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离散数学教学中应注意的几个问题 胡纪华 安康学院数学系 陕西安康7 2 5 0 0 0 摘要 在离散数学教学存在一些问题 本文对此进行 了分析 并提出了解决的对策 关键词 离散数学教学问题成因分析解决方法 随着人类社会的发展与进步 计算机技术日益成熟 已不 断深入到人们生活的各个领域 许多高校开设了计算机科学 与技术专业 离散数学作为专业必修课 其重要性H 益显现 但由于课程特点 教学方法等多方原冈 离散数学的教学并不 尽如人意 我们只有加强教学研究 在教学过程中发现存在的 问题 并及时加以解决 不断提高教学质量 才能充分发挥离 散数学在人才培养中的重要作用 本文试就离散数学教学中 普遍存在的问题进行成阕分析 给出解决方法 一 对离散数学课程的认识问题 一些学生对离散数学课程的重要性认识不足 重视不够 因此教师在课程讲授前一定要先解决 什么是离散数学 为什 么要学习离散数学 的问题 使学生对离散数学的特点和重 要性有充分认识 离散数学是现代数学的一个霞要分支 其研究的对象是 各种各样的离散鼠的结构及其关系 如自然数 真假值 字母 表等 离散数学非常重视 能行性 问题研究 即要解决一个问 题 首先要证明此问题解的存在性 其次要找出此问题解的步 骤 而且步骤必须是有限的 有规律的 这些都与连续数学中 的讨论方式形成了鲜明的差别 除此之外 一切以离散现象为 其研究对象或研究对象之一的数学均可属于离散数学 如代 数结构 数理逻辑 图论 组合数学 数论 离散概率等 因此离 散数学可看成足由多门数学分支组成 各个分支相对独立 研 究方法各异 研究侧重点也有所不同 故各有特色 但同时它 们又相互补充 相互促进 相互渗透 共同形成的一门具有共 性的综合的数学学科 离散数学是数学类 计算机类各专业的必修课 一方面 它作为有力的数学 丁具 对计算机的发展 计算机科学的研究 起着重大的作用 离散数学的思想 方法 概念已渗透到计算 机科学的各个领域 学生如果不了解离散数学的基本内容 在 计算机科学中就寸步难行 学牛学习离散数学 可给后继课 程 如数据结构 数据库原理 算法分析 计算机网络等课程提 供必要的数学基础 另一方面 它是连接数学与实际问题的纽 带 有利于培养学生对实际问题的提炼 抽象能力 逻辑推理 能力 数学建模能力 以及计算机应用能力 学生学习离散数 学 可以为后续发展打下坚实的基础 形散神也散的问题 离散数学不问于其它数学课程 它不仅在研究对象和研 究方法上与普通数学有较大差异 而且在内容结构上随计算 机科学的发展而变化 不及连续数学课程完整与稳定 因而对 已习惯于连续数学学习的师生而言教学难度大 其中最大的 问题是形散 神也散 所谓形散足指课堂教学中概念多 定理多 核心内涵难以 突出 神散是指各知识点相对独立 相互关系不明显 学生难 以内化成自己的知识结构 形散神也散的问题存在的原因有 两个 一是离散数学课程本身就是由多f 数学分支组成 每个 分支基本上可看成一f 独立的研究领域 这些分支一方面相 互独立 另一方面相互联系 但联系不及连续数学中的关系明 显 二是教师没有从学生的认知规律出发 去挖掘教学内容 则x 件商品的总税额T x t x 因而总利润函数为L x R x 一C x T x 1 0 0 x x 2 2 0 0 5 0 x x 2 一t x 5 0 x 一2 x 2 2 0 0 一I x 从而L x 5 0 4 x t 企业获得最大利润的情况下有L x o 即L x 5 0 4 x t 0 解得x 5 0 t 又r x 4 0 所以当x 5 0 t 床1 企 44 业取得最大利润 取得最大利润时的总税额为T t x t 兰竺 4 2 5 0 t t 令T 皇坚 o 得t 2 5 又 I 一上 o 所以当t 2 5 时 总 44 2 税收取得最大值 因此每件商品征收货物税为2 5 货币单位 时总税额最大 5 资源的合理利用问题 资源合理利用的问题一方面体现在资源的不可浪费 另 一方面体现在资源分布的合理性 从数学上来看 资源分布是 否合理主要是求最大值与最小值的问题 而导数在计算最值 的方面有着无比优越的作用 首先通过计算一阶导数来确定 驻点 再利用二阶导数求出此驻点是极大值还是极小值点 最 后确定资源是否合理利用 例5 某房地产公司有5 0 套公寓要出租 当每间租金定为 每月1 8 0 元时 公寓可全部租出去 当租金每月增加l O 元时 就 有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月由房产公司承担 2 0 元的整修维护费 分析房租定为多少时比较合理 解 设月租定为x 元时比较合理 由题意可列出房地产公 司的成本函数是C x 2 0 5 0 一 x l S O 收入函数为R x I U 7 2 5 0 一娑望 x 所以房地产每月可获利润L x R x 一c x l U 5 0 兰 婴 x 一2 0 5 0 兰二堡 一三 7 0 一1 3 6 0 房租定价 1 01 0 1 0 的合理性 也就是如何使房地产获得最大的利润 欲使房地产 2 所得利润最大 即L x 一上 7 0 x 一1 3 6 0 0 解得x 3 5 0 又I 1 0 x 一一1 O 所以x 3 5 0 是利润函数的最大值点 因此 当月租 5 定为3 5 0 元时比较合理 本例说明利用导数的知识来进行资源合理利用的分析是 比较方便快捷的 应用导数解决经济活动中的最优化问题 实际上归结为 我们数学中的求一个函数在某 间上的最大值 最小值问题 一般步骤为 首先 分析问题 列出目标函数关系式 其次 对 甬数关系式求一阶导数 并令其为零 求出驻点 最后 如果根 据题意能确定该问题存在极大值或极小值 且所求的驻点唯 一 则函数在该驻点处取得最大或最小值 参考文献 1 侯风波 经济数学 M 沈阳 辽宁大学出版社 2 0 0 6 2 彭文学 李少斌 经济应用数学 M 武汉 武汉大学出 版社 1 9 9 7 3 崔西玲 李宏平 经济数学基础 M 北京 科学出版 社 2 0 0 5 万方数据万方数据 关于循环矩阵求逆矩阵的讨论 黄春妙 河池学院 广西宜州5 4 6 3 0 0 笔者由循环矩阵的性质给m 求循环矩阵的逆矩阵的3 种 方法 得到的方法是文献 5 6 中相应算法的推广 一 n 阶循环矩阵的定义 设a o 4 l a2 a l 是任意复数 称n 阶矩阵A r a oa a 2 I8 一 屯 l 是以a o a I a 2 a 卜 为元素的n 阶循环矩 Ki j J m O01 00 阵 记 I I 易知 2 f 1 I 都是循 m 10 0 00 1 卜 环矩阵 I 是n 阶单位矩阵 并记 毫 I 则任意一个n 阶循环矩 阵都可用 1 表示 即A f 其中f x a 0 a i X a 2 x 2 x 称为A 的表征多项式 于是任何循环矩阵A A a 0 a a 2 1 a o I a l a 毒 a 一 f 1 二 n 阶循环矩阵的基本性质 性质l 若A B 都是n 阶循环矩阵 那 A A B t 鱼是I I 阶 循环矩阵 且A B B A 二 性质2 若A 是n 阶循环矩阵 且A 可逆 那么也是n 阶 循环矩阵 证明 已知A a d 禹 a 2 f a f 设B b 0 b b f b 卜l f 一 使A B B A I A B a l o a n 一 b I a 卜2 k a I b 卜1 考 a b o o b l a 舾l b I a 2 b n 1 揭示知识内涵 课堂教学中缺乏知识点间联系的 线条 解决形散神也散的问题的关键在于教师 教学巾 以其昏 昏 使人昭昭 是行不通的 离散数学教学更是如此 教师只有 多角度 深层次地理解教学内容 才会有驾驭离散数学教学的 能力 也才会在课堂教学中揭示知识内涵 从而达到好的教学 效果 具体做法是 首先要分析每堂课的教学内容 选择知识 点 用主线逐个将知识点串起来 其次在每个知识章节结束后 要及时进行总结 点明各知识点间的关系 建立知识网络 三 内容多课时少的问题 近年来 离散数学教师普遍受到课时太少 内容太多的问 题的困扰 究其原因有两个 一是大部分高校开设离散数学课 程的时间不长 没有适合不同专业学生学习的比较成熟的教 学大纲与教材 教师经验不足 教法陈旧 二是由于高校扩招 学生素质下降 随着学分制的推行 很多高校都在进行课程改 革 在普遍减少课时的情况下 却没有降低教学要求 由此造 成离散数学教学中课时少 内容多的矛盾突出 课堂上出现了 严重的 满堂灌 在离散数学的教学中 教师首先需要坚持少而精的原则 对教学内容深刻理解 分清主次 抓住精华 舍得割舍 在教学 过程中 不要追求事无巨细的面面俱到 要给学生留下思考的 空间和余地 中国科学院院士李大潜语 这样既有利于减轻 教师负担 又有利于学生创新素质的培养 具体做法是 对基 础性的知识 重点难点 解决问题的方法 知识点之间的联系 要精讲细讲 对前面已出现过的类似的方法 基本定理推广的 结果 一些繁琐的推导 以及学生可自学的内容要舍得放弃 其次 教师要根据等业需要或学生培养目标对教学内容合理 取舍 如对数学专业学生的离散数学教学 集合论中的许多内 容和代数系统巾群 环 域等内容可以不讲或略讲 因为这些 内容学生在高等代数 近似代数等课程中学习过 对计箅机应 用专业学生的离散数学教学 可舍去理论性过强 推理过繁的 内容 强化基础 突出应用 最后 教师要坚决抵制盲目削减离 散数学课时的行为 因为离散数学是等业课学习的基础 其中 的基本定理和知识点必须由教师讲授和演算 要有时间保证 而且为了培养学生能力 必须在教学中展现 发现问题 发现 问题 思考问题 解决问题 的全过程 也要有充足的时间的保 证 因此不能盲目地减少课时 四 重理论轻应用的问题 在离散数学教学的过程中 学生常常会感觉到 定义多 定理多 抽象性强 形式化程度高 实际应用少 学习枯燥无 味 这种现状存在的原因有两个 一是教师在教学中存在一 种落后的思维偏好 重演绎 轻归纳 重理论 轻应用 在教学 内容多 课时相对较少的情况下 不少教师舍弃应用 全力以 赴于理论的讲授 致使学生不知所学何用 失去学习兴趣 二 是离散数学中的理论抽象 不易与实际相联系 加之许多从事 离散数学教学的教师来自数学专业 他们对离散数学在计算 机科学技术上的应用并不十分了解 无法在教学过程中给出 知识在相天方面应用的实例 要从根本上解决这个问题 教师需从以下三方面人手 一 要更新教学观念 充分认识应用在离散数学教学中的重要作 用 教师在教学巾把应用拒之门外 割断它与现实的联系 从 理论到理论的教学 只能使教学变成无源之水 使学生无法领 会抽象的理论和其中的思想方法 没有应用的教学不仅会挫 伤学生学习的积极性 而且会弱化其在学生能力培养方面的 作用 二要加强个人知识体系建设 教师不仅要熟知数学方面 内容 而且要了解计算机科学及技术应用方面的知识 这样才 能在教学中游刃有余 举出既与所学理论相关 又与计算机课 程内容相联系的典型实例 j 要选择适当内容设置实践环节 如在学生具有相关编程知识之后 选择离散数学的部分内容 进行数学实验 或根据所学内容 布置思考题 要求学生用离 散数学知识建模等 综上所述 在离散数学的教学中 教师要对课程特点及其 在人才培养中的重要作用有足够的认识 通过深挖教学内容 解决形散 神也散的问题 通过抓住精华 合理取舍解决内容 多 课时少的 口 题 通过更新观念 加强实践等方法解决重理 论 轻应用的 口J 题 教师做好了这一切 才能有效地改变离散 数学教学的现状 使教学再上一个新台阶 参考文献 1 徐洁磬 离散数学导论 M 北京 高等教育出版社 2 3 9 基金项目 安康学院 离散数学 精品课程建设项目 7 3 万方数据万方数据 离散数学教学中应注意的几个问题离散数学教学中应注意的几个问题 作者 胡纪华 作者单位 安康学院数学系 陕西 安康 725000 刊名 考试周刊 英文刊名 KAOSHI ZHOUKAN 年 卷 期 2009 36 参考文献 1条 参考文献 1条 1 徐洁磬 离散数学导论 2003 本文读者也读过 10条 本文读者也读过 10条 1 何秀萍 He Xiuping 具有最小度距离的双圈图 期刊论文 数学研究2008 41 4 2 徐蔚 XU Wei 浅谈抽屉构造的几种方法 期刊论文 芜湖职业技术学院学报2004 6 2 3 刘均梅 等价关系在陪集教学中的应用探讨 期刊论文 北京联合大学学报 自然科学版 2004 18 4 4 汤化平 庞倩超 数据结构 课程教学探讨 期刊论文 牡丹江师范学院学报 自然科学版 2004 2 5 宋锦奎 具有 周期 特点数列通项公式的求法 期刊论文 安庆师范学院学报 自然科学版 2003 9 3 6 孙凤芝 程霜梅 刘建群 反对称性和传递性的两个等价定义及应用 期刊论文 长春师范学院学报 自然科学版 2004 23