第六章自旋和角动量习题.pdf

第六章第六章 自旋和角动量自旋和角动量 一 填空 1 实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一 为了解释该实验 和 提出了电子具有自旋角动量的说法 2 在的共同表象中 算符对应的矩阵分别是 和 x 2 zyx 二 概念与名词解释 1 电子自旋 2 泡利矩阵 3 无耦合表象 耦合表象 4 塞曼效应 正常塞曼效应和反常塞曼效应 三 计算 1 求自旋角动量算符在 cos cos cos 方向的投影 Sn Sxcos Sycos Szcos 的 本征值和相应的本征矢 在其两个本征态上 求 Sz的取值概率及平均值 2 求下列状态中算符的本征值 SLJ J J z 2 Y S 4 Y S Y S231 3 Y S Y S231 2 Y S 1 1 1z1 2 4 1 1z1 2 10z1 2 3 11z1 2 10z1 22 11z1 21 3 对自旋态 S S 0 1 S 2 y 2 x21 2 求 4 一个由两个自旋为 1 2 的非全同粒子组成的体系 已知粒子 1 处在 S1z 1 2 的 本征态 粒子 2 处在 S2x 1 2 的本征态 取 1 求体系总自旋 S2的可能值及 相应的概率 并求体系处于单态的概率 5 考虑三个自旋为 1 2 的非全同粒子组成的体系 体系的哈密顿量是 A B 为实常数 试找出体系的守恒量 并确定体 S SSB SSAH 32121 系的能级和简并度 取 1 为单位 6 设氢原子处于状态求轨道角动量 z分量和自旋 z 2 r YR3 2 r YR r 1021 1121 分量的平均值 进而求出总磁矩的 z 分量的平均值 c Se c 2L e 7 设总角动量算符为 记算符 J2与 Jz的共同本征函数为 jm 当 j 1 时J 1 写出 J2 Jx的矩阵表示 并求出其共同本征矢 1mx x 2 若体系处于状态求同时测量 J2与 Jx的取值概率 2 1 111 3 在 状态上 测量 Jz得 时 体系处于什么状态上 在 状态上 计算 Jy 的平均值 8 在激发的氦原子中 若两个电子分别处于 p 态和 s 态 求出其总轨道角动量 的可能取值 9 用柱坐标系 取磁场方向沿 z 轴方向 矢势 A B 2 A Az 0 求均匀磁场 中带电粒子的本征能量 10 自旋为 1 2 的粒子 在均匀磁场中运动 磁场的绝对值不变 但各个分量随 时间变化 满足 Bx Bsin cos t By Bsin sin t Bz Bcos 设 t 0 时自旋在 磁场方向上的分量等于 1 2 求在时刻 t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 等于 1 2 的态中的概率 11 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U r me 02r2 2 中运动 求粒子的能 谱 12 自旋为 2 的粒子处于线谐振子位势中 t 0 时粒子处于状态 求 t 0 时的波 3 S x 2 3 S x 2 3 S x 0 S x z1 21z1 2 1z1 20z 函数及能量的取值概率与平均值 为该线谐振子的第 n 个本征态 x n 13 设体系由两个自旋为 2 的非全同粒子构成 若体系处于两个粒子的自旋状 态分别为 1 2 的状态中 分别求出体系处于单态与三重态的概率 其中 2 exp isin 2 exp icos 0 1 21 14 两个自旋为 2 的非全同粒子构成一个复合体系 设两个粒子之间的相互作 用为其中 c 是常数 设 t 0 时粒子 1 的自旋沿 z 轴正方向 粒子 2 S S c 21 的自旋沿 z 轴负方向 求t 0 时测量粒子 1 的自旋仍处于 z 轴正方向的概率 四 证明 1 设是 与 泡 利 算 符 对 易 的 两 个 矢 量 算 符 证 明B A B A iB A B A 2 如果 m是 Lz的本征态 满足本征方程 Lz m m m 现在将z 轴转一个角度 变成 z 轴 求证 m cos 3 设求证 JJJ 21 1 即 J1z的矩阵对于量子数 m 是对角化的 jmJmj jmJm j 1z1z 2 jmJ1mj jmJm j 1mm 11 3 当时 1j j 0jmJm j 1 4 对于两个自旋 1 2 的粒子组成的体系 证明张量算符 和 S2及 对易 为总自旋 是总角动量 21 2 2112 rr r3 S J S J 是体系的轨道角动量 在质心坐标系中 的算符形式是L LSJ L 21 rrr riprL 五 综合题 1 在 z表象中 写出算符的矩阵形式 并证2 i 2 1 Q yxz 和 明如下关系成立 Q Q 0 0 a b a Q 0 a b a Q 0 Q Q Q Q Q Q Q Q 1 Q Q z 2 2 2 2 2 证明并由此求出的本征值 2 3 21 2 21 21 3 对于两个自旋为 1 2 的粒子组成的体系 令 取 1 定义张量算符 r r re r rr r21 方向上的单位矢量 21r2r112 e e3 S 1 证明 S12 2 4S2 2S12 是总自旋 再进而证明 S12的任意正整数次幂均可表示S 为 S12和 S2的线性组合 2 求 S12的本征值 3 令机会均等地经历各种方向 求 S12的平均值 r e 4 氘是质子和中子的束缚态 其总角动量 J 1 现已知它主要是由 S l 0 态组成 并且有很少的 D l 2 态参与进来 1 解释为什么 P 态不能参与 2 解释为什么 G 态不能参与 3 计算 n p 体系 总角动量 J 1 处在纯 D 态时的磁矩 假设 n 和 p 自旋耦合形成 总自旋 然后总自旋在与轨道角动量耦合形成总角动量 用核磁子表示S L J 你的结果 已知质子和中子的磁矩分别示 2 79 和 1 91 核磁子 5 在的态中 2121 mmm JJJ 1 若j1 1 j2 1 2 j 3 2 m 1 2 求克莱布希 戈尔登系数 2 考虑下列反应 a p p b p p c p 0n 这些同位旋守恒的反应能在同位旋I 3 2 的 共振态或在I 1 2 的N 共振态中 产生 试分别就对应于 共振和 N 共振的能量计算截面比 a b c 在一个 共振能处可忽略其他同位旋态产生的影响 介子的同位旋是 I 1 态 核子的 同位旋是 I 1 2 态 6 一个 介子 赝标粒子 自旋为零 奇宇称 最初被束缚在氘核周围 并处在最 低库仑能态上 它被氘核 一质子和一中子处在 3S1态中 俘获 并使氘核转变 为一对中子 d n n 1 中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少 2 发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少 3 如果氘核的自旋在最初全部指向方向 发现自旋反向的中子的发射概率 单R 位立体角 的角分布是多少 7 讨论一个中性粒子 它的内禀角动量是其中 S 2 即它是一个自 1 S S 旋为 1 2 的粒子 假设这粒子有一磁矩 是一个常数 这个