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第十一章 机械振动 学习指南 基本要求 1 理解机械振动的基本概念和描述振动的基本物理量 2 掌握简谐振动 阻尼振动 受迫振动和共振等几种基本的振动形式及其规律 3 知道振动在生产和工程技术中的应用 第一讲 描述振动的基本物理量 振动的定义振动的定义振动的定义振动的定义 广义 任何一个物理量在某一量值附近发生周期性的变化 叫做振动 狭义 物体在一定位置附近的往返运动 称为振动 也叫机械振动 一 描述振动的基本运动学量 1 1 1 1 位移位移位移位移 做机械振动的物体 在不同时刻处在平衡位置附近的不同位置上 运用位移 这个物理量可以对振动物体的空间位置的变化加以描述 所谓振动物体的位移是相对平衡位置而言的 把振动物体离开平衡位置的距 离成为振动物体的位移 位移的方向总是由平衡位置指向物体某时刻所在的位 置 做机械振动的物体可以做直线运动 也可以做曲线运动 做直线运动的振动 物体其位移一般用符号 x 或 y 来表示 如弹簧振子 做曲线运动的振动物体 其位移可以用角位移 来表示 如单摆 2 2 2 2 速度速度速度速度 1 掌握简谐振动的特点 理解简谐振动的三个特征量的物理意 义 2 理解两个同方向 同频率的简谐振动的合成规律 掌握合振 动振幅最大和最小的条件 能用旋转矢量法分析有关问题 3 进一步理解物理学分析问题 解决问题的思路和方法 学习指南 COB x 速度是反映振动物体在某一时刻振动快慢及其振动方向的物理量 通常用 v 来表示 一般来说 机械振动是变速运动 3 3 3 3 加速度加速度加速度加速度 加速度是反映振动物体速度变化快慢及其变化方向的物理量 通常用 a 来表 示 一般来说 机械振动是变加速运动 二 描述振动的基本特征量 振动最突出的特征是运动的周期性 为此引入振幅 周期 频率等物理量来 描述它们的周期性的运动特征 1 振幅 A 反映物体振动的强弱程度 大小由初始条件决定 数值上等于 物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值 2 周期 频率和角频率 反映物体振动快慢的物理量 由振动系统的性质 决定 1 周期 T 振动物体完成一次全振动所需要的时间成为周期 单位是秒 2 频率 单位时间内物体作全振动的次数称为频率 单位是赫兹 3 圆频率 在s 2 内 物体作全振动的次数 4 周期 频率和角频率的关系 2 T 2 1 T 3 相位 初相位 1 相位 t 反映谐振动状态的特征物理量 2 初相位 决定初始时刻的振动状态的物理量 第二讲 几种基本的振动形式 一一一一 简谐振动 弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子模型模型模型模型 一个劲度系数为k的轻弹簧的一端固定 另一端系一质量为m的物体 并置 于光滑水平面上 弹簧处于自然状态时的 物体位置O称为平衡位置 当物体离开平 衡位置的距离为x时 在弹簧的弹性限度 范围内 物体将在平衡位置附近作往返运 动 这一由轻弹簧和物体构成的振动系统 称为弹簧振子 弹簧振子是一个理想模型 1 简谐振动的特征简谐振动的特征简谐振动的特征简谐振动的特征 1 动力学特征动力学特征动力学特征动力学特征 根据弹簧振子模型 物体在运动过程中受的合外力就等于弹力 设平衡位 置O为坐标原点 以向右为x轴正向 当物体相对平衡位置的位移为x时 F kx 或ma kx kx dt xd m 2 2 O l T G kx dt xd m 2 2 0 2 2 x m k dt xd 其中 x 为偏离平衡位置的位移 A 为振幅 t为相位 为初相位 即一个振动系统的运动微分方程具有这种形式 那么该系统作简谐振动 其中 m k 它是由振动系统本身性质决定的 代表了振动系统的特征 称为 振动系统的固有角频率也叫圆频率 即 当物体受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移的大小成正比且 方向相反 2 运动学特征运动学特征运动学特征运动学特征 简谐振动微分方程的解为 cos tAx 简谐振动的振动速度 sin tAv 简谐振动的振动加速度 cos 2 tAa 3 能量特征能量特征能量特征能量特征 振动动能 sin 2 1 2 1 2222 tAmmvEk 振动势能 cos 2 1 2 1 222 tkAkxEp 振动系统总的机械能为 222 2 1 2 1 kAAmEEE pk 即 简谐振动系统的机械能是守恒的 综上所述简谐振动的三个特征彼此相同 互相联系 例题例题例题例题 1 试证明单摆在摆幅很小又忽略空气阻力的情况下的运动是简谐振动 证明 如图所示 摆长为l 摆球质量为 m 忽略空气阻力 当摆球离开平 衡位置 O 时 重力沿切向的分力 sinGG 是使小球回到平衡位置的回复力 当摆角 很小时 0 5 称为振动2超前振动1或振动1落后振动2 若 12 称两振动同相 若 0 12 称为反相 例题8 4 弹簧振子沿x轴方向做简谐振动 振幅为A 角频率为 设t 0 时 振子的运动状态分别是 1 Ax 0 2 0 0 x 向x轴负向运动 3 2 0 Ax 向x轴正向运动 试用旋转矢量法确定振动方程 解 由旋转矢量图得 1 tAx cos 2 2 cos tAx 3 3 4cos tAx 例题8 5 两个物体做简谐振动 振幅相同 频率相同 第一个物体振动方程 为 cos 11 tAx 当第一个物体处于负方向端点时 第二个物体在2 2 Ax 处 且向x轴正向运动 求 1 两个振动的相位差 2 第二个物体的振动方 程 解 由旋转矢量图得 1 3 2 12 12 3 2 x t 2 4 O 4 0 5 2 x A A2 A1 O x1 x2 x 12 2 3 2cos 12 tAx 3 振动曲线振动曲线振动曲线振动曲线 用作图的方法画出物理量随时间的变化曲线称为图示法 因此可根据振动方 程 画出位移 速度 加速度随时间的变化曲线 这些曲线称为振动曲线 例题3 一质点的振动位移曲线如图示 试写出其振动方程 解 由图可知 cmA4 当0 t时 cos2 0 AAx 而0sin 0 Av 所以 3 当st5 0 时 3 5 0cos 40 则srad 3 因此振动方程为 33 cos 4cmtx 3 简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成 实际的振动 常常是几个振动合成的结果 一般的振动合成问题比较复杂 下面我们只讨论两个同方向 同频率的振动的合成 和相互垂直的两个同频率振 动的合成 一一一一 同方向同方向同方向同方向 同频率振动的合成同频率振动的合成同频率振动的合成同频率振动的合成 1 若两个同方向的谐振动 它们的角频率都是 振幅分别为 1 A和 2 A 初 相分别为 1 和 2 则它们的振动方程分别为 cos 111 tAx cos 222 tAx 因为两振动是同方向的 所以合 振动的位移x仍与两分振动同方向 合振动位移为两个分振动位移的代数和 即 21 xxx 我们用旋转矢量法求出合振动位移 如图所示 与两个振动相对应的旋转矢量分别为 1 A v 和 2 A v 在0 t时 它们与x轴 的夹角分别为 1 和 2 他们在x轴的投影分别是 1 x和 2 x 由平行四边形定则可 知合矢量 21 AAA vvv 且与分矢量以同一角速度 运动 因而其相对位置在旋转 过程中保持不变 合矢量在轴上的投影为合振动的位移 仍为谐振动 其频率与 分振动频率相同 合振动位移为 cos 21 tAxxx 合振幅为 cos 2 1221 2 2 2 1 AAAAA 合振动的初相为 211 2211 coscos sinsin tan A AA 2 讨论 1 若两分振动同相即相位差 k2 12 当L2 1 0 k 时 1 cos 12 可得 21 AAA 即合振幅最大 合成的结果是两个振动 相互加强 在波的干涉中称为干涉加强 2 若两分振动反相相即相位差 12 12 k 当L2 1 0 k时 1 cos 12 可得 21 AAA 即合振幅最小 合成的 结果是两个振动相互减弱 在波的干涉中称为干涉相消 3 一 般 情 况 下 相 位 差 可 取 任 意 值 合 振 幅 取 值 范 围 为 2121 AAAAA 二二二二 相互垂直的同频率的谐振动的合成相互垂直的同频率的谐振动的合成相互垂直的同频率的谐振动的合成相互垂直的同频率的谐振动的合成 设质点同时参与振动方向相互垂直的两个同频率的谐振动 一个沿x轴方 向 另一个沿y轴方向 其振动方程分别为 cos 11 tAx cos 22 tAy 根据运动叠加原理 质点的合振动是在xy平面上进行的 可得 sin cos 2 12 2 12 212 2 1 2 AA xy A y A x 一般说来 相互垂直的两相同频率的谐振动合成后是椭圆运动 椭圆的形状 和运动方向取决于相位差的具体数值 对相位差同相和反相这两种情况 合运动 是沿直线的谐振动 若 0 椭圆沿顺时针方向 若 2 椭圆 沿逆时针方向 2 和2 3 且振幅相等时 椭圆轨迹变成圆形轨迹 可 用旋转矢量法举一例子说明 二 阻尼振动 受迫振动 共振 一 阻尼振动 振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动 阻尼 damp 消耗振动系统能量的原因 阻尼种类 摩擦阻尼 辐射阻尼 1 阻尼振动的振动方程和表达式 1 阻力 对在流体 液体 气体 中运动的物体 当物体速度较小时 阻力 速度 阻尼力 式中 阻力系数 2 振动方程 讨论在阻力作用下的弹簧振子 受力 弹性恢复力 kx和阻力 则有振动方程 引入阻尼系数 2m和固有频率 得阻尼振动 damped vibration 的微分方程 当阻尼系数较小 系统作阻尼振动 这时微分方 程的解为 此方程的解应分三种情形讨论 2 2 称作过阻尼 overdamping 阻尼振动曲线 2 2 称作临界阻尼 critical damping r d d F x v t 2 2 dd dd xx kxm tt 0 k m 2 2 0 2 dd 20 dd xx x tt cos t xAet 222 0 A A t O x 0 T t A e cos t Aet v t o 过阻尼 欠阻尼 临界阻尼 三种阻尼比较 二 受迫振动 forced vibration 系统在周期性外力的作用下所进行的振动 称为受迫振动 1 系统受力 以弹簧振子为例 弹性力 kx 阻尼力 周期性驱动力 f F0 cos t 2 振动方程 由牛顿定律有 令 得微分方程 3 解 在驱动力开始作用时 受迫振动的情况是较为复杂的 但经过不太长时间后 受 迫振动达到稳定振动状态 受迫振动达到稳定振动状态 其运动方程称为其稳态 解 4 特点 稳态时的受迫振动是简谐振动 但它不是无阻尼自由谐振动 1 角频率 等于驱动力的角频率 p 2 振幅 系统作等幅振动 虽有阻力消耗能量 但同时有驱动力作功对系统输入 能量 系统仍可维持等幅振动 其振幅由系统参数 0 阻尼 驱动力 F p 共同决定 A的大小敏感于 和 0的相对大小关系 而和初始条件 x0 0 无关 2 2 p d d cos d d t x mt F t x kx 0 k m 2m fF m 2 2 0p 2 dd 2cos dd xx xf t tt 2222 0pp 4 f m A v 0 cos cos t pp xA etAt cos pp xAt 3 初相 亦决定于 0 和 与初始条件无关 值在 0之间 可见 位移x落后于驱动力f 的变化 f的初相为零 练习 请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动作一对比 三 共振 resonance 位移共振 当驱动力的角频率 等于某个适当数值 称共振角频率 时 振幅 出现极大值 振动很剧烈的现象 速度共振 当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时 速度幅 A达极 大值的现象 1 共振方程 共振振幅 共振角频率 p 22 0p 2 tan 2 2 0p 2 dd 2cos dd xx