三种方法全解全等三角形专题汇总.doc

唯思达教育内部资料 唯思达版权所有 翻版必究唯 思 达 教 育培优教案（讲义教师版）初二年级数学 讲师：刘亚峰2010秋季专题一 全等三角形全攻略基础知识1、 三角形全等的判断 角边角（SAS）边角边（ASA） 边边边（SSS）2、 三角形全等的性质 对应边相等，对应角相等 对应的中线、高线、角平分线相等3、 垂直平分线（中垂线） 中垂线上一点到改线段的两个端点距离相等4、 角平分线定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等一、判断题解惑【1】（希望杯 试题）有下列四个命题：两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形两边和其中一边所对应的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形其中正确的是（）A、， B C D解析 A B D B C命题正确：在ABC和ABC中，BD=BC,AB为公共边，两个三角形的高均为AD,但是这两个三角形显然不是全等的。命题不正确 如果均是锐角三角形，那么必然全等命题不正确 在ABC和ABC中，AB=AB，AC为公共边，高均为AD，但是不全等命题正确二、利用角相等构造全等 1、角平分线法【2】 （北京中考）如图，在 ABC中，BAC=90。，B=2C，D在BC上，AD平分BAC，若AB=1,则BD的长为（ ） A 解析：在AC上截取AE=AB,连接DE。AE=AB, BAD=BAC ,AD=AD ABD AED BD=DE , ABD=AED,AB=AE BAC=90。, B=2C, B=60。, B D C C=30。 EDC=30。=C ED=EC BD=AC-AE=-1【3】 (衡水09年中考)如图，在 ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A点的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则m+n与b+c的大小关系是 E 解析：在BA的延长线上取点E，使AE=AC,连接EP AE=AC,EAD=CAD,AP=AP ACP AEP A CP=EP P 在BPE中BP+EPBE PB+PCAB+AC 即m+nb+c B C DACBD【4】(“希望杯”培训典型题)如图，ABC中，A的平分线交BC于D，AB=AC+CD,B=40,那么C的大小解析：在AB 上取点E,使得AE=AC,连接DE.AE=AC, BAD=CAD,AD=AD ACD AED C=AED,CD=DE AB=AC+CD,AE=AC CD=BE=DE EBD=EDB=40。, C=AED=80。ABFOEC【5】（唐山市05年考题）如图，ABC中，ABAC,D、E分别在AB、AC上，且满足条件BD=CE, BCD=CBE,若BE、CD相交于O，则BOC+A=解析： 延长CD至F,使得CF=BE,连接BFDBCD=CBE,BC=BC,BE=CF BCF CBEBF=CE, BEC=BFCBD=CEBF=BDBFC=BDFBDF=ABE+BOD, BEC=ABE+ABOD=ABOC+A=BOC+BOD=180。练习（2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1） 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称（2） 如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若A=60,DEC=EBC=1/2A,请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;（3） 在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D、E分别在AB、AC上且DCB=EBC=1/2A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。解析：（1）平行四边形、等腰梯形等 （2）BOD或COD 四边形DBCE是等对边四边形 （3）此时存在等对边四边形 证法同上三、倍长线段（中线）构造全等 【6】（历年中考典型题）如图，ABC中,AB=4,AC=7,M是BC的中点，AD平方BAC,过M作MF/AD,交AC于F,则FC的长等于解析：延长FM至K，使得FM=MK,连接BK,延长MF与BA的延长线交于点EBMK=CMF,BM=CM,FM=MKEA BMK CMF FC=BK, BKM=CFMFMF/AD, BAD=CADBKM=BEM=AFEBE=BK=AB+AF=FCMDBCAB+AC=AB+AF+FC=2FCAB=4,AC=7 FC=5.5KFEADCB练习：（希望杯联赛题）如图 ABC中，AD平分BAC，M是BC的中点，ME/AD交AB于F，交CA延长线于E，ABAC，求证：BF=CEM解析：同上BDCAEFM【7】(天津市08年中考题)如图，在 ABC中，E、F分别在AB、AC上，D是BC的中点，DEDF，试比较BE+CF与EF的大小。解析： 延长FD至M,使得DM=DF,连接BM、EM.易证 DCF DBM,故DM=DF,BM=CF,又DEDF,故ME=EF,在 BEM中，BE+BMEM.即BE+CFEFBDCAEF拓展题：如图，直角ABC中，ABAC，E、F分别在AB、AC上，D是BC的中点，DEDF，试证明：EF2=BE2+CF2解析：辅助线、证明方法均与例题相似。不再给出四、补形法M【8】（邯郸市05年中考题）如图，已知ABC中，BAC=90。，AB=AC，BE平分B，CEBD。求证：BD=2CEA解析：延长BA、CE交于点M。EBECE，CBE=MBE,BE为公共边， CBE MBE ME=CEDBECE,ABAC MCA=MBEAB=AC ABD ACM CBBE=CM=2CE点评;本题将已知图形补成一个完整的三角形，使得问题迅速解决。FEDACB思考题1：（山东省数学竞赛试题）如图，在四边形ABCD中，A=C=90。,AB=AD,若这个四边形的面积为16，则BC+CD=解析：答案 8A思考题2：（武汉市数学发散题）如图，在凸五边形ABCDE中，B=E, C=D,BC=DE,M是CD的中点，求证：AMCDEBDCM五、 探索型试题例9(06北京课改)如图（1）所示，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：（1） 如图（2），在ABC中，ACB是直角，B=60,AD,CE分别是BAC,BCA的平分线，AD,CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（2） 如图（3），在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由。OMNP(1)BCDAE(2)BDCAEF(3)FBCDAE(2)M解析：（1）FE=FD.证明：在AC上取点M,使得AM=AE，连接FM。易证AEFAMF,MCFDCF,故EF=FM=FD.BDCAEF(3)（2）在AC上取点M,使得AM=AE,连接FM。BAD=CAD,AF=AF,AE=AMAEFAMFEF=FM,AFE=AFMBAD=CAD,BCE=ACE,B=60AFC=120，AFE=60MFC=60=DFCBCE=ACE,CF=CFMFCDFCDF=FM=EFAECBDO例5 （2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。(1) 请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；(2) 如图在ABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于O，若A=60,DCB=EBC=A,请你写出图中一个与A相等的角，并猜想哪个四边形是等对边四边形；(3) 在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且DCB=EBC=A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。解析：（1）平行四边形，等腰梯形等等； （2）与A相等的角是BOD(或COE),四边形DBCE