两直线的夹角案例(张丽丽).doc

“学生更多参与课堂”给我带来的惊喜两直线的夹角教学案例一、教学内容分析：本节内容安排在两直线位置关系的第二节，是在三角函数内容后，是对角的概念的进一步深化，是三角函数知识的应用，同时，作为平面解析几何的一个内容，也是初中平面几何知识的延伸。二、学情分析对高二的学生来说，已学过平面几何，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的引导，带领学生直接参与分析问题、解决问题的过程，并品尝劳动成果带来的喜悦。三、教学目标：1让学生从已有的几何知识出发, 引导学生通过观察，猜想，明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义。2. 通过对直线不同位置的探究，掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式;3. 能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角。4通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。5通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。6培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、角的概念、三角函数等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。四、教学重点：到角和夹角概念的理解；五、教学难点：直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式的得出。六、教学用具：多媒体、直尺、量角器七、教学过程一、开门见山，引出课题上一节课,我们一起研究了两条直线的平行与垂直这两种特殊的位置关系,得出了两直线平行与垂直的充要条件,这一节,继续研究两直线相交情况下形成角的问题.二、师生共析，合作探究1.小试牛刀-直线l1到l2的角的定义师：两直线相交可以形成四个角，它们有何关系？生1：两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角。如图中的1、2.还是互补的两个角。师：我们应当把哪个角定义为l1到l2的角呢？生2：定义那个较小的角吧。师：你能说一说理由吗？生2：只要研究了一个角，另一个角也可由互补得出。师：非常好！生2已经给出了与定义非常接近的“定义”。我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.师：为什么要逆时针？哪位同学能解释其中的原因？生3：在角的概念中，逆时针形成的角是正角，这样研究起来较简便。师：好！这位同学具有数学家的思维，很有潜力！在右图中,直线l1到l2的角是1, l2到l1的角是2.特殊地，当直线l1l2时,直线l1和l2的夹角是/2.说明: 直线l1与l2 相交时，10,20,且1+2= 在这个环节中，由学生观察两直线相交时形成的角，结合以往学习的经验猜想“到角”和“夹角”分别是哪个角，学生通过前后知识的联系非常合情的推测角的定义，这样做比直接给出定义让学生去记忆效果要好。2.大刀阔斧-直线l1到l2的角的公式:.师：刚才定义了,直线l1到l2的角是1, l2到l1的角是2，现在想得到这两个角有多大，怎么办？你需要什么工具或提供什么条件？生4: 我有量角器的话，可以直接量出角的大小。师：这种方法非常简便，但这样做误差较大，与个体差异有关。有其它方法吗？生5：前面已经学习了直线的方程，我们已知两直线的倾斜角便可得出直线l1到l2的角了。，由图（1）和图（2）分别可知=21或(12)师：很棒，由已知两直线的倾斜角便可得出直线l1到l2的角了。这位同学由图（1）和图（2）的建系方式将两条直线放置，得到角，还有其它建系方法吗？ 在这个环节中激发学生的主动参与热情，发扬学生的创新精神，让学生两直线的放置方式，结果让我感到惊喜。学生作出了不同的直线位置关系：有的将交点落在原点，有的将其中一条直线与坐标轴平行或重合，有的将原点落到其中一条坐标轴上。通过实物投影将学生的作图情况进行展示，充分显示了学生参与课堂带来意想不到的效果，学生动脑了，参与了，就会有成果。这些在课前并没有想到。生6：如果有两直线的斜率存在，也可以通过角的三角函数值间接得到角。师：好，我们设两直线的斜率为k1、k2，求l1到l2的角的，生6（板演）：设已知直线的方程是l1：y = k1x + b1 , l2：y = k2x + b2.如果1+k1k2=0，即k1k2=1，则/2如果1+k1k20,设l1、l2的倾斜角分别是1和2，则tan1k1,tan2k2. 由图（1）和图（2）分别可知=21或(12)(21)tantan(12)或tantan(21)tan(21)于是3、反璞归真-l1和l2的夹角定义与公式如图，l1到l2的角是, l2到l1的角是-1,当l1与l2相交但不垂直时,和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当tan0时，l1到l2的角是锐角； 当tan0时，l1到l2的角是钝角,此时l2到l1的角等于。所以当直线l1与l2相交但不垂直时,和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.记为夹角，则.特殊地，当直线l1l2时，我们说直线l1和l2的夹角是/2。4成竹在胸-小结当直线l1、l2的斜率分别为k1、k2时，直线l1到l2的角为，则 直线l1和l2的夹角为，则范围：直线l1到l2的角为(0,)；直线l1和l2的夹角(0,/2三、应用举例，深化概念例1.求直线的夹角。生解:由两条直线的斜率k12，k21得 所以，两直线的夹角为arctan3。例2.等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x2y20,底边所在直线l2的方程是xy10,点(-2,0)在另一腰上(如图),求这条腰所在直线l3的方程.生解:设l1,l2, l3的斜率分别为k1,k2, k3, l1到l2的角是1, l2到 l3的角是2l1,l2, l3所围成的三角形是等腰三角形,1=2，tan2tan13即将k21代入得解得k3=2l3经过点(-2,0),斜率为2, 直线l3的点斜式方程为y=2(x+2),即2xy+4=0四、达标检测 1求2xy+4=0与x+y+4=0的夹角。2已知一条直线与2x+y+1=0成45。 ，求直线方程。五、归纳总结，思想升华本节课我们通过自主探究、合作交流得出了l1到l2角公式、l1和l2夹角公式运用了数形结合、分类讨论的数学思想方法六、作业习题7.3 5,6,8,9.七、课后反思本节为了突破难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，思路的获得就水到渠成了。整个研究过程让学生体会知识的产生过程，公式的得出完全由学生完成，体现了以学生为主体，学生更多参与课堂的生成。大胆放手让学生成为课堂的主人，能够给我们带来更多惊喜。为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，