矩阵及字符串运算.doc

三 MATLAB矩阵及运算3.1 MATLAB矩阵的生成和修改3.1.1 矩阵的生成1. 直接输入数据当需要输入的矩阵维数比较小时，可以直接输入数据建立矩阵。矩阵数据（或矩阵元素）的输入格式如下：（1）输入矩阵时要以“ ”作为首尾符号，矩阵的数据应放在 “ ”内部，此时MATLAB才能将其识别为矩阵；（2）要逐行输入矩阵的数据，同行数据之间可由空格或“,”分隔，行与行之间可用“;”或回车符分隔；（3）矩阵数据可为运算表达式；（4）矩阵大小可不预先定义；（5）如果不想显示输入的矩阵（作为中间结果），可以在矩阵输入完成后以“;”结束；（6）无任何元素的空矩阵也合法。【例3.1】 a=1 2 5 和 a=1,2,5 为同一矩阵； b=3;2;5 和 b=3 2 5 为同一矩阵。【例3.2】 建立矩阵并显示结果。 X=1,2,3;4,5,6;7,8,3*3X = 1 2 3 4 5 6 7 8 92. 由矩阵编辑器生成MATLAB提供了一个矩阵编辑器，用户可以用来创建和修改比较大的矩阵。在使用矩阵编辑器之前，需要预先定义一个变量（任意的），如上例3.1所示的33矩阵X。接下来，按下列步骤进行操作：（1）选中所定义的变量，打开矩阵编辑器，如图3.1所示；（2）将文本框size中的数据3 by 3改变成欲生成矩阵的行数和列数，回车后就能看到窗口中矩阵的维数立刻发生改变； 图 3.1（3）在窗口中矩阵元素的位置上输入或修改数据，回车后自动提示输入下一行矩阵元素的数据，矩阵元素的输入顺序是按列自动进行的； 图 3.2（4）输入完成后，关闭编辑器，变量X就定义保存好了。3. 由函数自动生成MATLAB提供了一些生成矩阵的函数，用户可以方便地用他们建立自己所需要的矩阵。（1）向量、行矩阵、列矩阵的自动生成用“起始值:增量值:终止值”的格式自动生成等差数列。【例3.3】 x=(1:1:10)% 表示“起始值:增量值:终止值”，增量为1时可表示成 “起始值:终止值”，即 x=(1:10) 或 x=1:10。x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x=1:1:10x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I=1:15I = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15用“linspace（起始值:终止值:元素数目）”的格式自动生成等差数列；用“logspace（起始值:终止值:元素数目）”的格式自动生成对数等分数列。【例3.4】 y=linspace(30,50,11)y = 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50列矩阵的生成格式如下：【例3.5】 x=(1:1:10); y=linspace(90,95,6)y = 90 91 92 93 94 95（2）其它矩阵的自动生成MATLAB提供了许多特殊矩阵的生成函数，如零矩阵zeros(m,n)，全部元素为1的矩阵ones(m,n)，单位矩阵eye(n)，随机矩阵rand(m,n)和魔方矩阵magic(n)等，利用这些矩阵可以生成所需要的矩阵。【例3.6】 特殊矩阵的生成。 a=% 定义空矩阵，即00矩阵。a = zeros(2,2);% 定义全为0的矩阵（2 2的阵列）。ones(3,3);% 定义全为1的矩阵（3 3的阵列）。rand(2,6)% 定义随机矩阵（2 6的矩阵）。ans = 0.2259 0.7604 0.6405 0.3798 0.6808 0.5678 0.5798 0.5298 0.2091 0.7833 0.4611 0.7942 rand(2,6)% 第二次运行结果。ans = 0.9501 0.6068 0.8913 0.4565 0.8214 0.6154 0.2311 0.4860 0.7621 0.0185 0.4447 0.7919 magic(4)ans = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 13.1.2 矩阵的修改1. 矩阵元素的修改欲修改矩阵中某个元素的数值，应该先确定该元素的位置，再用赋值语句来实现。根据矩阵的行列数和元素在矩阵中的存储顺序，可以确定出欲修改元素的位置。【例3.7】 根据元素在矩阵中的存储顺序来确定矩阵元素的位置，再对元素的数值进行修改。a = 1 2 3 4 5 6 7 8;% 定义一维1x8 阵列，表示了8个元素，每个向量由一个分量构成。x= 1 2 3 4 5 6 7 8;4 5 6 7 8 9 10 11;% 定义28 矩阵，以分号“ ; ”隔离各列元素，该矩阵表示了每个向量由2个分量构成的8个向量的多维空间 x(3) % 找出 x的第三个元素，即该矩阵的元素（1，2）。ans = 2 x(1 2 5) % 找出x的第一、二、五个元素，即2 8矩阵中的元%素(1，1)、(2，1)和(1，3)。ans = 1 4 3 x(1:5) % 找出 x的前五个元素即第1个到第五个元素。ans = 1 4 2 5 3 x(10:end) % x的第十个元素后的元素，包括第10个元素。ans = 8 6 9 7 10 8 11 x(10:-1:2)% x的第十个元素和第二个元素的倒排。括号中用“:”隔开的3个参数的含义是：第一个参数表示起始的元素序号，第二个参数表示递增或递减（-）的元素数，第三个参数表示终止元素序号。ans = 8 5 7 4 6 3 5 2 4 x(find(x=10) % 找出在x大于等于10的元素，也表达为x(x=10)。ans = 10 11 x(4) = 100% 给x的第四个元素重新赋值x = 1 2 3 4 5 6 7 8 4 100 6 7 8 9 10 11 x(3) = % 删除第三个元素，注意矩阵变成了115矩阵。x = 1 4 100 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 x(16) = 99% 添加一个元素（加入第十六个元素）。x = 1 4 100 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 99在MATLAB的内部数据结构中，每一个矩阵都是一个以纵列为主（Column-oriented）的阵列（Array）因此，对于矩阵元素的存取，我们可用一维或二维的索引（Index）来定址。【例3.8】 根据矩阵行列数来确定矩阵元素的位置，再对元素的数值进行修改。 z=rand(2,5)z = 0.6299 0.5751 0.0439 0.3127 0.3840 0.3705 0.4514 0.0272 0.0129 0.6831 z(2,3)ans = 0.0272 z(2,3)=0z = 0.6299 0.5751 0.0439 0.3127 0.3840 0.3705 0.4514 0 0.0129 0.68312. 矩阵行列的修改A（m，n）表示矩阵第m行第n列的元素，中间有“,”将行和列分开。若要同时表示更多的矩阵元素，可以采用下列表示方法：A(I,:)表示矩阵A第I行全部的元素；A(:,J)表示矩阵A第J列全部的元素；A(1,3,2,4)表示矩阵A第1行、第3行与第2列、第4列交叉处的元素；A(1:3,2:4)表示矩阵A第1行到第3行与第2列到第4列交叉处的元素，也可以写成另外两种形式： A(1:3),(2:4) 和 A(1:3,2:4) 。有了矩阵多个元素的表示方法，就可以方便地进行矩阵行和列的修改。【例3.9】 矩阵行列的修改。 a=rand(4,5)a = 0.0928 0.0158 0.0576 0.6927 0.3533 0.0353 0.0164 0.3676 0.0841 0.1536 0.6124 0.1901 0.6315 0.4544 0.6756 0.6085 0.5869 0.7176 0.4418 0.6992 a(2,:)ans = 0.0353 0.0164 0.3676 0.0841 0.1536 a(1:3,2:4)=0a = 0.0928 0 0 0 0.3533 0.0353 0 0 0 0.1536 0.6124 0 0 0 0.6756 0.6085 0.5869 0.7176 0.4418 0.6992 a(1,3,2,4)=1a = 0.0928 1.0000 0 1.0000 0.3533 0.0353 0 0 0 0.1536 0.6124 1.0000 0 1.0000 0.6756 0.6085 0.5869 0.7176 0.4418 0.6992 a(4,:)= % 删除一行元素（第4行）。a = 0.0928 1.0000 0 1.0000 0.3533 0.0353 0 0 0 0.1536 0.6124 1.0000 0 1.0000 0.6756 a(:,6)=10;20;30 % 增加一列元素（第6列）。a = 0.0928 1.0000 0 1.0000 0.3533 10.0000 0.0353 0 0 0 0.1536 20.0000 0.6124 1.0000 0 1.0000 0.6756 30.00003. 子矩阵可以由一个矩阵抽取生成一个子矩阵，或者由几个子矩阵组合生成一个新矩阵。【例3.10】 矩阵抽取生成子矩阵，子矩阵组合生成新矩阵。 a=rand(2,3)a = 0.8928 0.2548 0.2324 0.2731 0.8656 0.8049 b=ones(2,5)b = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c=magic(5)c = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 x=a, bx = 0.8928 0.2548 0.2324 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2731 0.8656 0.8049 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 d=c(2,2:4)d = 5 7 14 y=a; dy = 0.8928 0.2548 0.2324 0.2731 0.8656 0.8049 5.0000 7.0000 14.00003.2 MATLAB矩阵的保存与提取在数值计算过程中，经常有大量的矩阵需要保存和再次使用时提取，因此有必要把数据保存于文件中。在MATLAB中可以使用mat文件来保存二进制的数据。具体步骤如下：（1）保存矩阵。如果A，B矩阵都已存在，用save命令保存，具体格式如下： save myfilename A B注意： myfilename是用户自定义的文件名，MATLAB系统会自动地加上后缀mat。系统默认的路径是MATLAB6p5work。如果用户想要改变路径，可以在文件名前加上路径。（2）提取矩阵。在重新启动MATLAB后，用load命令可以将保存在文件中的矩阵读到MATLAB工作区的内存中来。load myfilenameload命令中不指定变量名，系统仍然将A，B作为矩阵的名称来使用。对矩阵的保存与提取，用户也可以在工作空间窗口中使用保存与打开两个按钮来操作，在概述中已介绍过。3.3 MATLAB的向量运算向量就是一维矩阵（行矩阵或列矩阵），并按照矢量运算的规则进行运算。但应注意，在一些场合，向量仅仅是指一维矩阵或矩阵的某一列。本节对向量的基本运算作简单介绍。3.3.1 加减及与数加减【例3.11】向量的加减及与数加减。 a=1,3,5,7,9,11,b=2,4,6,8,10,12a = 1 3 5 7 9 11b = 2 4 6 8 10 12 c=a+bc = 3 7 11 15 19 23 d=a-1d = 0 2 4 6 8 103.3.2 数乘【例3.12】向量的数乘。 a, b向量同上例。 3*bans = 6 12 18 24 30 363.3.3 点积、叉积及混合积1. 点积计算在高等数学中，向量的点积是指两个向量在其中某一个向量方向上的投影的乘积，在MATLAB中，向量的点积可由函数dot来实现。dot(a，b)返回向量a和b的数量点积。a和b必须同维。当a和b都为列向量时，dot(a，b) 同于a*b；dot(a，b，dim)返回a和b在维数为dim的点积。【例3.13】试计算向量a=(1，2，3)和向量b=(3，4，5)的点积。a=1 2 3；b=3 4 5；dot(a，b) ans= 26 还可以用另一种方法计算向量的点积。 sum(a.*b) ans= 26或 a*(b)2. 叉积计算在数学上，向量的叉积表示过两相交向量的交点、垂直于两向量所在平面的向量。在MATLAB中，向量的叉积由函数cross来实现。c=cross(a，b)返回向量a和b的叉积向量c=ab。a和b必须为三维向量。c=cross(a，b，dim)当a和b为n维数组时，则返回a和b的dim维向量的叉积。a和b必须有相同的维数，且size(a，dim)和size(b，dim)必须为3。（略）【例3.14】计算垂直于向量a=(5，2，3)和b=(3，4，5)的向量。 a=5 2 3;b=3 4 5; c=cross(a,b)c = -2 -16 143. 混合积计算在MATLAB中，向量的混合积由以上两个函数实现。【例3.15】计算上例中向量a，b，c的混合积。 dot(a,cross(b,c)ans = 456注意函数的顺序不可颠倒，否则将会出现错误。3.4 MATLAB的矩阵运算矩阵运算是MATLAB语言最重要和最具有特色的内容之一，是编程进行科学计算的重要基础。矩阵的运算包括矩阵的基本数学运算和矩阵的函数运算。3.4.1 矩阵的基本运算矩阵的基本数学运算包括矩阵的算术运算、与常数的运算、转置运算、逆运算、行列式运算、幂运算等。1. 算术运算矩阵的算术运算是指矩阵之间的加、减、乘、除、幂等运算，表3.1给出了矩阵算术运算对应的运算符和MATLAB表达式。表3.1 经典的算术运算符经 典 的 算 术 运 算 符名称运算符MATLAB表达式加+a+b减-a-b乘*a*b除/ 或 a/b或ab幂an矩阵进行加减运算时，相加减的矩阵必须是同阶的；矩阵进行乘法运算时，相乘的矩阵要有相邻公共维，即若A为ij阶，则B必须为jk阶，此时A和B才可以相乘。常数与矩阵的运算，是常数同矩阵的各元素之间进行运算，如数加是指矩阵的每个元素都加上此常数，数乘是指矩阵的每个元素都与此常数相乘。需要注意的是，当进行数除时，常数通常只能做除数。在线性代数中，矩阵没有除法运算，只有逆矩阵。矩阵除法运算是MATLAB从逆矩阵的概念引申而来，主要用于解线性方程组。方程A*X=B，设X为未知矩阵，在等式两边同时左乘inv（A），即inv（A）*A*X= inv（A）*BX= inv（A）*B=AB把A的逆矩阵左乘以B，MATLAB就记为A，称之为“左除”。A、B两矩阵的行数必须相等。如果方程的未知数矩阵在左，系数矩阵在右，即*，同样有*inv（A）=B/A把A的逆矩阵右乘以B，MATLAB就记为/A，称之为“右除”。A、B两矩阵的列数必须相等。【例3.16】 已知A*X=B，Y*C=D，A=1,2;3,4，B=4;10，C=1,3;2,4，D=4,10 ，计算未知数矩阵X和Y。 a=1,2;3,4;b=4;10;c=1,3;2,4;d=4,10; x=abx = 2.0000 1.0000 y=d/cy = 2.0000 1.0000在MATLAB中，进行矩阵的幂运算时，矩阵可以作为底数，指数是标量，矩阵必须是方阵；矩阵也可以作为指数，底数是标量，矩阵也必须是方阵；但矩阵和指数不能同时为矩阵，否则将显示错误信息。【例3.17】 矩阵的幂运算。 aa = 1 2 3 4 a2% n为正整数，an表示矩阵a自乘n次。ans = 7 10 15 22 a(-2) % n为负整数，an表示矩阵a自乘n次的逆。ans = 5.5000 -2.5000 -3.7500 1.7500 inv(a2)ans = 5.5000 -2.5000 -3.7500 1.7500 2a （略）ans = 10.4827 14.1519 21.2278 31.7106 2.aans = 2 4 8 162. 转置运算在MATLAB中，矩阵转置运算的表达式和线性代数一样，即对于矩阵，其转置矩阵的MATLAB表达式为。但应该注意，在MATLAB中，有几种类似于转置运算的矩阵元素变换运算是线性代数中没有的，他们是：fliplr(X) 将X左右翻转；flipud(X) 将X上下翻转；rot90(A) 将A逆时针方向旋转90。3. 逆矩阵运算矩阵的逆运算是矩阵运算中很重要的一种运算。它在线性代数及计算方法中都有很多的论述，而在MATLAB中，众多的复杂理论只变成了一个简单的命令inv。【例3.18】 矩阵的逆运算。 aa = 10 2 12 34 2 4 98 34 6 inv(a)ans = -0.0116 0.0372 -0.0015 0.0176 -0.1047 0.0345 0.0901 -0.0135 -0.00454. 行列式和秩运算矩阵的行列式的值由det函数计算得出；矩阵的秩由rank函数来计算。【例3.19】 计算矩阵行列式的值和矩阵的秩。 A = 1 1 5 2 2 5 3 3 5 rank(A)ans = 2 det(A)ans = 03.4.2 矩阵的函数运算(略)矩阵的函数运算包括基本的数学函数运算、矩阵专门的函数运算以及矩阵的分解运算等内容。1. 数学函数运算(略)在MATLAB中，指数函数expm、对数函数logm、开方函数sqrtm是把矩阵作为一个整体进行运算的，即所谓的矩阵运算；其它数学函数都是对矩阵的元素分别进行运算的，即所谓的阵列运算。因此，MATLAB基本函数库中的大部分常用函数都适合于阵列运算，此时矩阵可以是任意阶。【例3.20】 e=eye(2)； logm(e)ans = 0 0 0 0 e=ones(2)； expm(e)ans = 4.1945 3.1945 3.1945 4.1945 sqrtm(e)ans = 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 a=0,pi/6,pi/3,pi/2； b=-1,0,1； sin(a)ans = 0 0.5000 0.8660 1.0000 exp(b)ans = 0.3679 1.0000 2.7183 sign(a)ans = 0 1 1 1 mean(b)ans = 0在实际运算中，对其他常用函数的矩阵运算，如三角函数运算和双曲函数运算等，可以采用通用函数形式。在MATLAB中使用通用函数的格式为funm(A,funname)，其中A为输入矩阵变量，funname为调用的函数名。如funm(b,log)等同于1ogm(b)，funm(b,sqrt)等同于sqrtm(b)，而funm(b,sin) ，其作用等同于矩阵b的正弦运算。【例3.21】 e=ones(2);funm(e,sin)ans = 0.4546 0.4546 0.4546 0.4546 sin(e)ans = 0.8415 0.8415 0.8415 0.84152. 矩阵函数运算(略)矩阵函数的运算主要包括特征值的计算，奇异值的计算，条件数、各类范数、矩阵迹的计算和矩阵的空间运算等。这里只介绍部分常用的矩阵函数。表3.2常用的矩阵函数命令函数名称功能简介cond(A)矩阵A的条件数det(A)方阵A的行列式值dot(A，B)矩阵A，B的点积eig(A)方阵A的特征值和特征向量norm(A，1)矩阵A的1-范数norm(A)或norm(A，2)矩阵A的2-范数norm(A，inf)矩阵A的无穷大-范数norm(A，fro)矩阵A的F-范数rank(A)矩阵A的秩rcond(A)矩阵A的倒条件数svd(A)矩阵A的奇异值分解trace(A)矩阵A的迹expm(A)矩阵的指数eAexpml(A)用Pade法求矩阵的指数eAexpm2(A)用Taylor级数求矩阵的指数eA，精度差，对任何矩阵都适用expm3(A)用特征值和特征向量求矩阵的指数eA，仅当独立特征向量个数等于矩阵秩时适用logm(A)求矩阵A的对数sqrtm(A)求矩阵的平方根funm(A，fun)一般的方阵函数（1）求矩阵的维数和长度的函数（了解）【例3.22】 a=10,2,12;34,2,4;98,34,6; size(a) % 求矩阵的维数 (columns & rows)。ans =3 3 length(a) % 求矩阵的长度，矩阵的长度用向量(或columns)数定义。ans = 3注意size(a)与length(a)两者之间的区别。（2）特征值函数（了解）矩阵的特征值可以由两个函数eig和eigs计算得出。其中函数eig可以给出特征值和特征向量的值，而函数eigs则是使用迭代法求解特征值和特征向量的函数。 【例3.23】 a=10,2,12;34,2,4;98,34,6; v,d=eig(a) % 产生矩阵a的特征值d和特征向量v。v = -0.2960 -0.3635 0.3600 -0.2925 0.4128 -0.7886 -0.9093 0.8352 -0.4985d = 48.8395 0 0 0 -19.8451 0 0 0 -10.9943（3）矩阵的范数（略）【例3.24】 a=10,2,12;34,2,4;98,34,6; norm(a)ans = 109.5895 norm(a,1)ans = 142 norm(a,inf)ans = 138（4）矩阵的条件数（略）【例3.25】 a=ones(5)+i*eye(5);cond(a)ans = 5.09903. 矩阵分解运算(略)矩阵分解运算在矩阵运算中具有重要的地位。在用矩阵法求解线性方程组时，就要用到矩阵的分解运算。表3.3基本的矩阵分解函数函数指令功能简介cdf2rdf(V，D)复数对角形转换成实数块对角形chol(A)矩阵A的Cholesky分解eig(A)矩阵A的特征值分解Hess(A)矩阵A的Hessenberg形式LU(A)矩阵A的LU分解null(A)由奇异值分解得出的矩阵A的零空间的标准正交基orth(A)矩阵A行向量的标准正交基pinv(A)求矩阵A的伪逆qr(A)矩阵A的QR正交三角分解qz(A)矩阵A的QZ分解，用于广义特征值rref(A)将矩阵A转换为逐行递减的阶梯阵rsf2csf(V，D)实数块对角形转换成复数对角形schur(A)矩阵A的Schur分解subspace(A，B)计算由A,B张成的子空间的夹角svd(A)方阵A的奇异值分解（1）矩阵的LU分解（略）矩阵LU分解即矩阵的三角分解：A=LU，用于线性方程组的求解。在MATLAB中，LU分解由lu函数实现。【例3.26】求A*X=B的解。A=5,-2,1;1,5,-3;2,1,-5,B=4;2;-11。 L,U=lu(A)L = 1.0000 0 0 0.2000 1.0000 0 0.4000 0.3333 1.0000U = 5.0000 -2.0000 1.0000 0 5.4000 -3.2000 0 0 -4.3333 X=U(LB)X = 1.0000 2.0000 3.0000（2）矩阵的Chol分解（略）如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个非奇异下三角实矩阵L，使得A=LLT。当限定L的对角元素为正时，这种分解值是惟一的，称为Chollesky分解。在MATLAB中，这种分解由函数chol实现。【例3.27】a=4,-1,1;-1,4.25,2.75;1 2.75,3.5; L=chol(a)L = 2.0000 -0.5000 0.5000 0 2.0000 1.5000 0 0 1.0000（3）矩阵的QR分解（略）矩阵的QR分解即矩阵的正交分解。在求解矩阵的特征值时，实阵A可以写成A=QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵。若规定R的对角元为正数，则分解惟一。在MATLAB中，QR分解由qr函数实现。【例3.28】 a = 10 2 12 34 2 4 98 34 6 Q,R=qr(a)Q = -0.0960 -0.1232 -0.9877 -0.3263 -0.9336 0.1482 -0.9404 0.3365 0.0494R = -104.2113 -32.8179 -8.0989 0 9.3265 -3.1941 0 0 -10.9638（4）矩阵的奇异值分解（略）矩阵的奇异值分解可由函数svd实现。调用形式为：U,S,V=svd(X)，生成的U,S和V使得X=U SV。【例3.29】a = 10 2 12 34 2 4 98 34 6 u,s,v=svd(a)u = -0.1003 0.8857 0.4532 -0.3031 0.4066 -0.8618 -0.9477 -0.2239 0.2277s = 109.5895 0 0 0 12.0373 0 0 0 8.0778v = -0.9506 0.0619 -0.3041 -0.3014 -0.4176 0.8572 -0.0739 0.9065 0.41563.5 MATLAB的阵列运算MATLAB的运算是以阵列 (array) 运算和矩阵 (matrix) 运算两种方式进行的，而两者在MATLAB的基本运算性质上有所不同：阵列运算采用的是元素对元素的运算规则，而矩阵运算则是采用线性代数的运算规则。因此，在一些文献中阵列运算被称为数组运算或元素群运算。阵列的运算包括基本运算和函数运算两种形式。3.5.1 阵列的基本运算在MATLAB中，阵列的基本运算采用扩展的算术运算符。表3.4扩展的算术运算符扩 展 的 算 术 运 算 符名 称运 算 符MATLAB表达式阵列乘.*a.*b阵列除./ 或 .a./b或a.b阵列幂.a.b值得注意的是，在旧版本的MATLAB中，阵列运算的加减运算符多一个小圆点，即“.+”和“.-”，但在新版本的MATLAB中，这两个命令不再使用（否则会出错），因而阵列的加减法和矩阵的加减法完全统一起来了。关于常数和矩阵之间的运算，数加和数减运算可以在运算符前不加“.”，但如果一定要在运算符前加“.”，那么一定要把常数写在运算符前面，否则会出错。【例3.30】 a=1:10;b=11:20; a+bans = 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 a.-b? a.-bError: identifier expected, - found. a+50ans = 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 a.+50? a.+50Error: identifier expected, + found. 50.+aans = 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60常数和矩阵之间的数乘运算，即为矩阵元素分别与此常数进行相乘，常数在前在后、加不加“.”都一样。常数和矩阵之间的除法运算，对矩阵运算而言常数只能做除数；而对阵列运算而言，由于是“元素对元素”的运算，因此没有任何限制（但一定要加“.”运算）。【例3.31】a =ones(3,4); a*8% a*8、8*a、a.*8和8.*a结果一样。ans = 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 a/3% a/3和3a都是矩阵除法，结果一样，但3/a和 a3不合法。ans = 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 5./aans = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a./5ans = 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000阵列的幂运算运算符为“.”，它表示每个矩阵元素单独进行幂运算，这是同矩阵的幂运算不同的，矩阵的幂运算和阵列的幂运算所得的结果有很大的差别。【例3.32】 b=2,2;2,2 ; b2ans = 8 8 8 8 b.2ans = 4 4 4 43.5.2 阵列的函数运算在MATLAB中，矩阵按照阵列运算规则进行指数运算、对数运算和开方运算的命令分别是exp，log和sqrt，他们和矩阵运算expm，logm和sqrtm命令是完全不同的。矩阵进行其它数学函数运算（如三角函数）时，都是按阵列运算规则进行的，矩阵可以是任意阶，其命令通用形式为funname(A)，其中funname为常用数学函数名（参见表2.3-2.8）。【例3.33】a =ones(3,4);b=zeros(3,4); exp(a)ans = 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 2.7183 cos(b)ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1表3.5以具体的计算结果给出了矩阵运算和阵列运算之间的区别。表3.5矩阵运算和阵列运算的对比（两个13矩阵x和y之间的运算）矩 阵 运 算阵 列 运 算x123y456x1 2 3y4 5 6x+y579x-y-3-3-3x + 2345x-2-101x * yErrorx.*y41018x*y32x.*yErrorx*y4 5 6 8 10 1212 15 18x.*yErrorx*2246x.*2246xy16/7x.y45/222x1/213/22./x212/3x/y0 0 1/60 0 1/30 0 1/2x./y1/42/51/2x/21/213/2x./21/213/2xyErrorx.y132729x2Errorx.21492xError2.x248(x+i*y)1 - 4i 2 - 5i 3 - 6i(x+i*y).