基础上构造出的数学系统及反映数学结构的逻辑系统。为了区别起 见，我们将前者称为形式“体系”，而称后者为系统。公理方法实际上是结构本身的“桎 梏”，因为它所关注的不是结构本身而是经验，“它与第一序的数学的关系就像化学与 物质的关系一样”“，它是“自由建构的阻碍和威胁”“。人类有这样一种“从结果转向方式”能力，即“ 观察尽可能多的数学序列，在 现实世界中，对在前元素的插入总显得比对其后元素的插入更为成功，因此便选择在前 的作为他行动的指导，即使他的本能只受后一个的影响。”他将这种行为称为“以方式 代替结果”。具体公理就并不是原始直觉的，而是这样获得的：“公理在数学中并不是原始的，而是后来才被发现的；一旦我们偶然捕捉到了数学 的本性，我们就丌始在已经建构完成的体系中寻找公理。” 由此可见，一方面，公理方法是对已经构造出的数学的一种抽象，它与数学系统的关系 类似于化学中的元素与它对应的自然界的物质的关系：化学中的某些元素可以代表自然 界的某些物质，但它们与这些物质之间其实毫无相似之处；另一方面，一旦建立了这样 的公理体系之后，它就会成为我们对进一步深化整个数学或逻辑系统的阻碍，因为这样 的公理体系是根据现有的数学系统或逻辑系统抽象出来的，它不可能完全反映了全部数 学系统或全部逻辑系统，我们越是局限于这样的形式体系就越是不能看到数学及逻辑系 统的全体。(2)公理方法的过程与逻辑系统的形成过程相反。公理方法与真正的系统形成的 过程是相反的，公理方法构造语言的三步是规定逻辑变元及合适公式、指定系统公理再 根据特定的推理规则进行推演，从而得到整个逻辑系统；而真正的逻辑系统形成的方法 是：先有对数学的语言记录、然后从这些记录中抽取出其特定的结构，最后再用形式符 号来表达这些结构，这样才形成了逻辑系统。也即，不是先有公理再依规则推导出整个 系统，而是先有系统再从中抽取出公理。(3)语言不足以作为逻辑的基础。上文已经论述过语言具有不稳定性和隐私性， 它作为一种不完善的方法，只能用作交流的工具，一旦将它作为数学的基础时，就会出2 3 L J KBrouwer Collected WOrkS 1，P76，Edited By Heyting，NorthHolland Publishing CompanyAmsterdamOxford24转引自Brouwefs intuffionism Walter Pvan Stigt Amsterdam：New York：NorthHolland P21425蚓上16LZEBrouwer Collected Works，P53，Edited By Heyting，NorthHolland Publishing CompanyAmsterdam Oxford27转引自Brouwersintuitionism Walter P van Stigt Amslerdam：New York：NorthHolland P214现混乱：可以用语言的、形式的方法完善数学体系，在涉及数学基础时则须求助于直觉。 (4)对公理方法的完全性提出批驳。研究逻辑系统的目标是什么呢?“现代公理 学家们仍然坚持着应用逻辑体系的目标，这样，他们只能建立适合数学体系的语言体 系，”即出于应用的目的而建立起来的逻辑体系是对现有逻辑系统的一种抽象，这样就 会出现一个问题：假设通过某种非数学的方式，逻辑体系建立了某种一致的语言公理， 随后，却发现了这条公理的数学解释，那么这种通过非数学的方式建立的公理能否由这 个反映数学系统的逻辑系统的完全性推导出来呢?换句话说，公理化方法得到的形式系 统只是对现有的逻辑系统进行的概括，而不是对全部逻辑系统进行的概括，它是不完全的。我们可以发现，布劳维尔对公理方法的批评还是围绕数学与逻辑的关系及语言与逻 辑、数学的关系展丌的。并且，他所谓的数学系统和逻辑系统并不是已经完成的系统， 而是处在一种可以无限构造下去的过程中的系统。这也就是下文将提到的潜无穷的观 点。15对几个概念的界定 (1)主体。主体就是独特的个人，可以分为“主体的外部世界”和“主体的内部世界”两部分。“主体的外部世界”就是我们通常所认为的将每个人互相区别开来的个 人过去和现在独特的经历的总合；“主体的内部世界”是灵魂和它没有表现出来的存在 的可能性。主体的外部世界是由主体的内部世界决定的，主体的内部世界具有私人性， 故主体的外部世界亦具有私人性。主体有两种认识的能力，其一是“因果的观点”或“推 论”，这种能力将数学的观点与感官的感觉结合起来，创造出主体的外部世界，在这个 世界中包含了其它人、其它思想的确定性；其二是对自身和时间的直觉，以及在此基础 上形成的数学建构。“当主体剥除了自身的物理特性和情感因素”之后，就是“理想的 主体”。主体直觉的能力包括两个方面，一是数学的思想，另一是未来与过去是联贯的， 过去决定未来。可见，虽然具体来说，主体各不相同，但他们的共同之点就在于具有直 觉的能力。(2)数学。数学是主体在对时间直觉的基础上建构起来的，这一直觉主要是“前 一后”顺序，这是建构数学的根本原则。布劳维尔将数学与音乐进行类比：音乐的存在 同数学一样，也是在时间中呈线序的，所不同的是音乐一旦形成就可以独立于它的创造 者，但是数学则不能离开创造它的主体。这里的数学并不是全部的数学，而只是就数学 基础而言的。布劳维尔认为数学起源于“时间流动”的观念，由将某一时刻分成过去的记忆与现在而产生“二一一性”包括空间的二一一性和所有具有二一陛的基本的28L,JEBrouwer Collected Works，P77，Edited By Heyting，North-Holland Publishing Company-AmsterdamOxlbrd数学系统。直觉主义数学主张潜无穷，对于数学人们可以一直构造下去，但是不能说已 经存在一个无穷，因此，数学也并不是全部可靠的，那些涉及无穷的数学，其可靠性还 没有被证实。(3)直觉。直觉是人类把握事物的一种天生的能力，但并非所有依靠直觉把握了解 到的都是白明的真理，“自明的真理”是一个毫无意义的词，真理即是过去或现在的存 在，在存在性上，它无所谓自明与否。直觉在布劳维尔的系统中占有很重要的地位，它是所有思考的基础，也是推理最为 根本的基础。思考可以分为两类，这里我将引用Stigt对之所作的概括：“思想从它原始 发生开始，就与两条线相伴而行：思想应用感觉的内容和数学的直觉创造事物、主体的外部世界；思想作用于这个世界中的客体并把它的发现和期待延伸到物理的 现实，这个过程就是外化。思想将自身限制在原初直觉所给定的元素和工具上，在“无 限的展开”中构造新的实体。这种推理智力的完全的构造能力得到了应用，但由于它的 对象和所使用的工具都是最原初的、限于直觉的范围内，因此，这种思想的活动即是所 谓的直觉的思想。”29而这种直觉就是数学的全部基础：数学唯一可能的基础就是这种 直觉的构造。其中的创造不是一种存在上的创造而是一种意义上的创造，即被创造出来 的不是一种存在，而是一种意义，一种对于主体的意义；新的实体是指数学。在布劳维尔的系统中，直觉不仅是数学的起点，同样也贯穿于整个数学构造过程中， 同时，它也是数学的唯一基础，在1902年几何的本质一文中，布劳维尔用建构的 方法向我们证明了从原初的直觉出发，所有的数学系统包括空间及几何都能够独立于经 验而构造起来。(4)构造。构造在布劳维尔的理论中占有十分重要的地位，在他看来全部数学都是 构造而产生的。构造的主体是思想，其出发点是对数学的直觉。他对构造进行了分层：构造的元素：“数学大厦的元素，在定义系统中必须保持非导出性，因此，在交流中 必须找到单独的词、声音、符号来表达它。它们是构造的元素，可以从原初的直觉中读 出来，像连续、集合、再等等这样一些概念就是不可导出的。”构造的元素必须具有 非导出的特性。对元素进行构造：如我们上文曾提到的“二一一性”，在此基础上可 以构造出全部有限序数，布劳维尔将它称为建构的“第一步”，因为它是直接在直觉的 基础上构造而成的。再如结构之间的相互“适合”的关系，它也是一个建构，但它是不 是第一步的，因为它不是直接从直觉出发的，而是两个系统之间的关系。根据这样一种分层，我们可以发现，那些不可导出的构造的元素是简单的，而在它 基础上的构造却不一定是简单的，它可以是很复杂的，以至于布劳维尔说道：“我们建29ZEBrouwer Collected Works，P157，Edited时Heyting，North-Holland Publishing CompanyAmsterdamOxford30同上P974构的某些构造过于复杂，我们甚至不能一下就把握住它们。”31 在对时间的原初直觉的基础上，数学的大厦建构起来了，那么它们有什么实际的应用呢?在布劳维尔看来，这样的问题是很不正确的，他认为“建构本身是一种艺术，而 它在世界上的应用则是魔鬼的寄生物。”32在布劳维尔的全部理论中，贯穿着一种只为 过程而不问目的的观点。应用只应是构造的一个副产品，而不应是构造的目的。以上，我们介绍了御劳维尔最基本的一些逻辑观点，从中可以看出布劳维尔不同于 逻辑主义的最根本之处，即是关于数学及语言的观点。由于这些不同，二者的形式系统 是否也会有很大的不同呢?答案是肯定的，两个系统对于否定及联结词的界定就有很大 的区别。由于布劳维尔对语言及公理方法的批判态度，致使他自己并没有构造一个形式 语言系统，不过他对他的学生海丁所构造的形式系统持认同的态度。”LKBrouwer Collected Works I，P72，Edited By HeytingNoahHolland Publishing Company-Amsterdam Oxford32转引自Brouwegs intuitionismWalter PMaR Stigt Amslerdam：New York：Nodh-Holland P182第二章布劳维尔的否定及海丁的系统否定在逻辑系统中具有十分重要的地位，它是唯一一个任何系统都必不可少的联结 词，在某些只有一个联结词的系统中，否定通常与析取或合取合二为一，称为析舍或合 舍。直觉主义是一种构造的体系，与形式体系相比，它更注重内涵而不仅是外延的真假 值之间的运算关系，所以布劳维尔关于否定的观点与其它逻辑学家关于否定的观点有很 大的区别。21其它逻辑学家关于否定的观点：211亚里士多德的观点 作为逻辑创始人的亚里士多德将肯定命题与否定命题作为“对立”范畴的四种意义之一提出：首先，关于肯定与否定的对象，亚里士多德认为“在命题中，被肯定或否定的事物 自身并不就是肯定或否定。肯定意味着肯定命题，否定意味着否定命题， 但是，在命题中被肯定或否定的事物是一件事实，而不是命题。”33在亚旱士多德看来， 肯定与否定只是命题的肯定与否定。其次，关于肯定与否定的关系，亚里士多德认为“对于这两者来说，对立双方必有 一方是正确的，而另一方必然是错误的。”34他认为，无论命题的主词是否真实存在， 两个相互对立的肯定和否定命题必有一个为真而另一个为假，“在肯定和否定意义上的 所有对立命题，必有一个命题是真实的，一个命题是虚假的”35，即对于一对具有矛盾 关系的命题来说，必有一个为真而另一个为假。212弗雷格的观点弗雷格认为逻辑研究的对象是思想，思想的外在载体则是句子：逻辑的研究目的是 发现在思维领域普遍有效的东西。弗雷格关于否定的观点是与他上述观点紧密联系在一 起的。首先，他认为否定的对象是思想，并且区分了假思想和不存在的思想：他说：“如 果一个思想的存在是它的实真，那么，假思想这个表达与不存在的思想这个表 达同样是矛盾的。”36对于这个问题，弗雷格提出的解释是“思想的存在不在于它是真n亚罩上多德全集(第一卷)P36苗力田主编中国人民大学出版社出版1990年版 34同上P3915同上P40”弗雷格哲学论著选辑P139王路译王炳文校商务日J书馆1994年版的一个假思想不是一个不存在的思想”，即思想的值为真不等同于思想存在，思 想的值为假亦不等同于思想不存在。其次，否定的思想即假思想并不是没有作用的。一方面，“从一个假思想不能推出 任何东西。但是假的思想可以是真的思想的一部分，而从这个真的思想可以推出某些东 西。”38另一方面，假思想亦是必不可少的：首先它可以作为一个疑问句的意义；即对 疑问句的否定的回答；其次可以作为一个假言思想联结的组成部分，例如，如果案发时 他不在现场，那么他就不是嫌疑犯；第三处于否定之中，如“明天不下雨”是对“明天 下雨”这一思想的否定。最后，关于否定的作用。弗雷格认为否定没有分离、分解的作用，他所举的例证是 双重否定律：雪山峰并非高于布罗肯峰，这不是真的。弗雷格认为“正像任何思想都不 会通过否定而变成非思想，任何非思想也不会通过否定而变成思想。”坤他认为否定属 于一个思想的表达，它是不可定义的。作为否定词的“并非”，弗雷格认为它的使用否 定了整个句子的意思，但它所涉及的只是整个思想的一部分，它属于整个思想。由于弗 雷格认为同肯定一样，否定亦是不可定义的，并且对于任何一个有意义的句子，它只能 取真假两值之一，所以他明确而肯定的表示：“对于一个思想的双重否定不改变一个思 想的真值。”40双重否定律可以看作是排中律的另一种表达形式。可见虽然亚里士多德的逻辑是词项逻辑，而弗雷格的逻辑是命题逻辑，但二者在排 中律的认识上是一致的，即二者都承认排中律。22布劳维尔的观点 作为逻辑基本概念之一的否定，在布劳维尔的系统中是以构造的方式形成的。他认为概念可以分为两种：一种是“原始的”，即主体直觉到的，不能从其它概念导出的： 另一种是能够从其它概念推导出的。“前一后”和“再”等概念属于第一种，否定属于 第二种，它在肯定的基础上构造而成。由此可见，否定在布劳维尔理论中的地位与在弗 雷格理论中的地位是非常不同的。布劳维尔认为否定可以引申为“不同”，是建立在相 同的基础上的，“如果两个数学实体的相同会导出荒谬，那么它们就是不同的。”41“荒谬”就是不可能适合。这里的适合是指已经建构完成的两个系统的元素及运算 之间的相互对应：“对任一已经建构完成的系统，总是有可能适合于一个与它大相径庭 的结构；然而，这个新的结构使用了原先构造所用到的元素或系统是对原先系”弗雷格哲学论著选辑P141王路译工炳文校商务印书馆1994年版38刊上39同上P14640同卜P15741，E Brouwer Collecled WorkF+P526，Edited By Heyting，North-Hol|and Publishing CompanyAmsterdamOxford统的重新整理。给定系统的特性就是可能与已经存在的系统重新构造另一系统。存 在与给定系统相适合的系统这一前提在数学建构中起着很重要的作用。”其中的给定系 统可以是任何构造而成的系统。两个系统之间的关系可以分为适合或不适合，而不适合 就是荒谬。但是这个对荒谬的界定是模糊而不准确的，其不明确性在于两点：一是适合与不适 合可能会受到主体的影响，不同的主体若采取不同标准或方式有可能对两个系统是否适 合作出完全不同的判断；二是与第一点相联系，就存在这样一个问题，即若两个系统不 适合，那它们是在任何情况下都不适合还是在某些情况下不适合，即它们之间的不适合 是必然的还是可能的。由此也就引发了对不可能性的构造。不可能性就是构造自身存在的不一致性。这种不一致首先是由主体的自由创造性引 起的，即主体自由创造出的内容及其表现形式之间缺乏及时统一的联系，即“空的二一一性对应着空集”，“空的二一一性”即是剥除了具体内容的抽象的二一眭，例如就不存在一个确定的对象对应于“人”这个抽象概念：其次就是在两个系统之间建立相互对 应时，在有限的系统中，主体很容易把握其是否是荒谬的，但在无限的系统中，就要尝 试所有的可能性，从而最后得出其是否是荒谬的。布劳维尔的否定概念是与他的构造思想紧密联系在一起的，“否定”之后的内容是 一个构造