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文档简介

例谈椭圆定义在解题中的应用定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一、解方程 例1 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令，得，则点M（x，y）的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。 解：由原方程可得 解得二、判断方程表示的曲线 例2 已知，且满足，试判断点M的轨迹是怎样的曲线。 分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M到直线的距离，即有，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。三、求参数的取值范围 例3 （2004年高考全国卷III）设椭圆的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。 解：由题意知m0，且 2得： 又 所以，即，所以 例4 （1997年全国联赛题）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ） A. （0，1）B. （1，+） C. （0，5）D. （5，+） 分析：由已知得 即 依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得，解得m5，选D。四、求最值 例5 （1）（1999年全国联赛题）给定A（-2，2），已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取最小值时，求B点坐标。 （2）已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值。 分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。 解：（1）显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离，所以，结合平面几何知识，可知，当ABl时，最小，此时易求B点坐标为（，2） （2）设椭圆的左焦点为F，由平面几何知识，得，当且仅当M为线段FP的延长线与椭圆交点时取等号。 所以 所以的最小值为。五、求轨迹方程 例6 （2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线一支D. 抛物线 解：因为，所以 由椭圆第一定义得，故，即Q点轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆，选A。六、求焦点三角形的面积 例7 已知点P是椭圆上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF2，求F1PF2的面积S。 解：PF1F2中，由余弦定理，得 所以 故七、求离心率 例8 已知P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点若PF1F2，PF2F1，求椭圆离心率。 解：PF1F2中，由正弦定理有 八、求离心率取值范围 例9 （2001年“希望
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