排列组合问题的解法第三计.doc

每周一计第三计排列组合问题的解法解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种；第二类，不含0：有种。 故共有（ ）种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单）（二）排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.例：个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有=78种（三）.相邻问题“捆绑法”对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有种。 （四）。不相邻问题“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素；数清可插的位置数；插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为1、2、3、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种。 （五）。定序问题选位不排对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 （六）“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。 例7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？ 解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有 种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有 种，由乘法原理，共有 种 （七）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理例：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法解：可以在前后两排随意就座，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有 (八)列举法 如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法例9：从到的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于，则不同的取法有 种。解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，为被加数的有种；同理，为被加数的有种；为被加数的有种；为被加数的有种；为被加数的有种；但为被加数的只有种；为被加数的只有种；为被加数的只有种，故不同的区法有：（）（）种。（九）元素可重复的排列求幂法。解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看成“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。例10：名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将名学生看成家“店”，五项冠军看成名“客”，每个客有种住宿方法，由分步计数原理得75种。（十）特征分析法 有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。例11：由、六个数可组成多少个无重复且是的倍数的五位数？解：分析数字的特征：的倍数的数既是的倍数，又是的倍数。其中的倍数又满足“各个数位上的数字之和是的倍数”的特征。而且是的倍数，从个数字中取个，使之和还是的倍数，则所去掉的数字只能是或。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含，即由、作数码；首先从、三个中任选一个作个位数字有 种，然后其余个数字在其他数位上的全排列有 ，所以；第二类，所排的五位数不含6，即由1、2、3、4、5作数码，依上法有，故 种。（十一）名额分配问题用隔板法 例12： 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？ 解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 种方法。 注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。（十二）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例13：15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解：（解法一）先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。 （解法二）先在2号盒和3号盒分别放入一个球和两个球，则问题转化为12个相同的球放入3个盒子内，每个盒子至少放入一个球，有多少种不同的放法？（十三）不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。 例14： 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？ 解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有 种和1、2、2分布有 种，再排列到3个班里有 种，故共有。 注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。 （十四）两类元素的排列，用组合选位法例15：10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？ BA解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有 种跨法。 注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。 例16： 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？ 解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有 或 种走法。 例17： 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？ 解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有 种选法。 注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 （十五）利用对应思想转化法。对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理。例18： 长方体上任意两顶点的连线段中，异面直线共有多少对？分析：任意一对异面直线必然对应四个顶点，而这四个顶点不共面，构成四面体，每个四面体上有3对异面直线，因此把求异面直线的问题转化成求可以构成多少个四面体的问题。解：例19：如图，AOB的两边分别有异于O的4个点A1、A2、A3、A4和5个点B1、B2、B3、B4、B5，连接AiBj（i=1,2,3,4，j=1,2,3,4,5）构成的线段中，有多少个交点在AOB内？OABA1A2A3A4B1B2B3B4B5分析：在AOB内相交的两条线段对应一个四边形的两对角线，所以求交点个数问题转化为求四边形个数问题。解：=60（十六）取鞋问题先双后支例20：从五双鞋中任取四支，恰有一双的取法有多少种？解：先从五双中取一双，有种，再从余下4双中选两双，从每双的两只中选择1支，有。共有种。（十七）涂色问题抓住关键