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公式法学习指导 1代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2 2因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2 3应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。 因式分解公式的结构特征。 1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的结构特征1)公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。2)公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a是完全相同的，即为左边式子中被减数a2的底数，另一项b和-b是互为相反数，即b是左边式子中减数b2的底数。3)要熟记120的数的平方。2、完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2的结构特征.1)公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正号(负号)时右边的两项式中间符号为正(为负),2ab中的“2”是一个固定的常数。 2)公式的右边是两数和或差的平方形式。 3)要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a和b在这里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab，如果是的，才可以分解为两数和或差的平方形式。初学时中间的过渡性步骤不要省掉。 考点讲解 利用因式分解与整式乘法之间的关系，把乘法公式反过来，就是因式分解的公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式，难点是灵活运用公式进行因式分解。 1平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)其特点是：多项式为二项式。两项符号相反。每项都可以化为某数或某式的平方的形式。2完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2。其特点是：多项式为三项式；两项同号且能写成某数或某式的完全平方的形式；另一项是这两项写成的某数或某式的积的2倍，符号可正可负。 3考察运用公式法进行因式分解这部分知识，比较简单的题型是直接运用公式，如：分解因式：x3-8，x2+4x+4，x2-64等；填空：x2+ x+64=(x+ )2，27x3+ =( +2)2(9x2- + )等。比较复杂的题型是几个公式的混合多次运用，如分解因式：a6-b6等，这就要求同学们要掌握每个公式的特点。在应用时应注意：各项有公因式时，应先提因式；熟记120的平方数；完全平方公式有两个，是加是减看中间项符号；立方和（差）公式的结果中，右边第二个因式的中间项的符号与第一个因式第二项的符号相反。例题分析： 例1分解因式：(1)4a2-9b2 (2)-25a2y4+16b16分析：4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可。将两项交换后，这两项式是平方差的形式。解：(1)4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注：为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式。分析：这是个两项式，且两项符号相反16b16=(4b8)2 25a2y4=(5ay2)2那么可将4b8和5ay2看作平方差公式中的a和b即可。解：(2)-25a2y4+16b16=16b16-25a2y4=(4b8)2-(5ay2)2=(4b8+5ay2)(4b8-5ay2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b8)2-(5ay2)2例2分解因式：(1)36b4x8-9c6y10 (2)(x+2y)2-(x-2y)2(3)81x8-y8 (4)(3a+2b)2-(2a+3b)2分析：(1)题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。(2)题的两项式符合平方差公式，x+2y和x-2y分别为公式中的a和b。(3)题也是两项式，9x4和y4是公式中的a和b。(4)题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。解：(1)36b4x8-9c6y10=9(4b4x8-c6y10)=9(2b2x4)2-(c3y5)2=9(2b2x4+c3y5)(2b2x4-c3y5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。(2)(x+2y)2-(x-2y)2=(x+2y)+(x-2y)(x+2y)-(x-2y)=(x+2y+x-2y)(x+2y-x+2y)=(2x)(4y)=8xy注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。(3)81 =(9x4)2-(y4)2=(9x4+y4)(9x4-y4)=(9x4+y4)(3x2)2-(y2)2=(9x4+y4)(3x2+y2)(3x2-y2)=(9x4+y4)(3x2+y2)(3x2-y2)注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x4-y4还可以再用平方差公式分解3x2-y2在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。(4)(3a+2b)2-(2a+3b)2=(3a+2b)+(2a+3b)(3a+2b)-(2a+3b)=(3a+2b+2a+3b)(3a+2b-2a-3b)=(5a+5b)(a-b)=5(a+b)(a-b)注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。例3分解因式：(2m-n)2-121(m+n)2 -4(m+n)2+25(m-2n)2分析：(1)题的第二项应写成11(m+n)2就可以用平方差公式分解，2m-n和11(m+n)为公式中的a和b，(2)题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5(m-2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。解：(1)(2m-n)2-121(m+n)2=(2m-n)2-11(m+n)2=(2m-n)+11(m+n)(2m-n)-11(m+n)=(2m-n+11m+11n)(2m-n-11m-11n)=(13m+10n)(-9m-12n)=-3(13m+10n)(3m+4n)注：(-9m-12n)这项应提取公因式-3(2)-4(m+n)2+25(m-2n)2=25(m-2n)2-4(m+n)2=5(m-2n)2-2(m+n)2=5(m-2n)+2(m+n)5(m-2n)-2(m+n)=(5m-10n+2m+2n)(5m-10n-2m-2n)=(7m-8n)(3m-12n)=3(7m-8n)(m-4n)注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如:-2(m+n)=-2m-2n-2m+2n例4.分解因式: (1) b-ab (2)a4(m+n)-b4(m+n)(3)- 分析：这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分解为止。解：(1)a5b-ab=ab(a4-1)=ab(a2+1)(a2-1)=ab(a2+1)(a+1)(a-1)注：a2+1在有理数范围不能分解，a2-1可以分解。(2)a4(m+n)-b4(m+n)=(m+n)(a4-b4)=(m+n)(a2+b2)(a2-b2)=(m+n)(a2+b2)(a+b)(a-b)(3)- =-(a2-16)=- (a+4)(a-4)注：提取分数公因式-便于后面用公式法分解。例5计算1.222229-1.333324分析:这是数字的计算问题,若按运算顺序一步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法,发现题中的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使计算简化。解：1.222229-1.333324=(1.22223)2-(1.33332)2=(1.22223+1.33332)(1.22223-1.33332)=(3.6666+2.6666)(3.6666-2.6666)=6.33321=6.3332例6分解因式：(1)x(x2-1)-x2+1 (2)(x2+x+2)(x2+x+7)-6分析：(1)可看成二项式：将-x2+1变形为-(x2-1)则可提取公因式(x2-1)再将公因式用平方差公式分解。解：(1)x(x2-1)-x2+1=x(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x-1)=(x+1)(x-1)2分析：(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2与x2+x+7的平均数为x2+x+，故可用换元法解：解：设y= =x2+x+则(x2+x+2)(x2+x+7)-6=(y- )(y+ )-6=y2-6=y2-=(y+ )(y-)=(x2+x+ + )(x2+x+-)=(x2+x+8)(x2+x+1)注：此题也可以展开式子(x2+x)2+9(x2+x)+8再应用十字相乘法进行。例7若(248-1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。分析：首先应分析248-1的特殊形式为平方差，由题意248-1能被两个数整除说明248-1能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248-1进行因式分解。并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。解：248-1=(224)2-12=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1)26+1=65为整数，26-1=63为整数，224+1和212+1都为整数=(224+1)(212+1)(26-1)为整数。=(224+1)(212+1)(26+1)也为整数。248-1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式。将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1的因式，26+1=65，及出现26-1=63。因为23+1=9，23-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。例8求证：任意两个连续整数之积是2的倍数，证明：设这两个连续整数分别为n和n+1则这两个连续整数之积为：n(n+1)(1)如果n为偶数，可设n=2k(k为整数)则n(n+1)=2k(2k+1)=k(2k+1)k为整数，k(2k+1)为整数n(n+1)是2的倍数 (2)如果n为奇数，可设n=2k+1(k为整数)则n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)=(2k+1)(k+1)k为整数，(2k+1)(k+1)也为整数n(n+1)是2的倍数任意两个连续整数之积是2的倍数。注：本题的证明，主要是明确以下几点：(1)连续整数的表示法，注意数之间差为1，(2)2的倍数是什么意思；即被2整除，也就是说除以2所得的商是一个整数。(3)要进行分类讨论，将n分为偶数和奇数来进行讨论。例9、分解因式：(1)x2+6ax+9a2 (2)-x2-4y2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和。这样x和3a就为公式中的a和b了。另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。解：(1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。分析：(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-x2+(2y)2，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。注意提取负号时4xy要变号为-4xy。解：(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-x2-2(x)(2y)+(2y)2=-(x-2y)2分析：(3)题9(a-b)2+1可写成平方和3(a-b) 2+12，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是23(a-b)1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。解：(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=3(a-b)2+23(a-b)1+12=3(a-b)+12=(3a-3b+1)2例10、分解因式：(1)a4x2-4a2x2y+4x2y2(2)(x+y)2-12(x+y)z+36z2 (3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16(4)(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4分析：(1)题有公因式x2应先提取出来，剩余因式(a4-4a2y+4y2)正好是(a2-2y)2解：(1)a4x2-4a2x2y+4x2y2=x2(a4-4a2y+4y2)=x2(a2)2-2(a2)(2y)+(2y)2=x2(a2-2y)2分析：(2)中可将(x+y)看作一个整体，那么这个多项式就相当于(x+y)的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和b分别为(x+y)和(6z)，中间项-2ab为-2(x+y)(6z)，正好适合完全平方公式。解：(x+y)2-12(x+y)z+36z2=(x+y)2-2(x+y)(6z)+(6z)2=(x+y-6z)2注：此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项(或一部分)作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。如此题中将(x+y)代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。分析：(3)的题型与(2)题相同，只不过公式中的a和b为x2+4x和4，分解为(x2+4x+4)2后再将x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。解：(x2+4x)2+8(x2+4x)+16=(x2+4x)2+2(x2+4x)4+42=(x2+4x+4)2=(x+2)22=(x+2)4分析：(4)题把x2-2y2和y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。注意分解到不能分解为止。解：(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4=(x2-2y2)2-4(x2-2y2)y2+4y4=(x2-2y2)2-2(x2-2y2)(2y2)+(2y2)2=(x2-2y2-2y2)2=(x2-4y2)2=(x+2y)(x-2y)2=(x+2y)2(x-2y)2例11、分解因式：(1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2(2)3a4-6a2+3()an+1+an-1-2an (4)(m2+n2+1)2-4m2n2分析：(1)题中的9(a-b)2=3(a-b)2，4(a+b)2=2(a+b)2而中间项12(a2-b2)=12(a+b)(a-b)=23(a-b)2(a+b)正好是公式中的2ab项。解：(1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+)23(a-b)2+12(a+b)(a-b)+2(a+b)2=3(a-b)2+23(a-b)2(a+b)+2(a+b)2=3(a-b)+2(a+b)2=(3a-3b+2a+2b)2=(5a-b)2分析：(2)此题的三项式可看作a2的二次三项式,且应先提取公因式3，再用公式进行分解。解：(2)3a4-6a2+3=3(a4-2a2+1)=3(a2-1)2=3(a+1)(a-1)2=3(a+1)2(a-1)2注：应用完全平方公式后注意再将因式a2-1再用平方差公式分解。注意用积的乘方法则。分析：(3)题有公因式an-1，先提取公因式再用公式。注意先按降幂排列好顺序。解：(3)an+1+an-1-2an=an+1-2an+an-1=an-1(a2-2a+1)=an-1(a-1)2分析：(4)题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。解：(4)(m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=(m2+2mn+n2)-1(m2-2mn+n2)-1=(m+n)2-12(m-n)2-12=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例12：分解因式：(m2-1)(n2-1)+4mn.分析：将(m2-1)(n2-1)展开得m2n2-m2-n2+1=(m2n2+1)-(n2+m2)可将m2n2+1与n2+m2均配成完全平方则可用平方差公式分解。解：(m2-1)(n2-1)+4mn=(m2n2-m2-n2+1)+4mn=(m2n2+1)-(n2+m2)+4mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+1+m-n)(mn+1-m+n)测试A组1、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）。(A)(y-x)2=(x-y)2 (B)-a-b=-(a+b)(C)(a-b)3=-(b-a)3 D)-m+n=-(m+n)2、下列各式是完全平方式的是（ ）。（A）x2+2xy+4y2 （B）25a2+10ab+b2 （C）p2+pq+q2 （D）m2-2mn+n23、(x+y)2+6(x+y)+9的分解结果为（A）、(x+y-3) 2 （B）、(x+y+3) 2 （C）、(x-y+3) 2 （D）、(x-y-3)24、-1+0.09x2分解因式的结果是（ ）。（A）（-1+0.3x）2 （B）(0.3x+1)(0.3x-1)/(C)不能进行 （D）(0.09x+1)(0.09x-1).5、49a2-112ab2+64b4因式分解为（ ）（A）(7a-8b) 2 （B）(7a-8b2)(7a+8b2) （C）(7a-8b2) 2 （D）(7a+8b2)2B组1、（-2）2000+（-2）1999分解因式后是（ ）（A）-2 （B） （-2）1999 （C）（-2）2000 （D）219992、已知多项式x2-2x+k中有因式x-1,则k值为（ ）（A）-3 （B）1 （C）-1 （D）不能确定A组答案：1、D 2、B 3、B 4、B 5、CB组答案：1、（D） 2、（B）解：（1）用直接法（-2）2000+（-2）1999=（-2）1999（-2）+1=（-1）199921999（-1）=（-1）200021999=21999故本题应选（D）。考题例析1（贵阳市）因式分解：x2-4y2= . 考点：公式法因式分解 评析：要正确使用公式，注意先将多项式转化为公式并分解，即x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y)。2（长沙市）分解因式：ma2+2ma+m= . 考点：提公因式，公式法分解因式。 评析：对于三项式的因式分解，首先观察有无公因式，提出公因式后，再观察是否符合完全平方公式或十字相乘法，直至不能再分解为止。 答案：m(a+1)2 3（河北省）分解因式：=_。 考点：提公因式、公式法因式分解 评析：思路先提出公因式2xy，剩下的是符合完全平方公式的二次三项式，然后利用完全平方公式可分解彻底。 答案：2xy(x+2y)2 4（北京市东城区）分解因式：2a3b+8a2b2+8ab3=_; 考点：公式法分解因式评析：因多项式是三项多项式，所以若有公因式先提公因式，剩余的三项可用完全平方公式或十字相乘法分解，此题用完全平方公式法分解。答案： 2ab(a+2b)2 5.（辽宁）方程2x(x-3)=5(x-3)的根为（）A、x=; B、x=3; C、x1=3,x2= ; D、x=-考点：因式分解，解方程评析：此题是一道解一元二次方程的问题，在解方程的过程中，如果用因式分解来解的话，会很容易求出解的。具体步骤如下：解：因为2x(x-3)=5(x-3)所以2x(x-3)-5(x-3)=0即(x-3)(2x-5)=0解得：x1=3，x2=答案：C真题实战1（苏州市）分解因式：ma2-4ma+4m=。答案：m(a-2)22（扬州市）分解因式： 。答案：x3(x+1)(x-1)3（石家庄市）等式成立的条件是 。答案：a=0或b=04（山西省）下列各式中，正确的是（）Aa2+2ab+4b2=(a+2b)2 B(0.1)-1+(0.1)0CDa3+b3=(a+b)(a2+ab+b2)答案：C5（昆明）x2-x+_=(x-)2。答案：6（石家庄）分解因式：a2+4b2-4ab-c2=_.解：a2+4b2-4ab-c2=(a-2b)2-c2=(a-2b+c)(a-2b-c)答：应填(a-2b+c)(a-2b-c)7（河北省）选择题：分解因式x4-1的结果为（）A、(x2-1)(x2+1) B、(x+1)2(x-1)2C、(x-1)(x+1)(x2+1) D、(x-1)(x+1)3答：应选C8（安徽）分解因式：x2-4=_答案：(x+2)(x-2)9（福州）分解因式：x2-4y2=_答案：(x-2y)(x+2y)立方和立方差公式是旧教材中的必学内容，但新教材已经将这两个公式删去，现我们做简单的讲解，让同学们对立方和差公式有所了解！内容：立方和与立方差公式：(ab)(a2abb2)a3+b3(ab)(a2abb2)a3-b3把这两式反过来，就得到a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)其特点是：等号左边是两数的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积，三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反。运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式。例1把下列多项式分解因式（1）a38；（2）278y3解：（1）a38=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）278y3=33-(2y)3=(3-2y)(32+6y+(2y)2)=(3-2y)(9+6y+4y2)例2.（1999福建）x4-xy3=_. 答案： x4-xy3=x(x3-y3)=x(x-y)(x2+xy+y2)评析思路：先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择因式分解的方法，此题根据题目的特点，首先要采用提公因式法，然后利用公式法进行最后分解。小结：运用立方和公式与立方差公式分解因式，一定要记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了。初学因式分解的几个问题因式分解是初二代数中的重要内容，并且它的内容贯穿在整个中学数学教材之中，学习它，既可以培养同学们的观察能力、运算能力，又可以提高同学们综合分析问题、解决问题的能力。转化是本章最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的。本专题重要讲解两个内容，一是因式风解的几点注意事项，二是因式分解的应用。 一、注意事项： 1、因式分解与整式乘法互为逆运算2在提公因式时，若各项系数都是整数，所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。 3如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 4有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，例如：-a-b+c=-(a+b-c)；又如：当n为自然数时，(a-b)2n=(b-a)2n; (a-b)2n-1=-(b-a)2n-1，都是在因式分解过程中常用到的因式变换。 5能运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解的多项式，必须是二项式或视作二项式的多项式，且这二项的符号相反，a、b可表示数，亦可表示字母或代数式，每项都能写成数（或式）的完全平方的形式。 5能运用完全平方公式a22ab+b2=(ab)2分解的多项式，必须是三项式或视作三项式的多项式，且其中两项符号相同并都能写成数（或式）的完全平方形式，而余下的一项是这两个数（或式）的乘积的2倍。如果三项中的两个完全平方项都带有负号，则应先提出负号，再运用完全平方公式分解因式。 例1、把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a22ab+b2-4)=-(a2-2ab+b2)-4=-(a-b)2-4=-(ab+2)(ab2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的，以免出错。 例2、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n 解：（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n=（a+b）n(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b)n(a+b-1)2 本题先运用提取公因式，然后运用完全平方公式 例3、分解因式：x48x2+16解：x4-8x2+16=(x2-4)2=(x+2)(x-2)2=(x+2)2(x-2)2 本题注意分解彻底，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 二、因式分解的应用： 将式子化为若干个因式的乘积，这种转换往往能使复杂的运算展开，转换为一次因式中的简单加减运算，从而大大减化运算过程，这是等价转换的数学思想方法。例1计算：(1) ;(2);(3)2022-542+256352; (4)6212-769373-1482.分析：此题中有1812-612，3192-2092；17.52-9.52, 131.52-3.52; 2022-542; 6212-1482.使我们考虑到多项式的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.它的逆变形是 a2-b2=(a+b)(a-b)应用上述变形式，我们就可以将较为复杂的平方运算，降价转化为简单的加、减运算和乘法运算。解：(1) = = =.(2) = = =.(3) 2022-542+256352=(202+54)(202-54)+256352=256148+256352=256(148+352)=256500=128000.(4)6212-769373-1482.=(621+148)(621-148)-769373=769473-769373=769(473-373)=769100=76900.通过例1，我们不难得出解此类题目的方法：（1）逆用平方差公式，化平方运算为乘法运算；（2）约分化简或提取因数结合运算求值。同时，例1也反映出分解因式的方法，在简化运算时的重要性。例2求证：(1) 710-79-78=7841; (2) 109+108+107=5106222; (3) 257-512能被120整除； (4)817-279-913能被45整除分析：根据乘法的分配律、对多项式运算有 m(a+b+c)=ma+mb+mc,反过来，我们可以得到 ma+mb+mc=m(a+b+c).应用上述结论，能够恰到好处的达到降低次数，解决本例问题的目的。解：(1) 710-79-78=78(72-7-1) =78(49-8)=7841,710-79-78=7841.(2) 109+108+107=107(102+10+1) =107(100+11)=10610111 =5106222109+108+107=5106222.(3)257-512=(52)7-512=514-512=511(53-5)=511(125-5)=511120,257-512能被120整除；(4)817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13=328-327-326=324(34-33-32)=324(81-27-9)=32445,817-279-913能被45整除.通过例2，我们可以看出，解决此类整除问题的主要思路是：（1）提取适当的因数；（2）将提取因数后的其他数的代数和化简，得到我们能够说明问题的结论，从而解决问题。例3已知a= , b=, 求(a+b)2-(a-b)2的值。解：(a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b=4ab,(a+b)2-(a-b)2=4 =.例4解方程：(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78).解：(1)逆用平方差公式，把原方程化为其等价形式(65x+63)-(65x-63)(65x+63)+(65x-63)=260,即126130x=260, x=.(2)原方程可化为 (78x+77)(77x-78)-(78x+77)(77x+78)=0,即-782(78x+77)=0,78x+77=0, x=-.通过例4可见，应用等价转化思想来因式分解，往往可以将较高次的方程，巧妙转化为最简方程，从而求出方程的根。例5（248-1）可以被60与70之间的两个数整除，这两个数是（ ）A、61,63 B、61,65 C、63,65 D、63,67解：248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1), 26+1=65, 26-1=63. 应选C。例题分析第一阶梯例1：把x2-7x+6分解因式提示这个二次三项式的二次项系数是1，常数项是正数，怎样分解因式？因为二次项系数是1，常数项是6，而6可以分解为两个同号的因数，即：6=16=（-1）（-6）=23=（-2）（-3）要使它们的代数和等于-7，只需取-1、-6即可。参考答案x2-7x+6=(x-1)(x-6)说明： 二次项系数是1，常数项是正数的某些二次三项式分解时，先把二次三项式的常数项分解成两个同号的因数，选择其中的一对因数，使它们的代数和等于二次三项式的一次项系数，再把二次三项式写成两个一次因式积的形式。例2：把x4+7x2-30分解因式提示 这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y2+7y-30。这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了。这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法。参考答案 设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30 y2+7y-30=(y+10)(y-3) x4+7x2-30=(x2+y)(x2-3)说明通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略。 x4+7x2-30 =(x2)2+7x2-30 =(x2+10)(x2-3)例3：x2-8xy-48y2提示这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式。参考答案x2-8xy-48y2=(x-12y)(x+4y)说明如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果。例4：分解因式：2x2-7x+3提示题目是关于x的二次三项式，但二次三项式的系数不是1，所以要经过更复杂和严密的列系数表的挑选过程。参考答案2x2-7x+3=(2x-1)(x-3)说明：二次三项式的分解是否正确是容易检验的，所以应该养成随时用多项式的乘法验算的习惯，以保证分解结果的正确。第二阶梯例1：把(a2+a)2-14(a2+a)+24分解因式提示题目中的多项式有什么特点？含有字母的项可以作什么变换？参考答案 令a2+a=u则原式变为u2-14u+24说明：换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法。换元的步骤可以不写出来。例2：把(3x+2)(x-5)+2(4x-9)分解因式提示此题中不存在直接作分解的可能，只能先作乘法，写成多项式的形式再考虑分解的方案。参考答案 原式整理为： 说明：乘法与因式分解是方向相反的变形，在这里起到了促进分解的作用。解题中要注意灵活运用。例3：把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式提示：这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法