扭转波物理性质的讨论.pdf

第 2 4卷 第 1期 2 0 0 4年 3月 西 安科技学 院 学报 J OURNAL OF XI AN UNI VERS I TY OF S CI ENC E AND TECHNOL OGY Vo I 2 4 M a r N0 1 20 04 文 章 编 号 1 6 7 1 1 9 1 2 2 0 0 4 0 1 0 1 3 0 0 3 扭转波物理性质 的讨 论 曹 小 杉 西安 交通大学 工程力学系 陕西 西安 7 1 0 0 4 9 摘要 由实心 圆杆 的扭 转波的控 制方程展 开讨论 在假 定横截 面保持平 面且运动是 绕其轴 的转动的 条件下导 出转 角的波动 方程 通过与杆 的纵振动 波动方程 与 弦振 动的一 维波动 方程 中各 个量 的物理 意义进行比较分析 得 出扭转 波是纵 波的结论 并从纵 波和横 波的物理和 数 学性质 方面加 以比较 验 证 所 得 结 论 关 键 词 横 波 纵 波 扭 转 波 偏 振 叠加 中图分类号 O 4 2 1 5 文献标识 码 A 0 引 言 如果波传播限于单一方 向 则在一个给定 时刻 在与波 传播方 向垂直 的平 面上 所有点 的扰动是 相 同的 称 之为平面波 平 面波又分两种 横波和纵波 一些文献 中定 义横波 为运动方 向与传播 方 向正交 而纵 波是运动 方向与波的传播 方向一致 而大多数文献 中区分横波和纵 波是通 过质点 的运动方 向与波 的传播方 向 的关 系 来界定的 2 j 因此对于实心圆杆 的扭转波 通过质点 的运动 方向来界 定 涉及 到 的所 有文献都 把其归 于横波 的 范畴 一些文献 虽然将 扭转振动与纵振动做 了对应 比较 但仍然强调扭转波是横波 3 J 显然 由于横波 纵波在 数学 物理性质有很大 的区别 界定某种 波属 于横波 或是纵 波 对 于实 际计算 与测 量研究 这种 波有重 要意义 本文通过与杆的纵振动波动方程与弦振动 的一维波动方程中各个量 的物理意义进行 比较分析 得 出扭 转波实质 是 纵 波 并从 纵 波 和 横 波 的 物 理 和 数 学 性 质 方 面 加 以 比较 验 证 所 得 结论 在描述质点运 动时 可以用位移 速度和加速度这些物理 量 而描述 一个质 点系 的运动 时 就不能仅 仅使用 这些物理量 比如在 描述 刚体的定轴转动时 常常使用的是 角位移 角速度 和角加速度 很显然 刚体 定轴转动 时角速度 角加速度 的矢量方 向是完全 不同与其上 点 的速度 和加速 度 的方 向 引 同样 质 量是 描述质点惯 性大 小的物理量 转动惯量是 描述转 动惯 性大小的物理量 因此 对于某 一种运 动 应该 选择 适当的物理量进行描述 在实 心圆杆 的扭转波 的传播 中 在 假定横 截面保 持平 面且运 动是绕 其轴 的转 动 的条 件下 波传播是沿 实心 圆杆的轴线方 向 而在与波 传播方 向垂 直的平 面上 即圆柱面上 所 有点相 同 的扰 动是各 点 的角位移 而不是 各 点的线位移 那么描述扭转波 的控制方 程应该 使用角 位移 可 以把 扭转波 的控制 方程 杆 的纵 振动波动方 程和 弦振动 的一维波动方程分别列 出 并对各个量 的物理意义进行 比较分析 其 中杆 的纵振 动波 动方程和 弦振 动的 一 维波动方程分别代表纵波 和横波 的波动方 程 1 数学形式 弦 振 动 的 一 维 波 动 方 程 1 其中 a T p 在时刻 t 弦上 z点 处 的外 力密度 为 F z t F z t 为 与弦 的振方 向平行 的外 力 f z t F z t p 收稿 日期 2 0 0 2 1 2 1 O 作者简介 曹小杉 1 9 7 5一 女 河南 内黄人 在读博士生 主要 从事应力波 的研究 维普资讯 第 1期 曹 小 杉扭 转 波 物 理 性 质 的 讨 论 1 31 弦振动的一维波动是横波 z的方向是波的传 播方向 的方 向是沿弦上点 的位移 方向 也就是 的方向垂 直于z的方向o p为线密度 其物理 意义是单位 长度弦振 动的惯性 大小 的度量 F x 也 是垂 直于波传播 的方 向 杆 纵 振 动 波 动 方 程 儿 2 其 中 2 El p 在时刻 杆上 z点处的外力密度为F z F x 为与杆的纵振方 向平行 的外力 f x F z t p 杆 的纵振动 的纵波 z的方 向是波 的传播方 向 的方向是沿杆上 点的位 移方向 即 的方 向与z的方 向相 同 F z t 也与波 的传播方 向相 同 实 心 圆杆 的扭 转 波 方 程 妻 m 3 其 中 2 G I J为单位 长度转 动惯 量 是单 位长度转动惯 性大小 的度量 在时刻 t 杆上 aT处 的外力偶密 度为 M z 正如在前面所提 到的 外力偶作 为矢 量考 虑时 它的方 向正 是沿 aT轴方 向 也 就是波的传播方 向 而考 虑角度 9的方 向 它是沿着 aT轴的方向 也就是波的传播方向 正如我们通常在平面问题 中角速度 与角加速度 的 方 向 是沿 该 平 面 的 法线 方 向 引 比较 1 式 2 式 中物理量的方 向 在形如 a 厂 z 的波 的传播方程 中 女 口 果 的方 向与z 方 向一致 那么这个波是纵波 反之 如果 的方 向与 z方 向垂直 那么这个波是横波 而在 3 式中 的方向也 与 z方 向一致 则说明扭转波是纵波 2 物理性质与数学性 质 从定义方面 横波和纵波 主要 区别是运动方 向和传播方 向的关 系界定 的 而从物理性 质方面 横波 和纵波 的 一 个重要 区别就是横波有偏振 现象 而纵波 不存 在偏 振现象 横波 的偏振具有与光学偏 振光类 似的特性 由于在描述 横波传 播时 两 个相 同方 向传播 的横 波 中质 点的振 动的方向并不一定相 同 在 实验 中测量 横波 当改变发射器和接收器 之间的偏振夹 角时 其振幅会有周期 性变 化 例如 图 1所示 中 由于 z 方向与 z 方 向与点 的振动方 向的夹角不 同 其振幅会有不 同 发 射 器 器 发 射 器 图 1 横 波 发 射 接 收示 意 图 图 2 扭 转 波 发 射 接 收 示 意 图 Fi g 1 Re l a t i on s hi p o f t r a n s mi t t i n g a nd a c c e p t i n g of t r a nsv e r s e wa ve Fi g 2 Re l a t i o ns hi p o f t r a ns mi t t i ng a nd a c c e p t i ng o f t wi s t i n g wa v e 而对于扭转波 在任一 瞬时 某一截 面上各个点都有相 同的转 角 所 以 当改变 发射器 和接受 器之 间的偏 振 夹 角时 其 振幅不 会发生 变化 即图 2所示 从任意 的 z 方向和 z 方向所测试到的扭转波 的振幅是完全相 同的 扭转波 的无偏振性质和纵波是一致 的 沿同一方向传播的纵波可 以直接进行代 数叠加 而 横波 由于其偏 振 一般 不能进 行代 数叠加 在 实心 圆杆 中 两个沿相同方向传播的扭转波可 以直接进行代数叠加 即就是两个 波叠加 后所产 生 的圆杆上某 点 的位移 等 于两个波分别使 圆杆上该点 的位移 的代数和 进一步证明扭转波与纵波有相 同的数学性质 3 弹性力学解 的讨论 文中所讨论 的扭转波是基于杆 的近似理论 假定横截面保 持平 面而且运 动是绕 其轴 的转 动 这一 假定得 出 转角 的波动方程 并得出扭转波是纵波 的结论 维普资讯 1 3 2 西 安科技 学 院 学报 2 0 0 4生 如果精确分析 弹性 圆柱杆 中扭转波 得到的控制 方程为 券 一 c9 2 V 象 c 4 一 对 于 其 最 低 阶扭 转 阵 型 的解 为 B 2 r e x p i k z w t 最低 阶振型 中 位移 与半径成正 比 也就是指运 动是 圆柱 的每一个截 面作 为一个整 体绕其 中心旋转 也 就是本 文所 讨 论 的 范 畴 4 结 论 文中通过数学形式的分析 得 出了扭转波 的实质是纵波 的结论 其物理性质与数学性质 也都证 明了这一点 虽然扭转波的理论是一个 比较古老 的理论 并且不是现在的研究热点 但是在实践 中应用广泛 明确其物理本质 有 利 于实 践 中进 行 更 好 的 测 量 与 计 算 前 面 所 述 的 元 偏 振 和 可 代 数 叠 加 的 特 性 对 工 程 实 践 会 有 很 大 的 利 用 价 值 参考 文献 1 美 阿肯 巴赫著 弹性固体 中波的传播 M 徐植信 洪锦如译 上海 同济大学 出版社 1 9 9 2 2 吴锡珑 大学物理教程 第 3册 M 上海 上海交通大学 出版社 1 9 9 2 3 贺西平 程存 弟 扭转振动与纵振 动的比较 J 声 学技术 1 9 9 4 1 3 1 2 1 2 3 4 党锡淇 许 庆余 理论力学 M 西 安 西安交通 大学 出版社 1 9 8 9 5 魏建新 盂平 赵群 固体物理模拟试验 波场 观测 J 石 油物探 1 9 9 7 3 6 2 7 3 8 5 Di s c u s s i o n o f t h e ph y s i c a l f e a t u r e o f t wi s t i n g wa v e CAO Xi a o s ha n D e p t o fEn g i n e e r i n g o fMe c h a n i c s Xi a n J i a o t o n g U n i v e r s i t y Xi a n 7 1 0 0 4 9 C h i n a Ab s t r a c t Phy s i c s a n d ma t h e ma t i c s me t h o d i s u s e d t o s t ud y t he c o nt r o l e q u a t i o n o f t wi s t i n g wa v e o f s ol i d c yl i n d r i c a l b a r Thi s p a pe r a n a l y s e s t he wa ve e qu a t i o n o f t h e a n gl e o f r o t a t i o n u nd e r a s s u mp t i on t h a t t he c r o s s s e c t i o n r e ma i n s pl a n e a n d ke e p s r ot a t i n g Th e r e s u l t d e mo ns t r a t e s t h a t t he t wi s t i n g wa ve i s l on g i t ud i na l wa v e b y a n g l i c i z i n g p h ys i c a l me a n i n g o f t he l o n g i t u d i n a l wa v e e q u a t i on t r a n s v e r s e wa v e e qu a t i on a n d t wi s t i n g wa v e e q u a t i o n Co mp a r i n g wi t h t he p hy s i c a l a n d ma t he ma t i c f e a t u r e of t he l o n gi t ud i na l wa v e a n d t r a n s v e r s e wa ve